抛物线方程

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一、抛物线的基本概念与标准方程

平面内与一个定点 \(F\)（焦点）和一条定直线 \(l\)（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

核心条件：对抛物线上任意一点 \(P\)，有 \(|PF| = d\)（\(d\) 为点 \(P\) 到准线 \(l\) 的距离），且焦点 \(F\) 不在准线 \(l\) 上（若在则轨迹为过 \(F\) 且垂直于 \(l\) 的直线）。

定义中的“距离相等”是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征——抛物线只有一个焦点和一条准线，且无“长轴、短轴”或“实轴、虚轴”之分，仅有一个核心参数 \(p\)。

\(p\) 表示焦点到准线的距离，且 \(p > 0\)（确保抛物线开口方向明确）。\(p\) 的大小决定抛物线“开口宽窄”：\(p\) 越大，抛物线开口越宽；\(p\) 越小，开口越窄。

抛物线标准方程（顶点在原点，对称轴为坐标轴）

抛物线的标准方程分4种形式，取决于开口方向，核心是“对称轴为焦点与准线垂直的直线，顶点为焦点与准线连线的中点”。

开口向右：\(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)）焦点坐标：\(F\left(\frac{p}{2}, 0\right)\)（在x轴正半轴上）准线方程：\(x = -\frac{p}{2}\)

开口向左：\(y^2 = -2px\)（\(p > 0\)）焦点坐标：\(F\left(-\frac{p}{2}, 0\right)\)（在x轴负半轴上）准线方程：\(x = \frac{p}{2}\)

开口向上：\(x^2 = 2py\)（\(p > 0\)）焦点坐标：\(F\left(0, \frac{p}{2}\right)\)（在y轴正半轴上）准线方程：\(y = -\frac{p}{2}\)

开口向下：\(x^2 = -2py\)（\(p > 0\)）焦点坐标：\(F\left(0, -\frac{p}{2}\right)\)（在y轴负半轴上）准线方程：\(y = \frac{p}{2}\)

特殊情况：顶点在点\((h, k)\)的抛物线（平移后的方程）

若抛物线顶点不在原点，而是在点\((h, k)\)，则标准方程需进行平移变换（“左加右减、上加下减”）：

开口向右：\((y - k)^2 = 2p(x - h)\)（\(p > 0\)），焦点\(\left(h + \frac{p}{2}, k\right)\)，准线\(x = h - \frac{p}{2}\)

开口向左：\((y - k)^2 = -2p(x - h)\)（\(p > 0\)），焦点\(\left(h - \frac{p}{2}, k\right)\)，准线\(x = h + \frac{p}{2}\)

开口向上：\((x - h)^2 = 2p(y - k)\)（\(p > 0\)），焦点\(\left(h, k + \frac{p}{2}\right)\)，准线\(y = k - \frac{p}{2}\)

开口向下：\((x - h)^2 = -2p(y - k)\)（\(p > 0\)），焦点\(\left(h, k - \frac{p}{2}\right)\)，准线\(y = k + \frac{p}{2}\)

二、抛物线的核心性质

基本几何性质

1. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为过焦点且垂直于准线的直线（如开口向右的抛物线，对称轴为x轴），无中心对称性（区别于椭圆、双曲线）。

2. 范围：

开口向右（\(y^2 = 2px\)）：\(x \geq 0\)，\(y \in \mathbb{R}\)（x非负，y可取任意实数）

开口向左（\(y^2 = -2px\)）：\(x \leq 0\)，\(y \in \mathbb{R}\)（x非正，y可取任意实数）

开口向上（\(x^2 = 2py\)）：\(y \geq 0\)，\(x \in \mathbb{R}\)（y非负，x可取任意实数）

开口向下（\(x^2 = -2py\)）：\(y \leq 0\)，\(x \in \mathbb{R}\)（y非正，x可取任意实数）

3. 顶点：抛物线的顶点是与对称轴的交点（标准方程中为原点），也是抛物线上到焦点距离最小的点（最小值为\(\frac{p}{2}\)，即顶点到焦点的距离为\(\frac{p}{2}\)）。

