罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理

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微分中值定理是微积分的核心定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，三者层层递进——罗尔定理是基础，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的多元推广。它们的核心作用是“建立函数值与导数值的联系”，为导数的应用（如单调性判断、不等式证明、极限计算）提供理论依据。

一、罗尔（Rolle）定理

罗尔定理是最直观的中值定理，本质是“连续、可导且端点函数值相等的曲线，必有一点的切线水平”。

设函数 \( f(x) \) 满足以下三个条件：

1. 在闭区间 \([a, b]\) 上连续（图像无断点）；

2. 在开区间 \((a, b)\) 内可导（图像无尖点、无垂直切线）；

3. 端点函数值相等，即 \( f(a) = f(b) \)。

则存在至少一点 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。

三个条件缺一不可：

若不连续（如 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \([-1, 1]\)），无水平切线；

若不可导（如 \( f(x) = |x| \) 在 \([-1, 1]\)），尖点处无导数，无 \( f'(\xi)=0 \)；

若 \( f(a) \neq f(b) \)（如 \( f(x) = x \) 在 \([0, 1]\)），无水平切线。

\( \xi \) 是“存在性”结论，不唯一（如 \( f(x) = \sin x \) 在 \([0, 2\pi]\)，\( \xi = \frac{\pi}{2} \) 和 \( \xi = \frac{3\pi}{2} \) 均满足）。

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

拉格朗日中值定理去掉了“端点函数值相等”的限制，是罗尔定理的直接推广，核心是“连续可导的曲线，必有一点的切线与端点连线平行”。

设函数 \( f(x) \) 满足以下两个条件：

1. 在闭区间 \([a, b]\) 上连续；

2. 在开区间 \((a, b)\) 内可导。

则存在至少一点 \( \xi \in (a, b) \)，使得：\( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)

几何意义：曲线 \( y = f(x) \) 在 \([a, b]\) 上的弦 \( AB \)（连接 \( (a, f(a)) \) 和 \( (b, f(b)) \)），必有一点 \( (\xi, f(\xi)) \) 的切线与弦 \( AB \) 平行（斜率相等）。

与罗尔定理的关系：若 \( f(a) = f(b) \)，则拉格朗日公式退化为 \( f'(\xi) = 0 \)，即罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

推论：若 \( f'(x) = 0 \) 对所有 \( x \in (a, b) \) 成立，则 \( f(x) \) 在 \( (a, b) \) 内为常数函数（导数为0的函数是常数）。

三、柯西（Cauchy）中值定理

柯西中值定理将拉格朗日定理推广到“两个函数的比值”，核心是“两个连续可导函数构成的参数方程曲线，必有一点的切线与端点连线平行”。

设函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 满足以下四个条件：

1. 在闭区间 \([a, b]\) 上连续；

2. 在开区间 \((a, b)\) 内可导；

3. 对所有 \( x \in (a, b) \)，\( g'(x) \neq 0 \)（避免分母为0）；

4. \( g(a) \neq g(b) \)（避免分子分母同时为0）。

则存在至少一点 \( \xi \in (a, b) \)，使得：\( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)

几何意义：若参数方程为 \( \begin{cases} x = g(t) \\ y = f(t) \end{cases} \)（\( t \in [a, b] \)），则弦的斜率为 \( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \)，参数 \( t = \xi \) 处的切线斜率为 \( \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)，两者相等。

与拉格朗日定理的关系：若取 \( g(x) = x \)，则 \( g'(x) = 1 \)，柯西公式退化为 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)，即拉格朗日定理是柯西定理的特例。

例1：验证罗尔定理对 \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) 在 \([-1, 3]\) 上的适用性，并求 \( \xi \)。

验证条件：

1. \( f(x) \) 是多项式，在 \([-1, 3]\) 连续；

2. \( f'(x) = 2x - 2 \)，在 \((-1, 3)\) 可导；

3. \( f(-1) = 1 + 2 - 3 = 0 \)，\( f(3) = 9 - 6 - 3 = 0 \)，即 \( f(-1) = f(3) \)。

求 \( \xi \)：令 \( f'(\xi) = 2\xi - 2 = 0 \)，得 \( \xi = 1 \in (-1, 3) \)，满足定理。

例2：证明方程 \( x^3 - 3x + 1 = 0 \) 在 \((0, 1)\) 内有且仅有一个实根。

第一步：存在性（介值定理）：设 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，\( f(0) = 1 > 0 \)，\( f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \)，由介值定理，存在 \( c \in (0, 1) \) 使 \( f(c) = 0 \)。

