圆锥曲线：一般方程、共同性质

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，包括椭圆、双曲线、抛物线三类，它们均由平面截圆锥面所得，具有统一的定义和诸多共性。

一、圆锥曲线的一般方程

圆锥曲线的一般形式是二元二次方程，其统一表达式为：\(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad (A,B,C\text{不同时为0})\)

该方程的类型由二次项系数的关系（判别式\(\Delta = B^2 - 4AC\)）决定，具体分类如下：

1. 当\(\Delta < 0\)时：方程表示椭圆（特殊情况：当\(A=C\)且\(B=0\)时，可能为圆，圆是椭圆的特殊形式）；

2. 当\(\Delta = 0\)时：方程表示抛物线（特殊情况：可能退化为两条平行直线或一条直线）；

3. 当\(\Delta > 0\)时：方程表示双曲线（特殊情况：可能退化为两条相交直线）。

需要注意：上述分类需排除“退化情况”（如方程\(x^2 - y^2 = 0\)可化为\((x-y)(x+y)=0\)，表示两条相交直线\(y=x\)和\(y=-x\)，属于双曲线的退化形式）。

二、圆锥曲线的共同性质

圆锥曲线具有统一的定义和多个共性，是解决相关问题的核心依据。

1. 统一定义（第二定义）

平面内到一个定点\(F\)（焦点） 与一条定直线\(l\)（准线） 的距离之比为常数\(e\)（离心率） 的点的轨迹，称为圆锥曲线。其中：

当\(0 < e < 1\)时，轨迹为椭圆；

当\(e = 1\)时，轨迹为抛物线；

当\(e > 1\)时，轨迹为双曲线。

（注：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线；抛物线只有一个焦点、一条准线。）

2. 对称性

圆锥曲线的对称性由一般方程的系数决定：

若方程中不含\(xy\)项（\(B=0\)），且不含\(x\)项（\(D=0\)），则曲线关于\(y\)轴对称；

若方程中不含\(xy\)项（\(B=0\)），且不含\(y\)项（\(E=0\)），则曲线关于\(x\)轴对称；

若方程中不含\(x\)项和\(y\)项（\(D=E=0\)），且不含\(xy\)项（\(B=0\)），则曲线关于原点对称。

（椭圆、双曲线通常关于\(x\)轴、\(y\)轴、原点对称；抛物线只关于一条对称轴对称，如\(y^2=2px\)关于\(x\)轴对称。）

3. 焦点、准线与离心率的关系

椭圆：标准方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），焦点\(F(\pm c, 0)\)（\(c^2 = a^2 - b^2\)），准线\(x = \pm \frac{a^2}{c}\)，离心率\(e = \frac{c}{a}\)（\(0 < e < 1\)）；

双曲线：标准方程\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)），焦点\(F(\pm c, 0)\)（\(c^2 = a^2 + b^2\)），准线\(x = \pm \frac{a^2}{c}\)，离心率\(e = \frac{c}{a}\)（\(e > 1\)）；

抛物线：标准方程\(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)），焦点\(F(\frac{p}{2}, 0)\)，准线\(x = -\frac{p}{2}\)，离心率\(e = 1\)。

4. 切线与法线的共性

对于任意圆锥曲线，若点\(P(x_0, y_0)\)在曲线上，则曲线在\(P\)点的切线方程可通过“代换法则”得到：将原方程中的\(x^2\)换为\(x_0x\)，\(y^2\)换为\(y_0y\)，\(xy\)换为\(\frac{x_0y + xy_0}{2}\)，\(x\)换为\(\frac{x_0 + x}{2}\)，\(y\)换为\(\frac{y_0 + y}{2}\)，常数项不变。

例如：椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)在\(P(x_0, y_0)\)处的切线方程为\(\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1\)；抛物线\(y^2 = 2px\)在\(P(x_0, y_0)\)处的切线方程为\(y_0y = p(x + x_0)\)。

例题1：判断方程类型。判断方程\(4x^2 + 9y^2 - 8x + 18y - 23 = 0\)表示的曲线类型，并化为标准方程。

解析：

第一步，整理方程（配方）：

\(4(x^2 - 2x) + 9(y^2 + 2y) = 23\)