4. 离心率：抛物线的离心率\(e = 1\)（由定义直接可得：\(e = \frac{|PF|}{d} = 1\)，区别于椭圆\(0 < e < 1\)、双曲线\(e > 1\)）。

核心衍生性质（基于定义的推论）

1. 焦半径公式（抛物线上任意一点\(P(x_0, y_0)\)到焦点的距离）：

开口向右（\(y^2 = 2px\)）：\(|PF| = x_0 + \frac{p}{2}\)（由定义：\(|PF| = d = x_0 - (-\frac{p}{2}) = x_0 + \frac{p}{2}\)）

开口向左（\(y^2 = -2px\)）：\(|PF| = -x_0 + \frac{p}{2}\)（\(d = \frac{p}{2} - x_0\)，因\(x_0 \leq 0\)，故\(-x_0 \geq 0\)）

开口向上（\(x^2 = 2py\)）：\(|PF| = y_0 + \frac{p}{2}\)（\(d = y_0 - (-\frac{p}{2}) = y_0 + \frac{p}{2}\)）

开口向下（\(x^2 = -2py\)）：\(|PF| = -y_0 + \frac{p}{2}\)（\(d = \frac{p}{2} - y_0\)，因\(y_0 \leq 0\)，故\(-y_0 \geq 0\)）

2. 通径：

过焦点且垂直于对称轴的弦，是抛物线的最短焦点弦，长度为\(2p\)（推导：以开口向右为例，焦点\((\frac{p}{2}, 0)\)，垂直于x轴的直线为\(x = \frac{p}{2}\)，代入\(y^2 = 2px\)得\(y^2 = p^2\)，即\(y = \pm p\)，弦长为\(p - (-p) = 2p\)）。

3. 焦点弦的中点坐标与长度：

设过焦点的直线与抛物线交于\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)（焦点弦），则：

开口向右（\(y^2 = 2px\)）：

中点横坐标\(x_{\text{中}} = \frac{x_1 + x_2}{2}\)，焦点弦长度\(|AB| = x_1 + x_2 + p\)（由焦半径公式：\(|AB| = |AF| + |BF| = (x_1 + \frac{p}{2}) + (x_2 + \frac{p}{2}) = x_1 + x_2 + p\)）

若直线斜率为\(k\)（\(k \neq 0\)），则\(x_1x_2 = \frac{p^2}{4}\)，\(y_1y_2 = -p^2\)（联立直线与抛物线方程可证，是焦点弦的重要定量关系）

其他开口方向可类比推导，核心是“焦点弦长度 = 两焦半径之和，且横（纵）坐标之积为定值”。

4. 抛物线的切线方程：

抛物线上一点\(P(x_0, y_0)\)处的切线方程（“替换法则”：\(x^2 \to xx_0\)，\(y^2 \to yy_0\)，\(x \to \frac{x + x_0}{2}\)，\(y \to \frac{y + y_0}{2}\)）：

开口向右（\(y^2 = 2px\)）：\(yy_0 = p(x + x_0)\)

开口向左（\(y^2 = -2px\)）：\(yy_0 = -p(x + x_0)\)

开口向上（\(x^2 = 2py\)）：\(xx_0 = p(y + y_0)\)

开口向下（\(x^2 = -2py\)）：\(xx_0 = -p(y + y_0)\)

斜率为\(k\)的切线方程（以开口向右为例）：\(y = kx + \frac{p}{2k}\)（\(k \neq 0\)，推导：联立\(y = kx + m\)与\(y^2 = 2px\)，令判别式\(\Delta = 0\)得\(m = \frac{p}{2k}\)）。

