指数函数：$y = a^{x}(a>0$，且$a\neq1)$

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一、指数函数的定义

一般地，函数$y = a^{x}(a>0$，且$a\neq1)$叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$R$。

例如，$y = 2^{x}$、$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$都是指数函数。这里要注意指数函数的底数$a$的取值范围是$a>0$且$a\neq1$，因为当$a = 0$时，若$x>0$，$a^{x}=0$；若$x\leqslant0$，$a^{x}$无意义。当$a<0$时，$a^{x}$的值在$x$取某些值（如分数）时无意义，而当$a = 1$时，$y = 1^{x}=1$是一个常数函数，不符合指数函数的定义。

二、指数函数的图象和性质

图象：

当$a>1$时，指数函数$y = a^{x}$的图象是上升的曲线。

例如，$y = 2^{x}$的图象，它经过点$(0,1)$，随着$x$的增大，$y$的值增长得越来越快。

当$0<a<1$时，指数函数$y = a^{x}$的图象是下降的曲线。

例如，$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$的图象，同样经过点$(0,1)$，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小，趋近于$0$。

性质：

定义域：指数函数的定义域是$R$，这意味着$x$可以取任意实数。

例如，对于$y = 3^{x}$，$x$可以是整数、分数、无理数等任何实数。

值域：当$a>0$且$a\neq1$时，指数函数的值域是$(0,+\infty)$。因为对于任何实数$x$，$a^{x}>0$。

例如，$y = 5^{x}$，无论$x$取何值，$y$的值总是大于$0$的。

单调性：当$a>1$时，函数在$R$上单调递增；当$0<a<1$时，函数在$R$上单调递减。

例如，$y = 2^{x}$是单调递增函数，若$x_{1}<x_{2}$，则$2^{x_{1}}<2^{x_{2}}$；

例如，$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$是单调递减函数，若$x_{1}<x_{2}$，则$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_{1}}>\left(\frac{1}{3}\right)^{x_{2}}$。

过定点：指数函数$y = a^{x}$恒过定点$(0,1)$。因为当$x = 0$时，$a^{0}=1$（$a>0$且$a\neq1$）。

三、指数函数的定义中为什么要求a>0，且a≠1

1. 当$a = 0$时的情况

若$x>0$，那么$a^{x}=0^{x}=0$；但是若$x\leqslant0$，$0^{x}$就无意义。例如，$0^{-1}=\frac{1}{0}$是不被允许的，因为在数学中除数不能为$0$。所以$a = 0$不符合指数函数对$x$取任意实数都有意义的要求。

2. 当$a<0$时的情况

当$x$是整数时，$a^{x}$是有意义的。例如，当$a=-2$，$x = 3$时，$a^{x}=(-2)^{3}=-8$。

然而，当$x$是分数时，$a^{x}$可能会无意义。比如$a = - 2$，$x=\frac{1}{2}$，那么$a^{x}=(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$，在实数范围内，负数不能开平方，所以此时函数值无意义。这样就无法保证对于任意的实数$x$，函数$y = a^{x}$都有意义。

3. 当$a = 1$时的情况

此时函数$y = 1^{x}=1$，对于任意的$x\in R$，函数值始终为$1$，这是一个常数函数。而指数函数要求它的底数$a$能够使函数值随着$x$的变化而变化，所以$a = 1$不符合指数函数的定义。

综上，为了保证函数$y = a^{x}$对于任意实数$x$都有意义，并且函数值能够随着$x$的变化而变化，指数函数的定义中要求$a>0$，且$a\neq1$。

例题1. 判断是否为指数函数：下列函数中，哪些是指数函数？①$y=2^{x}$；②$y=x^{2}$；③$y=(-2)^{x}$；④$y=2^{x+1}$；⑤$y=3^{-x}$。

解析：

①是（符合$y=a^{x}$标准形式，$a=2>1$）；②不是（底数是变量$x$，是幂函数）；③不是（底数$-2<0$，不符合定义）；④不是（可变形为$y=2×2^{x}$，多了系数2，非标准形式）；⑤是（可变形为$y=(\frac{1}{3})^{x}$，$a=\frac{1}{3}∈(0,1)$，符合定义）。

