抽象函数：定义域、值域、解析式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

抽象函数是指没有给出具体解析式，仅通过函数满足的性质（如定义域、奇偶性、单调性、递推关系等）来定义的函数。由于其“抽象性”，解题需围绕函数的核心概念（定义域、值域）和性质展开，注重逻辑推理而非代数运算。

一、抽象函数的定义域

函数的定义域是指自变量\(x\)的取值范围，抽象函数的定义域问题核心是“括号内整体的取值范围一致”——无论括号内是\(x\)、\(ax+b\)还是其他表达式，其取值范围始终等于原函数的定义域（即原函数中自变量的取值范围）。

定义域解题的3个核心原则

1. 若已知\(f(x)\)的定义域为\([a,b]\)，则\(f(g(x))\)的定义域是满足\(a \leq g(x) \leq b\)的\(x\)的取值范围；

2. 若已知\(f(g(x))\)的定义域为\([a,b]\)，则\(g(x)\)在\(x \in [a,b]\)时的取值范围，就是\(f(x)\)的定义域；

3. 若已知\(f(g(x))\)的定义域，求\(f(h(x))\)的定义域，需先通过\(f(g(x))\)求出\(f(x)\)的定义域，再结合原则1求\(f(h(x))\)的定义域。

例题1：已知\(f(x)\)的定义域为\([1,3]\)，求\(f(2x-1)\)的定义域。

解：由\(f(x)\)的定义域为\([1,3]\)，知括号内整体需满足\(1 \leq 2x-1 \leq 3\)；

解不等式：\(1+1 \leq 2x \leq 3+1\) → \(2 \leq 2x \leq 4\) → \(1 \leq x \leq 2\)；

故\(f(2x-1)\)的定义域为\([1,2]\)。

例题2：已知\(f(3x+2)\)的定义域为\([-1,2]\)，求\(f(x)\)的定义域。

解：\(f(3x+2)\)的定义域是\(x\)的范围：\(x \in [-1,2]\)；

计算括号内\(3x+2\)的取值范围：当\(x=-1\)时，\(3\times(-1)+2=-1\)；当\(x=2\)时，\(3\times2+2=8\)；

故\(3x+2 \in [-1,8]\)，即\(f(x)\)的定义域为\([-1,8]\)。

例题3：已知\(f(x^2-1)\)的定义域为\([0,2]\)，求\(f(2x+1)\)的定义域。

解：第一步，求\(f(x)\)的定义域：

\(f(x^2-1)\)中\(x \in [0,2]\)，则\(x^2 \in [0,4]\)，\(x^2-1 \in [-1,3]\)，故\(f(x)\)的定义域为\([-1,3]\)；

第二步，求\(f(2x+1)\)的定义域：

令\(-1 \leq 2x+1 \leq 3\)，解得\(-2 \leq 2x \leq 2\) → \(-1 \leq x \leq 1\)；

故\(f(2x+1)\)的定义域为\([-1,1]\)。

例题4：已知\(f(x)\)的定义域为\((a,b)\)，且\(b > -a > 0\)，求\(f(x^2)\)的定义域。

解：由\(f(x)\)的定义域为\((a,b)\)，知\(a < x^2 < b\)；

又\(b > -a > 0\)，故\(a < 0 < b\)，且\(x^2 > a\)恒成立（因\(x^2 \geq 0 > a\)）；

只需满足\(x^2 < b\)，即\(-\sqrt{b} < x < \sqrt{b}\)；

故\(f(x^2)\)的定义域为\((-\sqrt{b},\sqrt{b})\)。

例题5：已知\(f(\sqrt{x}+1)\)的定义域为\([0,4]\)，求\(f(x-1)\)的定义域。

解：第一步，求\(f(x)\)的定义域：

\(f(\sqrt{x}+1)\)中\(x \in [0,4]\)，则\(\sqrt{x} \in [0,2]\)，\(\sqrt{x}+1 \in [1,3]\)，故\(f(x)\)的定义域为\([1,3]\)；

第二步，求\(f(x-1)\)的定义域：

令\(1 \leq x-1 \leq 3\)，解得\(2 \leq x \leq 4\)；

故\(f(x-1)\)的定义域为\([2,4]\)。

二、抽象函数的值域

抽象函数的值域是指函数值\(f(x)\)的取值范围，由于无具体解析式，需通过函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性、递推关系）或定义域与对应关系的约束来推导。