三、抛物线的二级结论（高频考点与解题技巧）

二级结论是抛物线性质的深度延伸，需结合定义和代数推导理解，避免死记硬背。

焦点弦的特殊结论

1. 焦点弦的长度公式（按斜率分类）：

设抛物线\(y^2 = 2px\)（开口向右），焦点弦\(AB\)的斜率为\(k\)（\(k \neq 0\)），则：

焦点弦长度\(|AB| = \frac{2p}{\sin^2\theta}\)（\(\theta\)为焦点弦与对称轴的夹角，即\(\tan\theta = k\)，推导：由\(|AB| = x_1 + x_2 + p\)，联立直线\(y = k(x - \frac{p}{2})\)与抛物线方程，得\(x_1 + x_2 = \frac{p(k^2 + 2)}{k^2}\)，代入得\(|AB| = \frac{2p(k^2 + 1)}{k^2} = \frac{2p}{\sin^2\theta}\)）

当\(\theta = 90^\circ\)（即焦点弦垂直于对称轴，通径）时，\(\sin\theta = 1\)，\(|AB| = 2p\)，验证通径长度正确。

2. 焦点弦的“互补”性质：

若抛物线\(y^2 = 2px\)的焦点弦\(AB\)与对称轴夹角为\(\theta\)，则另一焦点弦\(A'B'\)（与\(AB\)关于对称轴对称）与对称轴夹角为\(-\theta\)，且两弦长度相等；若两焦点弦关于对称轴垂直（夹角分别为\(\theta\)和\(90^\circ + \theta\)），则两弦长度之和为\(\frac{2p(\sin^2\theta + \cos^2\theta)}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{8p}{\sin^22\theta}\)（最小值为\(8p\)，当\(\theta = 45^\circ\)时取到）。

3. 焦点弦的中点到准线的距离：

抛物线焦点弦\(AB\)的中点为\(M\)，则\(M\)到准线的距离等于焦点弦长度的一半，即\(d_M = \frac{1}{2}|AB|\)（推导：由梯形中位线性质，\(d_M = \frac{d_A + d_B}{2}\)，而\(d_A = |AF|\)、\(d_B = |BF|\)，故\(d_M = \frac{|AF| + |BF|}{2} = \frac{|AB|}{2}\)）。

切线与法线的特殊结论

1. 抛物线的切线性质（“光学性质”）：

从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线上任意一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴（反之，平行于对称轴的光线经抛物线反射后，必过焦点）。该性质的数学表达：抛物线上一点\(P\)处的切线平分“焦点与\(P\)的连线（焦半径）”与“过\(P\)且平行于对称轴的直线”的夹角。

2. 抛物线的法线性质：

抛物线上一点\(P(x_0, y_0)\)处的法线（垂直于切线的直线）方程：

开口向右（\(y^2 = 2px\)）：\(y - y_0 = -\frac{y_0}{p}(x - x_0)\)（切线斜率为\(\frac{p}{y_0}\)，法线斜率为其负倒数\(-\frac{y_0}{p}\)）

法线过定点：对抛物线\(y^2 = 2px\)，任意一点的法线必过点\((x_0 + p, 0)\)（当\(y_0 \neq 0\)时，代入法线方程可证）。

抛物线上点的最值结论

1. 抛物线上一点到定点的距离最值：

设抛物线\(y^2 = 2px\)，定点\(Q(m, n)\)，则抛物线上点\(P(x, y)\)到\(Q\)的距离\(|PQ| = \sqrt{(x - m)^2 + (y - n)^2}\)，代入\(x = \frac{y^2}{2p}\)得关于\(y\)的二次函数，通过求导或配方法求最值（注意：需结合抛物线的范围，如\(x \geq 0\)，确保最值点在抛物线上）。

2. 抛物线上两点间的距离最值：

抛物线上两点\(P_1(x_1, y_1)\)、\(P_2(x_2, y_2)\)的距离\(|P_1P_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\)，若两点在同一“分支”（如开口向右的抛物线，\(x_1, x_2 \geq 0\)），则当两点横坐标差最小时，距离可能最小（需结合具体位置分析）。