例题2. 求定义域：求函数$y=2^{\sqrt{x-1}}$的定义域。

解析：

根号下的表达式需非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$，故定义域为$[1, +∞)$。

例题3. 求值域：求函数$y=3^{x}+1$的值域。

解析：

由指数函数性质，$3^{x}>0$，两边加1得$3^{x}+1>1$，故值域为$(1, +∞)$。

例题4. 求定点：求函数$y=2^{x-3}+4$过的定点坐标。

解析：

指数函数过定点的核心是“指数部分为0时，函数值恒定”。令$x-3=0$，得$x=3$，此时$y=2^{0}+4=1+4=5$，故定点为$(3,5)$。

例题5. 判断单调性：判断函数$y=(\frac{2}{3})^{2x}$的单调性。

解析：

先变形为$y=[(\frac{2}{3})^{2}]^{x}=(\frac{4}{9})^{x}$，底数$\frac{4}{9}∈(0,1)$，故函数在$R$上单调递减。

例题6. 比较函数值大小：已知$a=2^{0.3}$，$b=2^{0.5}$，$c=(\frac{1}{2})^{0.4}$，比较$a$、$b$、$c$的大小。

解析：

先统一底数，$c=(\frac{1}{2})^{0.4}=2^{-0.4}$；因$y=2^{x}$单调递增，且$-0.4<0.3<0.5$，故$2^{-0.4}<2^{0.3}<2^{0.5}$，即$c<a<b$。

例题7. 根据单调性求参数范围：已知函数$y=(a^{2}-3a+3)a^{x}$是单调递增的指数函数，求$a$的值。

解析：

第一步，指数函数需满足“系数为1”，即$a^{2}-3a+3=1$，解得$a=1$或$a=2$；第二步，排除$a=1$（因$a≠1$），且$a=2>1$时函数单调递增，故$a=2$。

例题8. 图像平移问题：将指数函数$y=2^{x}$的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新函数解析式是什么？

解析：

函数图像平移遵循“左加右减、上加下减”（针对$x$的变化是“左加右减”，针对函数值的变化是“上加下减”）。向右平移2个单位得$y=2^{x-2}$，再向上平移3个单位得$y=2^{x-2}+3$。

例题9. 解指数方程：解方程$4^{x}-2^{x+1}-3=0$。

解析：

用换元法，令$t=2^{x}(t>0)$，则$4^{x}=(2^{2})^{x}=t^{2}$，方程变为$t^{2}-2t-3=0$；因式分解得$(t-3)(t+1)=0$，解得$t=3$或$t=-1$（舍去$t=-1$，因$t>0$）；故$2^{x}=3$，解得$x=log_{2}3$（若未学对数，可保留“$x=log_{2}3$”的形式）。

例题10. 解指数不等式：解不等式$(\frac{1}{3})^{x-1}>9$。

解析：

统一底数，$9=3^{2}=(\frac{1}{3})^{-2}$，不等式变为$(\frac{1}{3})^{x-1}>(\frac{1}{3})^{-2}$；因$y=(\frac{1}{3})^{x}$单调递减，故“不等号方向反转”，得$x-1<-2$，解得$x<-1$。

例题11. 定义域与单调性结合：求函数$y=(\frac{1}{2})^{x^{2}-2x}$的单调递增区间。

解析：

用“复合函数单调性”（同增异减），令$u=x^{2}-2x$（内层函数），则$y=(\frac{1}{2})^{u}$（外层函数，单调递减）；故内层函数单调递减的区间，即为复合函数单调递增的区间。$u=x^{2}-2x$是二次函数，对称轴为$x=1$，单调递减区间为$(-∞,1]$，故原函数的单调递增区间为$(-∞,1]$。

例题12. 值域与二次函数结合：求函数$y=2^{x^{2}-4x+3}$的值域。

解析：

令$u=x^{2}-4x+3$，先求$u$的值域：$u=(x-2)^{2}-1≥-1$；再看外层函数$y=2^{u}$（单调递增），故当$u≥-1$时，$2^{u}≥2^{-1}=\frac{1}{2}$，即原函数的值域为$[\frac{1}{2}, +∞)$。

例题13. 奇偶性判断：判断函数$f(x)=2^{x}+2^{-x}$的奇偶性。

解析：

第一步，定义域为$R$，关于原点对称；第二步，计算$f(-x)$：$f(-x)=2^{-x}+2^{x}=f(x)$，故函数为偶函数。

例题14. 实际应用（增长率问题）：某公司初始资金为100万元，资金年增长率为5%，按复利计算（即每年的资金是上一年的1.05倍），求5年后的资金总额（精确到0.1万元）。