\(4[(x-1)^2 - 1] + 9[(y+1)^2 - 1] = 23\)

\(4(x-1)^2 + 9(y+1)^2 = 36\)

第二步，化为标准形式：\(\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1\)

第三步，判断类型：二次项系数\(A=4\)，\(C=9\)，\(B=0\)，\(\Delta = B^2 - 4AC = -144 < 0\)，且\(A \neq C\)，故为椭圆。

例题2：判断方程是否为退化曲线。判断方程\(x^2 - y^2 + 2x - 2y = 0\)表示的曲线类型。

解析：

方程因式分解：\((x^2 - y^2) + 2(x - y) = 0\) → \((x - y)(x + y + 2) = 0\)

即\(x - y = 0\)或\(x + y + 2 = 0\)，表示两条相交直线，属于双曲线的退化形式。

例题3：利用第二定义求轨迹。已知平面内一点\(P\)到定点\(F(2,0)\)的距离与到定直线\(x = 8\)的距离之比为\(\frac{1}{2}\)，求\(P\)的轨迹方程。

解析：

设\(P(x,y)\)，由第二定义：\(\frac{\sqrt{(x-2)^2 + y^2}}{|x - 8|} = \frac{1}{2}\)

两边平方：\(4[(x-2)^2 + y^2] = (x - 8)^2\)

展开整理：\(3x^2 + 4y^2 = 48\) → \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\)，轨迹为椭圆。

例题4：椭圆的基本量计算。已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的长轴长为8，离心率\(e = \frac{1}{2}\)，求\(a, b, c\)。

解析：

长轴长\(2a = 8\) → \(a = 4\)；

离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\) → \(c = 2\)；

由\(c^2 = a^2 - b^2\) → \(b^2 = 16 - 4 = 12\) → \(b = 2\sqrt{3}\)。

故\(a=4\)，\(b=2\sqrt{3}\)，\(c=2\)。

例题5：双曲线的焦点与准线。求双曲线\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)的焦点坐标、准线方程和离心率。

解析：

由标准方程知\(a^2 = 9\)（\(a=3\)），\(b^2=16\)（\(b=4\)）；

焦点：\(c^2 = a^2 + b^2 = 25\) → \(c=5\)，故焦点为\((\pm 5, 0)\)；

准线：\(x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{9}{5}\)；

离心率：\(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}\)。

例题6：抛物线的焦点与准线。求抛物线\(y^2 = -8x\)的焦点坐标、准线方程和开口方向。

解析：

抛物线标准形式为\(y^2 = -2px\)（\(p > 0\)），对比得\(-2p = -8\) → \(p=4\)；

焦点：\((-\frac{p}{2}, 0) = (-2, 0)\)；

准线：\(x = \frac{p}{2} = 2\)；

开口方向：\(x\)系数为负，开口向左。

例题7：椭圆的对称性应用。已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)上一点\(P(3, y_0)\)，求\(y_0\)的值。

解析：

椭圆关于\(x\)轴对称，将\(x=3\)代入方程：\(\frac{9}{25} + \frac{y_0^2}{16} = 1\)

解得\(\frac{y_0^2}{16} = \frac{16}{25}\) → \(y_0^2 = \frac{256}{25}\) → \(y_0 = \pm \frac{16}{5}\)。

例题8：双曲线的渐近线。求双曲线\(4x^2 - y^2 = 16\)的渐近线方程。

解析：

先化为标准方程：\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1\)（\(a^2=4\)，\(b^2=16\)）；

双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)的渐近线方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)；

代入\(a=2\)，\(b=4\)，得渐近线：\(y = \pm 2x\)。

例题9：抛物线的定义应用。已知抛物线\(y^2 = 6x\)上一点\(P\)到焦点的距离为4，求\(P\)的横坐标。

解析：

抛物线\(y^2 = 2px\)（\(p=3\)）的焦点为\((\frac{3}{2}, 0)\)，准线为\(x = -\frac{3}{2}\)；

由抛物线定义：\(P\)到焦点的距离 = \(P\)到准线的距离，设\(P(x_0, y_0)\)，则\(x_0 - (-\frac{3}{2}) = 4\) → \(x_0 = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)。