例题1：抛物线的标准方程与基本量。已知抛物线开口向右，焦点到准线的距离为6，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。

解：

1. 由抛物线定义，焦点到准线的距离为\(p\)，故\(p = 6\)；

2. 开口向右的抛物线标准方程为\(y^2 = 2px\)，代入\(p = 6\)得\(y^2 = 12x\)；

3. 焦点坐标为\(\left(\frac{p}{2}, 0\right) = (3, 0)\)；

4. 准线方程为\(x = -\frac{p}{2} = -3\)。

例题2：抛物线的范围与点的存在性。判断点\(A(2, 4)\)、\(B(-1, 3)\)是否在抛物线\(y^2 = 8x\)上。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 8x\)开口向右，范围为\(x \geq 0\)，点\(B\)的横坐标为\(-1 < 0\)，故\(B\)不在抛物线上；

2. 验证点\(A\)：将\(x = 2\)代入方程，得\(y^2 = 8 \times 2 = 16\)，即\(y = \pm 4\)，点\(A\)的纵坐标为4，满足方程，故\(A\)在抛物线上。

例题3：焦半径公式的应用（开口向上）已知抛物线\(x^2 = 6y\)，求抛物线上点\(P(4, y_0)\)到焦点的距离。

解：

1. 抛物线\(x^2 = 6y\)开口向上，对比标准形式\(x^2 = 2py\)，得\(2p = 6\)，即\(p = 3\)；

2. 先求点\(P\)的纵坐标\(y_0\)：将\(x = 4\)代入方程，得\(4^2 = 6y_0\)，即\(y_0 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\)；

3. 开口向上的焦半径公式为\(|PF| = y_0 + \frac{p}{2}\)，代入\(y_0 = \frac{8}{3}\)、\(\frac{p}{2} = \frac{3}{2}\)，得\(|PF| = \frac{8}{3} + \frac{3}{2} = \frac{16 + 9}{6} = \frac{25}{6}\)。

例题4：通径长度的计算（开口向下）求抛物线\(x^2 = -10y\)的通径长度。

解：

1. 抛物线\(x^2 = -10y\)开口向下，对比标准形式\(x^2 = -2py\)，得\(2p = 10\)，即\(p = 5\)；

2. 通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，长度为\(2p\)，故通径长度为\(2 \times 5 = 10\)；

3. 验证：焦点坐标为\(\left(0, -\frac{p}{2}\right) = (0, -2.5)\)，垂直于y轴的直线为\(y = -2.5\)，代入方程得\(x^2 = -10 \times (-2.5) = 25\)，即\(x = \pm 5\)，弦长为\(5 - (-5) = 10\)，与结论一致。

例题5：抛物线的平移（顶点不在原点）已知抛物线顶点在\((2, -3)\)，开口向下，且焦点到准线的距离为4，求抛物线的方程、焦点坐标和准线方程。

解：

1. 焦点到准线的距离为\(p\)，故\(p = 4\)；

2. 顶点在\((h, k) = (2, -3)\)、开口向下的抛物线方程为\((x - h)^2 = -2p(y - k)\)，代入得\((x - 2)^2 = -8(y + 3)\)；

3. 焦点坐标：开口向下时，焦点在顶点下方\(\frac{p}{2}\)处，故\(F\left(h, k - \frac{p}{2}\right) = \left(2, -3 - 2\right) = (2, -5)\)；

4. 准线方程：开口向下时，准线在顶点上方\(\frac{p}{2}\)处，故\(y = k + \frac{p}{2} = -3 + 2 = -1\)。

例题6：焦点弦的长度（开口向右）已知抛物线\(y^2 = 8x\)，过焦点的直线交抛物线于\(A(0, 0)\)（顶点）和\(B(x_2, y_2)\)，求焦点弦\(AB\)的长度。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 8x\)开口向右，\(2p = 8\)，故\(p = 4\)，焦点\(F(2, 0)\)；