解析：

复利问题对应指数函数模型$y=P(1+r)^{x}$，其中$P=100$（初始资金），$r=5\%=0.05$（增长率），$x=5$（年数）。代入得$y=100×1.05^{5}$，计算得$1.05^{5}≈1.2763$，故$y≈100×1.2763≈127.6$万元。

例题15. 分段函数与指数函数结合：已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x}, & x≥0 \\ (\frac{1}{2})^{x}, & x<0\end{cases}$，求$f(-1)+f(1)$的值。

解析：

$f(-1)$对应$x<0$的解析式，$f(-1)=(\frac{1}{2})^{-1}=2$；$f(1)$对应$x≥0$的解析式，$f(1)=2^{1}=2$；故$f(-1)+f(1)=2+2=4$。

例题16. 指数函数与方程根的个数：判断方程$2^{x}=x+2$的实数根个数。

解析：

通过“图像法”，分别画出$y=2^{x}$（过$(0,1)$，单调递增）和$y=x+2$（斜率为1的直线，过$(0,2)$、$(2,4)$）的图像。观察交点：当$x=-1$时，$2^{-1}=0.5$，$x+2=1$，$0.5<1$；当$x=0$时，$2^{0}=1$，$x+2=2$，$1<2$；当$x=1$时，$2^{1}=2$，$x+2=3$，$2<3$；当$x=2$时，$2^{2}=4$，$x+2=4$，相等（1个交点）；当$x=3$时，$2^{3}=8$，$x+2=5$，$8>5$；当$x=-2$时，$2^{-2}=0.25$，$x+2=0$，$0.25>0$，故在$x<-1$处还有1个交点。综上，实数根个数为2。

例题17. 参数方程问题：已知关于$x$的方程$a^{x}=x+1$（$a>0且a≠1$）有且只有一个解，求$a$的值。

解析：

结合图像分析，$y=a^{x}$与$y=x+1$恒过$(0,1)$（$a^{0}=1$，$0+1=1$）。当$a=1$时不符合定义，排除；当$a>1$时，$y=a^{x}$在$x=0$处的切线斜率大于1（导数$y’=a^{x}ln a$，$x=0$时斜率为$ln a>0$），仅在$(0,1)$处有1个交点；当$0<a<1$时，$y=a^{x}$在$x=0$处的切线斜率为$ln a<0$，除$(0,1)$外，还会在$x>0$处有1个交点，不符合“只有一个解”；当$a=e$时（导数$ln e=1$，切线与$y=x+1$重合），但实际$a=1$时才会有特殊情况，进一步验证：当$a=1$排除，当$a=e$时方程解为$x=0$（唯一），但更简单的是：当$a=1$不行，当$a>1$时唯一解在$x=0$，当$0<a<1$时两个解，故$a>1$？不，实际当$a=e^{\frac{1}{e}}$时是临界值，此处简化：若方程只有一个解，必在$x=0$，且函数在该点相切，导数相等，$a^{0}ln a=1$（$y=x+1$斜率为1），即$ln a=1$，故$a=e$。

例题18. 不等式恒成立问题：若对任意$x>0$，不等式$2^{x}+m>0$恒成立，求实数$m$的取值范围。

解析：

不等式变形为$m>-2^{x}$。因$x>0$时，$2^{x}>2^{0}=1$，故$-2^{x}<-1$；要使$m>-2^{x}$对任意$x>0$恒成立，需$m≥-1$（即$m$大于等于$-2^{x}$的最大值$-1$）。

例题19. 指数函数与对数函数结合：已知$2^{x}=3$，$3^{y}=2$，求$x+y$的值。

解析：

由$2^{x}=3$得$x=log_{2}3$，由$3^{y}=2$得$y=log_{3}2$；根据对数性质$log_{a}b×log_{b}a=1$，且$x+y=log_{2}3+log_{3}2$，但更简单的是：两边取对数，$x=ln3/ln2$，$y=ln2/ln3$，故$x+y=(ln²3 + ln²2)/(ln2ln3)$，但实际计算数值：$x≈1.585$，$y≈0.631$，故$x+y≈2.216$，若保留符号形式，即为$log_{2}3 + log_{3}2$。