计数原理：排列组合、二项式定理

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排列

排列的定义：从\(n\)个不同元素中取出\(m\)（\(m\leq n\)）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列。

排列数公式：从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的排列数，记作\(A_{n}^m\)，其计算公式为\(A_{n}^m = n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)=\frac{n!}{(n - m)!}\)。例如，从\(5\)个不同元素中取出\(3\)个元素的排列数\(A_{5}^3 = 5\times4\times3 = 60\)。

组合

组合的定义：从\(n\)个不同元素中取出\(m\)（\(m\leq n\)）个元素组成一组，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合。

组合数公式：从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数，记作\(C_{n}^m\)，其计算公式为\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}\)。例如，从\(5\)个不同元素中取出\(3\)个元素的组合数\(C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1\times2\times1}=10\)。

组合数的性质：

\(C_{n}^m = C_{n}^{n - m}\)，例如\(C_{10}^6 = C_{10}^{10 - 6}=C_{10}^4\)。

\(C_{n + 1}^m = C_{n}^m + C_{n}^{m - 1}\)，这个性质常用于组合数的计算和化简。

二项式定理

二项式定理公式：\((a + b)^n = C_{n}^0a^n + C_{n}^1a^{n - 1}b + C_{n}^2a^{n - 2}b^2+\cdots+C_{n}^nb^n\)，其中\(C_{n}^k\)（\(k = 0,1,2,\cdots,n\)）叫做二项式系数。

二项展开式的通项公式：\(T_{r + 1}=C_{n}^ra^{n - r}b^r\)（\(r = 0,1,2,\cdots,n\)），它表示二项式展开式中的第\(r + 1\)项。例如，在\((x + 2)^5\)的展开式中，其通项公式为\(T_{r + 1}=C_{5}^rx^{5 - r}2^r\)，当\(r = 2\)时，\(T_{3}=C_{5}^2x^{5 - 2}2^2 = 10\times x^3\times4 = 40x^3\)。

二项式系数的性质：

对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即\(C_{n}^m = C_{n}^{n - m}\)。

增减性与最大值：当\(n\)是偶数时，中间一项的二项式系数\(C_{n}^{\frac{n}{2}}\)取得最大值；当\(n\)是奇数时，中间两项的二项式系数\(C_{n}^{\frac{n - 1}{2}}\)与\(C_{n}^{\frac{n + 1}{2}}\)相等且取得最大值。

二项式系数的和：\(C_{n}^0 + C_{n}^1 + C_{n}^2+\cdots+C_{n}^n = 2^n\)；且\(C_{n}^0 + C_{n}^2 + C_{n}^4+\cdots=C_{n}^1 + C_{n}^3 + C_{n}^5+\cdots=2^{n - 1}\)。

排列、组合和二项式定理是解决计数问题的重要工具，在概率统计、数学建模等领域有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力具有重要意义。

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