例题10：椭圆的切线方程。求椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)在点\(P(2, \frac{3\sqrt{3}}{2})\)处的切线方程。

解析：

利用“代换法则”：椭圆上点\(P(x_0, y_0)\)的切线方程为\(\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1\)；

此处\(x_0=2\)，\(y_0=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，\(a^2=16\)，\(b^2=9\)，代入得：

\(\frac{2x}{16} + \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}y}{9} = 1\) → \(\frac{x}{8} + \frac{\sqrt{3}y}{6} = 1\)；

整理为标准形式：\(3x + 4\sqrt{3}y - 24 = 0\)。

例题11：双曲线的离心率范围。已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\)（\(a > 0\)），求其离心率的取值范围。

解析：

双曲线中\(c^2 = a^2 + b^2\)，此处\(b^2 = a^2\)，故\(c^2 = 2a^2\) → \(c = a\sqrt{2}\)；

离心率\(e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}\)，故离心率为定值\(\sqrt{2}\)（此双曲线为等轴双曲线）。

例题12：抛物线的切线斜率。求抛物线\(y^2 = 4x\)的斜率为1的切线方程。

解析：

设切线方程为\(y = x + m\)，与抛物线方程联立：\(\begin{cases}y = x + m \\ y^2 = 4x\end{cases}\)；

代入得\((x + m)^2 = 4x\) → \(x^2 + (2m - 4)x + m^2 = 0\)；

切线与抛物线相切，判别式\(\Delta = 0\)：\((2m - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m^2 = 0\)；

展开解得：\(16 - 16m = 0\) → \(m = 1\)；

故切线方程为\(y = x + 1\)（整理为\(x - y + 1 = 0\)）。

例题13：椭圆的最值问题。在椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)上求一点\(P\)，使\(P\)到点\(A(2,0)\)的距离最小。

解析：

设\(P(x, y)\)，由椭圆方程得\(y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{25})\)；

距离平方\(|PA|^2 = (x - 2)^2 + y^2 = (x - 2)^2 + 9 - \frac{9x^2}{25}\)；

整理得\(|PA|^2 = \frac{16x^2}{25} - 4x + 13\)（\(x \in [-5, 5]\)）；

这是关于\(x\)的二次函数，开口向上，对称轴为\(x = \frac{4}{2 \cdot \frac{16}{25}} = \frac{25}{8}\)（在\([-5,5]\)内）；

当\(x = \frac{25}{8}\)时，\(y^2 = 9(1 - \frac{(\frac{25}{8})^2}{25}) = 9 \cdot \frac{39}{64}\) → \(y = \pm \frac{9\sqrt{39}}{32}\)；

故最小距离点为\(P(\frac{25}{8}, \pm \frac{9\sqrt{39}}{32})\)。

例题14：双曲线的焦点三角形。已知双曲线\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\)的左、右焦点为\(F_1, F_2\)，点\(P\)在双曲线上，且\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，求\(\triangle F_1PF_2\)的面积。

解析：

由双曲线方程得\(a=2\)，\(c^2=4+5=9\) → \(c=3\)，故\(|F_1F_2|=2c=6\)；

由双曲线定义：\(||PF_1| - |PF_2|| = 2a=4\)，设\(|PF_1|=m\)，\(|PF_2|=n\)（\(m > n\)），则\(m - n = 4\)；

在\(\triangle F_1PF_2\)中，由余弦定理：\(|F_1F_2|^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos60^\circ\)；

代入得\(36 = (m - n)^2 + 2mn - mn\) → \(36 = 16 + mn\) → \(mn=20\)；

面积\(S = \frac{1}{2}mn\sin60^\circ = \frac{1}{2} \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)。

例题15：抛物线的焦点弦。过抛物线\(y^2 = 4x\)的焦点\(F\)作直线\(l\)，交抛物线于\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)两点，若\(x_1 + x_2 = 6\)，求\(|AB|\)的长度。

解析：

抛物线\(y^2=4x\)的准线为\(x=-1\)，由抛物线定义：\(|AF| = x_1 + 1\)，\(|BF| = x_2 + 1\)；

焦点弦长度\(|AB| = |AF| + |BF| = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = x_1 + x_2 + 2\)；