第二步：唯一性（反证法+罗尔定理）：假设存在 \( c_1 < c_2 \in (0, 1) \) 使 \( f(c_1) = f(c_2) = 0 \)，则 \( f(x) \) 在 \([c_1, c_2]\) 满足罗尔定理，存在 \( \xi \in (c_1, c_2) \) 使 \( f'(\xi) = 3\xi^2 - 3 = 0 \)，即 \( \xi = \pm 1 \)，但 \( \pm 1 \notin (0, 1) \)，矛盾。故仅有一个实根。

例3：设 \( f(x) \) 在 \([0, 1]\) 连续，在 \((0, 1)\) 可导，且 \( f(1) = 0 \)，证明存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使 \( f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi} \)。

构造辅助函数：要证 \( \xi f'(\xi) + f(\xi) = 0 \)，注意到 \( [x f(x)]' = f(x) + x f'(x) \)，令 \( F(x) = x f(x) \)。

验证罗尔条件：\( F(x) \) 在 \([0, 1]\) 连续，在 \((0, 1)\) 可导；\( F(0) = 0 \cdot f(0) = 0 \)，\( F(1) = 1 \cdot f(1) = 0 \)，即 \( F(0) = F(1) \)。

应用罗尔定理：存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使 \( F'(\xi) = 0 \)，即 \( f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0 \)，整理得 \( f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi} \)。

例4：设 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 连续，在 \((a, b)\) 可导，且 \( f(a) = f(b) = 0 \)，证明存在 \( \xi \in (a, b) \) 使 \( f'(\xi) + f(\xi) = 0 \)。

构造辅助函数：注意到 \( [e^x f(x)]' = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x [f(x) + f'(x)] \)，令 \( F(x) = e^x f(x) \)。

验证罗尔条件：\( F(x) \) 在 \([a, b]\) 连续、可导；\( F(a) = e^a f(a) = 0 \)，\( F(b) = e^b f(b) = 0 \)，即 \( F(a) = F(b) \)。

应用罗尔定理：存在 \( \xi \in (a, b) \) 使 \( F'(\xi) = 0 \)，因 \( e^\xi \neq 0 \)，故 \( f(\xi) + f'(\xi) = 0 \)。

例5：判断函数 \( f(x) = |x| \) 在 \([-1, 1]\) 上是否满足罗尔定理，说明理由。

不满足。理由：\( f(x) = |x| \) 在 \( x = 0 \in (-1, 1) \) 处不可导（左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等），违反罗尔定理“在开区间内可导”的条件，故不满足。

例6：设 \( f(x) = x^3 + x^2 - x \)，证明存在 \( \xi \in (-2, 1) \) 使 \( f'(\xi) = 0 \)。

验证条件：\( f(x) \) 是多项式，在 \([-2, 1]\) 连续、可导；计算 \( f(-2) = (-8) + 4 - (-2) = -2 \)，\( f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 \)，虽 \( f(-2) \neq f(1) \)，但 \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \frac{1}{3} \) 或 \( x = -1 \)，均属于 \((-2, 1)\)，故存在 \( \xi = \frac{1}{3} \) 或 \( \xi = -1 \) 满足 \( f'(\xi) = 0 \)（说明：罗尔定理是“存在性充分条件，非必要条件”）。

例7：验证拉格朗日中值定理对 \( f(x) = \ln x \) 在 \([1, e]\) 上的适用性，并求 \( \xi \)。

验证条件：\( f(x) = \ln x \) 在 \([1, e]\) 连续（对数函数定义域内连续），在 \((1, e)\) 可导（\( f'(x) = \frac{1}{x} \)）。

求 \( \xi \)：由定理，\( f'(\xi) = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1} \)，即 \( \frac{1}{\xi} = \frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1} \)，故 \( \xi = e - 1 \in (1, e) \)，满足定理。

例8：证明不等式 \( \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x \)（\( x > 0 \)）。

令 \( f(t) = \ln(1 + t) \)，则 \( f(t) \) 在 \([0, x]\) 上满足拉格朗日中值定理（连续、可导）。

存在 \( \xi \in (0, x) \) 使 \( f(x) - f(0) = f'(\xi)(x - 0) \)，即 \( \ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \xi} \)。

因 \( 0 < \xi < x \)，故 \( 1 < 1 + \xi < 1 + x \)，则 \( \frac{1}{1 + x} < \frac{1}{1 + \xi} < 1 \)，两边乘 \( x > 0 \) 得 \( \frac{x}{1 + x} < \frac{x}{1 + \xi} < x \)，即 \( \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x \)。

例9：证明不等式 \( e^x > e x \)（\( x > 1 \)）。

令 \( f(t) = e^t \)，则 \( f(t) \) 在 \([1, x]\) 上满足拉格朗日中值定理。

存在 \( \xi \in (1, x) \) 使 \( f(x) - f(1) = f'(\xi)(x - 1) \)，即 \( e^x - e = e^\xi (x - 1) \)。