2. 先求点\(B\)的坐标：直线\(AB\)过焦点\(F(2, 0)\)和顶点\(A(0, 0)\)，方程为\(y = 0\)（x轴），代入抛物线方程得\(0 = 8x\)，即\(x = 0\)？显然错误，说明“过焦点且过顶点的直线”是x轴，但x轴与抛物线的交点只有顶点（因\(y = 0\)时仅\(x = 0\)），故需修正题目：过焦点的直线交抛物线于\(A(2, 4)\)和\(B(x_2, y_2)\)；

3. 修正后：由焦半径公式，开口向右的焦点弦长度\(|AB| = x_1 + x_2 + p\)，先求\(x_1 = 2\)（点\(A\)的横坐标），再求\(x_2\)：

直线\(AF\)的斜率\(k = \frac{4 - 0}{2 - 2}\)（分母为0，说明直线垂直于x轴，即\(x = 2\)）；

代入抛物线方程得\(y^2 = 8 \times 2 = 16\)，故\(y_2 = -4\)，\(x_2 = 2\)；

焦点弦长度\(|AB| = 2 + 2 + 4 = 8\)（或直接用通径长度\(2p = 8\)，因直线垂直于对称轴，为通径）。

例题7：焦点弦的横纵坐标关系（开口向右）已知抛物线\(y^2 = 6x\)，焦点弦\(AB\)的一端点\(A(6, 6)\)，求另一端点\(B\)的坐标。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 6x\)开口向右，\(2p = 6\)，故\(p = 3\)，焦点\(F\left(\frac{3}{2}, 0\right)\)；

2. 焦点弦\(AB\)过焦点\(F\)，故三点\(A\)、\(F\)、\(B\)共线，先求直线\(AF\)的方程：

斜率\(k = \frac{6 - 0}{6 - \frac{3}{2}} = \frac{6}{\frac{9}{2}} = \frac{4}{3}\)；

方程为\(y - 0 = \frac{4}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)\)，即\(y = \frac{4}{3}x - 2\)；

3. 联立直线与抛物线方程：\(\left(\frac{4}{3}x - 2\right)^2 = 6x\)，展开得\(\frac{16}{9}x^2 - \frac{16}{3}x + 4 = 6x\)，两边乘9得\(16x^2 - 48x + 36 = 54x\)，整理为\(16x^2 - 102x + 36 = 0\)，化简为\(8x^2 - 51x + 18 = 0\)；

4. 由韦达定理，\(x_1x_2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\)（焦点弦横坐标之积为\(\frac{p^2}{4} = \frac{9}{4}\)，验证结论），已知\(x_1 = 6\)，故\(x_2 = \frac{9}{4} \div 6 = \frac{3}{8}\)；

5. 代入直线方程得\(y_2 = \frac{4}{3} \times \frac{3}{8} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}\)，故点\(B\)的坐标为\(\left(\frac{3}{8}, -\frac{3}{2}\right)\)。

例题8：抛物线的切线方程（抛物线上一点）求抛物线\(y^2 = 12x\)上点\(P(3, 6)\)处的切线方程。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 12x\)开口向右，标准形式为\(y^2 = 2px\)，\(2p = 12\)，故\(p = 6\)；

2. 抛物线上一点\((x_0, y_0)\)处的切线方程用“替换法则”：\(yy_0 = p(x + x_0)\)；

3. 代入\(x_0 = 3\)、\(y_0 = 6\)、\(p = 6\)，得\(y \times 6 = 6(x + 3)\)，化简为\(6y = 6x + 18\)，即\(x - y + 3 = 0\)；

4. 验证：联立切线方程与抛物线方程，\((x + 3)^2 = 12x\)，展开得\(x^2 + 6x + 9 = 12x\)，即\(x^2 - 6x + 9 = 0\)，判别式\(\Delta = 36 - 36 = 0\)，确认为切线。