代入\(x_1 + x_2 = 6\)，得\(|AB| = 6 + 2 = 8\)。

例题16：椭圆的离心率与焦点。已知椭圆的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，且过点\((1, \frac{\sqrt{3}}{2})\)，离心率\(e = \frac{1}{2}\)，求椭圆方程。

解析：

设椭圆方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），由题意：

1. 离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\) → \(c = \frac{a}{2}\)；

2. \(c^2 = a^2 - b^2\) → \(\frac{a^2}{4} = a^2 - b^2\) → \(b^2 = \frac{3a^2}{4}\)；

3. 点\((1, \frac{\sqrt{3}}{2})\)在椭圆上：\(\frac{1}{a^2} + \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{b^2} = 1\)；

将\(b^2 = \frac{3a^2}{4}\)代入得：\(\frac{1}{a^2} + \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = 1\) → \(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} = 1\) → \(a^2=2\)；

则\(b^2 = \frac{3 \times 2}{4} = \frac{3}{2}\)，故椭圆方程为\(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{\frac{3}{2}} = 1\)（或整理为\(3x^2 + 4y^2 = 6\)）。

例题17：双曲线的渐近线与方程。已知双曲线的渐近线方程为\(y = \pm \frac{3}{4}x\)，且过点\((4, 3\sqrt{2})\)，求双曲线方程。

解析：

渐近线为\(y = \pm \frac{3}{4}x\)，设双曲线方程为\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = \lambda\)（\(\lambda \neq 0\)，此形式可覆盖焦点在\(x\)轴或\(y\)轴的情况）；

将点\((4, 3\sqrt{2})\)代入：\(\frac{16}{16} - \frac{18}{9} = \lambda\) → \(1 - 2 = \lambda\) → \(\lambda = -1\)；

故双曲线方程为\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = -1\) → \(\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1\)（焦点在\(y\)轴上）。

例题18：抛物线的最值问题。求点\(M(2, 0)\)到抛物线\(y^2 = 4x\)上任意一点\(P\)的距离的最小值。

解析：

设\(P(x, y)\)，由抛物线方程得\(y^2 = 4x\)（\(x \geq 0\)）；

距离平方\(|PM|^2 = (x - 2)^2 + y^2 = (x - 2)^2 + 4x = x^2 - 4x + 4 + 4x = x^2 + 4\)；

当\(x = 0\)时，\(|PM|^2\)最小为4，故最小距离为\(2\)（此时\(P\)为\((0, 0)\)）。

例题19：椭圆的焦点与弦长。已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)的右焦点为\(F\)，过\(F\)作直线\(l\)垂直于\(x\)轴，交椭圆于\(A, B\)两点，求\(|AB|\)的长度。

解析：

椭圆中\(c^2 = 25 - 16 = 9\) → \(c=3\)，故右焦点\(F(3, 0)\)；

直线\(l\)垂直于\(x\)轴，方程为\(x=3\)，代入椭圆方程：\(\frac{9}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) → \(\frac{y^2}{16} = \frac{16}{25}\) → \(y = \pm \frac{16}{5}\)；

故\(A(3, \frac{16}{5})\)，\(B(3, -\frac{16}{5})\)，\(|AB| = \frac{16}{5} - (-\frac{16}{5}) = \frac{32}{5}\)。

例题20：圆锥曲线的综合应用。已知动点\(P(x, y)\)满足\(\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} - \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = 2\)，求\(P\)的轨迹方程，并判断轨迹类型。

解析：

表达式中\(\sqrt{(x + 2)^2 + y^2}\)表示\(P\)到点\(F_1(-2, 0)\)的距离，\(\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}\)表示\(P\)到点\(F_2(2, 0)\)的距离；

由题意：\(|PF_1| - |PF_2| = 2\)，符合双曲线的定义（平面内到两定点距离之差为常数，且常数小于两定点间距离）；

其中\(2a = 2\) → \(a=1\)，两焦点\(F_1(-2,0)\)、\(F_2(2,0)\)，故\(2c=4\) → \(c=2\)；

由\(c^2 = a^2 + b^2\) → \(b^2 = 4 - 1 = 3\)；

故轨迹方程为\(\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1\)（注意：\(|PF_1| > |PF_2|\)，轨迹为双曲线的右支），类型为双曲线。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学