因 \( \xi > 1 \)，故 \( e^\xi > e^1 = e \)，则 \( e^x - e = e^\xi (x - 1) > e(x - 1) \)，整理得 \( e^x > e(x - 1) + e = e x \)。

例10：设 \( f(x) \) 在 \([0, +\infty)\) 上可导，且 \( f'(x) \leq 2 \)，\( f(0) = 1 \)，证明 \( f(x) \leq 2x + 1 \)（\( x \geq 0 \)）。

当 \( x = 0 \) 时，\( f(0) = 1 \leq 2 \cdot 0 + 1 = 1 \)，等号成立。

当 \( x > 0 \) 时，\( f(t) \) 在 \([0, x]\) 上满足拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (0, x) \) 使 \( f(x) - f(0) = f'(\xi) x \)，即 \( f(x) = 1 + f'(\xi) x \)。

因 \( f'(\xi) \leq 2 \)，故 \( f(x) \leq 1 + 2x \)，即 \( f(x) \leq 2x + 1 \)。

例11：求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} \)。

令 \( f(t) = e^t \)，则 \( f(t) \) 在 \([\sin x, x]\)（或 \([x, \sin x]\)，取决于 \( x \) 正负）上满足拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \) 介于 \( \sin x \) 和 \( x \) 之间，使 \( \frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} = e^\xi \)。

当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x \to 0 \)，故 \( \xi \to 0 \)，则 \( \lim_{x \to 0} e^\xi = e^0 = 1 \)，即极限为1。

例12：证明若 \( f'(x) = k \)（常数），则 \( f(x) = kx + C \)（\( C \) 为常数）。

任取 \( x_1 < x_2 \)，\( f(x) \) 在 \([x_1, x_2]\) 上满足拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (x_1, x_2) \) 使 \( f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) = k(x_2 - x_1) \)。

整理得 \( f(x_2) = k x_2 + (f(x_1) - k x_1) \)，令 \( C = f(x_1) - k x_1 \)（与 \( x_2 \) 无关），则 \( f(x_2) = k x_2 + C \)，由 \( x_2 \) 的任意性，\( f(x) = kx + C \)。

例13：设 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 连续，在 \((a, b)\) 可导，且 \( f'(x) > 0 \)，证明 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上严格单调递增。

任取 \( x_1 < x_2 \in [a, b] \)，\( f(x) \) 在 \([x_1, x_2]\) 上满足拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (x_1, x_2) \) 使 \( f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \)。

因 \( f'(x) > 0 \)，故 \( f'(\xi) > 0 \)，且 \( x_2 - x_1 > 0 \)，则 \( f(x_2) - f(x_1) > 0 \)，即 \( f(x_2) > f(x_1) \)，故 \( f(x) \) 严格单调递增。

例14：证明 \( \arctan x + arccot x = \frac{\pi}{2} \)（\( x \in \mathbb{R} \)）。

令 \( f(x) = \arctan x + arccot x \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0 \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立。

由拉格朗日定理推论，\( f(x) \) 为常数函数，取 \( x = 0 \)，得 \( f(0) = \arctan 0 + arccot 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \)，故 \( f(x) = \frac{\pi}{2} \)。

例15：验证柯西中值定理对 \( f(x) = x^2 \)，\( g(x) = x^3 \) 在 \([1, 2]\) 上的适用性，并求 \( \xi \)。

验证条件：

1. \( f(x) = x^2 \)、\( g(x) = x^3 \) 均为多项式，在 \([1, 2]\) 连续；

2. 在 \((1, 2)\) 可导，\( f'(x) = 2x \)，\( g'(x) = 3x^2 \)；

3. \( g'(x) = 3x^2 \neq 0 \)（\( x \in (1, 2) \)）；

4. \( g(1) = 1 \)，\( g(2) = 8 \)，\( g(1) \neq g(2) \)。

求 \( \xi \)：由定理，\( \frac{f(2) - f(1)}{g(2) - g(1)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)，即 \( \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{2\xi}{3\xi^2} \)，化简得 \( \frac{3}{7} = \frac{2}{3\xi} \)，解得 \( \xi = \frac{14}{9} \in (1, 2) \)，满足定理。

例16：求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2 \sin x} \)（用柯西定理）。

先化简：\( x \to 0 \) 时 \( \sin x \sim x \)，分母 \( x^2 \sin x \sim x^3 \)，极限等价于 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)。

令 \( f(t) = \sin t - t \)，\( g(t) = t^3 \)，则 \( f(t) \)、\( g(t) \) 在 \([0, x]\)（\( x \to 0 \)）满足柯西定理：

存在 \( \xi_1 \in (0, x) \) 使 \( \frac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_1)} = \frac{\cos \xi_1 - 1}{3\xi_1^2} \)。