例题9：抛物线的切线方程（已知斜率）求斜率为\(\frac{1}{2}\)且与抛物线\(x^2 = 8y\)相切的直线方程。

解：

1. 抛物线\(x^2 = 8y\)开口向上，标准形式为\(x^2 = 2py\)，\(2p = 8\)，故\(p = 4\)；

2. 斜率为\(k\)的切线方程（开口向上）：设为\(y = kx + m\)，联立与抛物线方程得\(x^2 = 8(kx + m)\)，即\(x^2 - 8kx - 8m = 0\)；

3. 切线条件：判别式\(\Delta = 0\)，即\((-8k)^2 - 4 \times 1 \times (-8m) = 64k^2 + 32m = 0\)，化简得\(m = -2k^2\)；

4. 已知\(k = \frac{1}{2}\)，故\(m = -2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{2}\)；

5. 切线方程为\(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)，整理为\(x - 2y - 1 = 0\)。

例题10：抛物线的光学性质应用。已知抛物线\(y^2 = 4x\)，从焦点发出的光线经抛物线上点\(P(1, 2)\)反射，求反射光线的方程。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 4x\)开口向右，\(2p = 4\)，故\(p = 2\)，焦点\(F(1, 0)\)；

2. 由光学性质，反射光线平行于抛物线的对称轴（x轴）；

3. 抛物线的对称轴为x轴，故反射光线平行于x轴，即斜率为0；

4. 反射光线过点\(P(1, 2)\)，故方程为\(y - 2 = 0 \times (x - 1)\)，即\(y = 2\)。

例题11：抛物线上点到定点的距离最值（开口向右）已知抛物线\(y^2 = 4x\)，定点\(Q(3, 0)\)，求抛物线上点\(P(x, y)\)到\(Q\)的距离的最小值。

解：

1. 设抛物线上点\(P(x, y)\)，由抛物线方程得\(y^2 = 4x\)（\(x \geq 0\)）；

2. 距离平方\(|PQ|^2 = (x - 3)^2 + y^2\)，代入\(y^2 = 4x\)得\(|PQ|^2 = (x - 3)^2 + 4x = x^2 - 6x + 9 + 4x = x^2 - 2x + 9\)；

3. 这是关于\(x\)的二次函数，定义域为\(x \geq 0\)，二次函数的对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1\)（在定义域内）；

4. 当\(x = 1\)时，\(|PQ|^2\)取得最小值\(1^2 - 2 \times 1 + 9 = 8\)，故\(|PQ|\)的最小值为\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)；

5. 此时点\(P\)的坐标：\(x = 1\)，\(y^2 = 4 \times 1 = 4\)，即\(P(1, 2)\)或\((1, -2)\)。

例题12：抛物线的焦点到切线的距离（开口向上）已知抛物线\(x^2 = 6y\)，求焦点到切线\(x - y + 3 = 0\)的距离。

解：

1. 抛物线\(x^2 = 6y\)开口向上，\(2p = 6\)，故\(p = 3\)，焦点\(F(0, \frac{3}{2})\)；

2. 点到直线的距离公式：\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，其中直线方程为\(x - y + 3 = 0\)（\(A = 1\)，\(B = -1\)，\(C = 3\)），焦点坐标\((0, \frac{3}{2})\)（\(x_0 = 0\)，\(y_0 = \frac{3}{2}\)）；

3. 代入得\(d = \frac{|1 \times 0 + (-1) \times \frac{3}{2} + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{3}{2} + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}\)。

例题13：抛物线的准线与直线的交点。已知抛物线\(y^2 = -8x\)，求其准线与直线\(2x + y - 1 = 0\)的交点坐标。

解：

1. 抛物线\(y^2 = -8x\)开口向左，\(2p = 8\)，故\(p = 4\)，准线方程为\(x = \frac{p}{2} = 2\)；

2. 求准线\(x = 2\)与直线\(2x + y - 1 = 0\)的交点：将\(x = 2\)代入直线方程，得\(2 \times 2 + y - 1 = 0\)，即\(4 + y - 1 = 0\)，解得\(y = -3\)；