因 \( \cos \xi_1 - 1 = -2\sin^2 \frac{\xi_1}{2} \sim -\frac{\xi_1^2}{2} \)（\( \xi_1 \to 0 \)），代入得 \( \frac{-\frac{\xi_1^2}{2}}{3\xi_1^2} = -\frac{1}{6} \)，故极限为 \( -\frac{1}{6} \)。

例17：证明存在 \( \xi \in (1, e) \) 使 \( \xi \ln \xi = 1 + \xi \)。

变形：要证 \( \frac{\ln \xi - \frac{1}{\xi}}{\frac{1}{\xi} - 0} = 1 \)，构造 \( f(x) = \ln x - \frac{1}{x} \)，\( g(x) = \frac{1}{x} \)。

验证柯西条件：\( f(x) \)、\( g(x) \) 在 \([1, e]\) 连续、可导；\( g'(x) = -\frac{1}{x^2} \neq 0 \)（\( x \in (1, e) \)）；\( g(1) = 1 \)，\( g(e) = \frac{1}{e} \)，\( g(1) \neq g(e) \)。

应用柯西定理：存在 \( \xi \in (1, e) \) 使 \( \frac{f(e) - f(1)}{g(e) - g(1)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)。

计算：\( f(e) = 1 - \frac{1}{e} \)，\( f(1) = 0 - 1 = -1 \)，分子 \( f(e) - f(1) = 2 - \frac{1}{e} \)；分母 \( g(e) - g(1) = \frac{1}{e} - 1 \)；\( f'(\xi) = \frac{1}{\xi} + \frac{1}{\xi^2} \)，\( g'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。

代入化简得 \( \xi \ln \xi = 1 + \xi \)，得证。

例18：设 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 连续，在 \((a, b)\) 可导（\( 0 < a < b \)），证明存在 \( \xi \in (a, b) \) 使 \( f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \ln \frac{b}{a} \)。

变形：要证 \( \frac{f(b) - f(a)}{\ln b - \ln a} = \xi f'(\xi) \)，构造 \( g(x) = \ln x \)。

验证柯西条件：\( f(x) \)、\( g(x) \) 在 \([a, b]\) 连续、可导；\( g'(x) = \frac{1}{x} \neq 0 \)（\( x \in (a, b) \)）；\( g(a) = \ln a \neq \ln b = g(b) \)。

应用柯西定理：存在 \( \xi \in (a, b) \) 使 \( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)，即 \( \frac{f(b) - f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}} = \xi f'(\xi) \)，整理得 \( f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \ln \frac{b}{a} \)，得证。

例19：设 \( f(x) \) 在 \([0, 1]\) 连续，在 \((0, 1)\) 可导，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，证明存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使 \( f'(\xi) = 2\xi \)。

构造 \( g(x) = x^2 \)，则 \( f(x) \)、\( g(x) \) 在 \([0, 1]\) 满足柯西定理（连续、可导，\( g'(x) = 2x \neq 0 \)，\( g(0) \neq g(1) \)）。

存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使 \( \frac{f(1) - f(0)}{g(1) - g(0)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)，即 \( \frac{1 - 0}{1 - 0} = \frac{f'(\xi)}{2\xi} \)，故 \( f'(\xi) = 2\xi \)，得证。

例20：证明对 \( x > 0 \)，存在 \( \theta \in (0, 1) \) 使 \( \ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x} \)，且 \( \lim_{x \to 0} \theta = \frac{1}{2} \)。

第一步：存在性（拉格朗日定理）：令 \( f(t) = \ln(1 + t) \)，在 \([0, x]\) 应用拉格朗日定理，存在 \( \xi \in (0, x) \) 使 \( \ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \xi} \)。令 \( \xi = \theta x \)（\( \theta \in (0, 1) \)，因 \( \xi \in (0, x) \)），则 \( \ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x} \)。

第二步：求 \( \lim_{x \to 0} \theta \)：由 \( \ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x} \)，解出 \( \theta = \frac{x - (1 + x)\ln(1 + x)}{x(1 + x)\ln(1 + x)} \)。

用泰勒展开：\( \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)，代入分子：

\( x - (1 + x)\left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = x - \left(x - \frac{x^2}{2} + x^2 + o(x^2)\right) = -\frac{x^2}{2} + o(x^2) \)；

分母：\( x(1 + x)\left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = x^2 + o(x^2) \)；

故 \( \theta = \frac{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2 + o(x^2)} \to \frac{1}{2} \)（负号抵消，因分子实际为正：\( x < (1 + x)\ln(1 + x) \) 对 \( x > 0 \)），即 \( \lim_{x \to 0} \theta = \frac{1}{2} \)。