3. 故交点坐标为\((2, -3)\)。

例题14：抛物线的焦点弦中点坐标（开口向下）已知抛物线\(x^2 = -12y\)，焦点弦\(AB\)的一端点\(A(6, -3)\)，求弦\(AB\)的中点\(M\)的坐标。

解：

1. 抛物线\(x^2 = -12y\)开口向下，\(2p = 12\)，故\(p = 6\)，焦点\(F(0, -3)\)；

2. 焦点弦\(AB\)过焦点\(F(0, -3)\)，先求直线\(AF\)的方程：

点\(A(6, -3)\)和\(F(0, -3)\)的纵坐标相同，故直线为\(y = -3\)（平行于x轴）；

3. 联立直线与抛物线方程：\(x^2 = -12 \times (-3) = 36\)，解得\(x = \pm 6\)，故另一端点\(B(-6, -3)\)；

4. 中点\(M\)的坐标：横坐标\(\frac{6 + (-6)}{2} = 0\)，纵坐标\(\frac{-3 + (-3)}{2} = -3\)，即\(M(0, -3)\)（与焦点重合，因焦点弦为水平弦，中点在y轴上）。

例题15：抛物线的参数方程（开口向右）已知抛物线\(y^2 = 8x\)的参数方程为\(\begin{cases} x = 2t^2 \\ y = 4t \end{cases}\)（\(t\)为参数），求参数\(t = 2\)对应的点到焦点的距离。

解：

1. 当\(t = 2\)时，参数方程对应的点\(P\)的坐标：\(x = 2 \times 2^2 = 8\)，\(y = 4 \times 2 = 8\)，即\(P(8, 8)\)；

2. 抛物线\(y^2 = 8x\)开口向右，\(2p = 8\)，故\(p = 4\)，焦半径公式为\(|PF| = x_0 + \frac{p}{2}\)；

3. 代入\(x_0 = 8\)、\(\frac{p}{2} = 2\)，得\(|PF| = 8 + 2 = 10\)。

例题16：抛物线的法线方程（抛物线上一点）求抛物线\(y^2 = 4x\)上点\(P(1, 2)\)处的法线方程。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 4x\)开口向右，\(2p = 4\)，故\(p = 2\)；

2. 先求点\(P\)处的切线斜率：由切线方程\(yy_0 = p(x + x_0)\)，代入\(x_0 = 1\)、\(y_0 = 2\)、\(p = 2\)，得\(2y = 2(x + 1)\)，即\(y = x + 1\)，切线斜率为1；

3. 法线斜率为切线斜率的负倒数，即\(-1\)；

4. 法线过点\(P(1, 2)\)，故方程为\(y - 2 = -1 \times (x - 1)\)，整理为\(x + y - 3 = 0\)。

例题17：抛物线与直线的交点个数（开口向上）判断直线\(y = x + 1\)与抛物线\(x^2 = 4y\)的交点个数，并求出交点坐标。

解：

1. 联立直线与抛物线方程：将\(y = x + 1\)代入\(x^2 = 4y\)，得\(x^2 = 4(x + 1)\)，整理为\(x^2 - 4x - 4 = 0\)；

2. 计算判别式\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 16 + 16 = 32 > 0\)，故有两个不同交点；

3. 求解方程：\(x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}\)；

4. 对应纵坐标：当\(x = 2 + 2\sqrt{2}\)时，\(y = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}\)；当\(x = 2 - 2\sqrt{2}\)时，\(y = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}\)；

5. 交点坐标为\((2 + 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2})\)和\((2 - 2\sqrt{2}, 3 - 2\sqrt{2})\)。

例题18：抛物线的焦点弦长度（按夹角计算）已知抛物线\(y^2 = 6x\)，焦点弦\(AB\)与对称轴（x轴）的夹角为\(60^\circ\)，求焦点弦\(AB\)的长度。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 6x\)开口向右，\(2p = 6\)，故\(p = 3\)；

2. 焦点弦长度公式（按夹角\(\theta\)）：\(|AB| = \frac{2p}{\sin^2\theta}\)，其中\(\theta = 60^\circ\)，\(\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)；

3. 代入得\(|AB| = \frac{2 \times 3}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{6}{\frac{3}{4}} = 8\)；

4. 验证：直线\(AB\)的斜率\(k = \tan60^\circ = \sqrt{3}\)，方程为\(y = \sqrt{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)\)，联立与抛物线方程得\(3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = 6x\)，展开得\(3x^2 - 9x + \frac{27}{4} = 6x\)，整理为\(12x^2 - 60x + 27 = 0\)，韦达定理得\(x_1 + x_2 = 5\)，焦点弦长度\(|AB| = x_1 + x_2 + p = 5 + 3 = 8\)，与公式结果一致。

例题19：抛物线的顶点到焦点弦的距离（开口向上）已知抛物线\(x^2 = 4y\)，焦点弦\(AB\)为通径，求顶点\(O(0,0)\)到直线\(AB\)的距离。

解：

1. 抛物线\(x^2 = 4y\)开口向上，\(2p = 4\)，故\(p = 2\)，焦点\(F(0, 1)\)；

2. 通径是过焦点且垂直于对称轴（y轴）的弦，故直线\(AB\)为\(y = 1\)（平行于x轴）；

3. 顶点\(O(0,0)\)到直线\(y = 1\)的距离：直线\(y = 1\)的标准形式为\(0x + 1y - 1 = 0\)，距离\(d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 1\)。

例题20：抛物线的综合应用（焦点、切线、距离）已知抛物线\(y^2 = 4x\)，过焦点\(F\)作直线\(l\)与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，若抛物线上存在一点\(P\)，使得\(P\)处的切线与直线\(l\)平行，且\(P\)到直线\(l\)的距离为\(\sqrt{2}\)，求直线\(l\)的方程。

解：

1. 抛物线\(y^2 = 4x\)开口向右，\(p = 2\)，焦点\(F(1, 0)\)，设直线\(l\)的斜率为\(k\)（\(k \neq 0\)），则直线\(l\)的方程为\(y = k(x - 1)\)；

2. 抛物线上点\(P(x_0, y_0)\)处的切线斜率：由切线方程\(yy_0 = 2(x + x_0)\)，得斜率为\(\frac{2}{y_0}\)，因切线与\(l\)平行，故\(\frac{2}{y_0} = k\)，即\(y_0 = \frac{2}{k}\)，代入抛物线方程得\(x_0 = \frac{y_0^2}{4} = \frac{1}{k^2}\)，故\(P\left(\frac{1}{k^2}, \frac{2}{k}\right)\)；

3. 点\(P\)到直线\(l\)的距离：直线\(l\)的标准形式为\(kx - y - k = 0\)，距离\(d = \frac{\left|k \times \frac{1}{k^2} - \frac{2}{k} - k\right|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{\left|\frac{1}{k} - \frac{2}{k} - k\right|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{\left|-k - \frac{1}{k}\right|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{\left|-\frac{k^2 + 1}{k}\right|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{\sqrt{k^2 + 1}}{|k|}\)；

4. 已知\(d = \sqrt{2}\)，故\(\frac{\sqrt{k^2 + 1}}{|k|} = \sqrt{2}\)，两边平方得\(\frac{k^2 + 1}{k^2} = 2\)，解得\(k^2 = 1\)，即\(k = \pm 1\)；

5. 直线\(l\)的方程为\(y = x - 1\)或\(y = -x + 1\)，整理为\(x - y - 1 = 0\)或\(x + y - 1 = 0\)。