值域解题的4种常用方法

1. 单调性法：若已知函数单调递增（或递减），则值域为定义域端点对应的函数值构成的区间；

2. 奇偶性法：奇函数在对称区间上的值域关于原点对称，偶函数在对称区间上的值域与正半轴（或负半轴）的值域一致；

3. 递推法：通过函数的递推关系（如\(f(x+1)=f(x)+2\)）推导函数值的变化规律，进而确定值域；

4. 赋值法：通过给自变量赋特殊值（如\(x=0\)、\(x=1\)、\(x=-x\)），求出关键函数值，再结合性质确定值域。

例题6：已知\(f(x)\)是定义在\([-2,2]\)上的奇函数，且在\([0,2]\)上单调递增，求\(f(x)\)的值域。

解：因\(f(x)\)是奇函数，故\(f(-x) = -f(x)\)，且\(f(0) = 0\)；

又\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递增，故\(f(0) \leq f(x) \leq f(2)\)，即\(0 \leq f(x) \leq f(2)\)；

对\(x \in [-2,0)\)，令\(t = -x \in (0,2]\)，则\(f(x) = -f(t)\)，故\(-f(2) \leq f(x) < 0\)；

综上，\(f(x)\)的值域为\([-f(2),f(2)]\)（若已知\(f(2)=3\)，则值域为\([-3,3]\)）。

例题7：已知\(f(x)\)满足\(f(x+1) = f(x) + 2\)，且\(f(1) = 3\)，求\(f(x)\)在\([2,5]\)上的值域。

解：由\(f(x+1) - f(x) = 2\)，知\(f(x)\)是公差为2的一次函数（单调递增）；

先求解析式：\(f(x) = f(1) + 2(x-1) = 3 + 2x - 2 = 2x + 1\)；

当\(x \in [2,5]\)时，\(f(2) = 5\)，\(f(5) = 11\)；

故\(f(x)\)在\([2,5]\)上的值域为\([5,11]\)。

例题8：已知\(f(x)\)是偶函数，且在\((-\infty,0]\)上单调递减，若\(f(-2) = 1\)，求\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上的值域。

解：偶函数的图像关于\(y\)轴对称，故\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上的单调性与\((-\infty,0]\)相反，即\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递增；

又\(f(x)\)是偶函数，故\(f(2) = f(-2) = 1\)；

当\(x \in [0,+\infty)\)时，\(f(x) \geq f(0)\)（单调递增），且\(f(x) \geq f(0)\)，无上限（若\(x\)趋近于\(+\infty\)，\(f(x)\)趋近于\(+\infty\)）；

故\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上的值域为\([f(0),+\infty)\)（若已知\(f(0)=0\)，则值域为\([0,+\infty)\)）。

例题9：已知\(f(x)\)满足\(f(xy) = f(x) + f(y)\)，且\(f(2) = 1\)，求\(f(x)\)在\([1,8]\)上的值域。

解：先分析函数性质：令\(x=1\)，\(y=1\)，则\(f(1\times1) = f(1) + f(1)\) → \(f(1)=0\)；

令\(y=\frac{x_2}{x_1}\)（\(x_2 > x_1 > 0\)），则\(f(x_1 \times \frac{x_2}{x_1}) = f(x_1) + f(\frac{x_2}{x_1})\) → \(f(x_2) = f(x_1) + f(\frac{x_2}{x_1})\)；

因\(\frac{x_2}{x_1} > 1\)，可推\(f(\frac{x_2}{x_1}) > 0\)（如\(f(2)=1>0\)，\(f(4)=f(2\times2)=2>0\)），故\(f(x_2) > f(x_1)\)，即\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增；

当\(x \in [1,8]\)时，\(f(1)=0\)，\(f(8)=f(2\times4)=f(2)+f(4)=1+2=3\)；

故\(f(x)\)在\([1,8]\)上的值域为\([0,3]\)。

例题10：已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的周期函数，周期\(T=2\)，且在\([0,2)\)上\(f(x) = x\)，求\(f(x)\)在\([-3,1]\)上的值域。

解：周期函数满足\(f(x+2) = f(x)\)，故需将\([-3,1]\)分区间转化为\([0,2)\)的对应区间：

当\(x \in [-3,-2)\)时，\(x+4 \in [1,2)\)，故\(f(x) = f(x+4) = x+4\)，此时\(f(x) \in [1,2)\)；

当\(x \in [-2,0)\)时，\(x+2 \in [0,2)\)，故\(f(x) = f(x+2) = x+2\)，此时\(f(x) \in [0,2)\)；

当\(x \in [0,1]\)时，\(f(x) = x\)，此时\(f(x) \in [0,1]\)；

综上，\(f(x)\)在\([-3,1]\)上的值域为\([0,2)\)。

三、抽象函数的解析式

抽象函数的解析式求解，本质是通过函数满足的恒等关系（如奇偶性、对称性、递推式），将“抽象”的对应关系转化为“具体”的代数表达式，核心方法是赋值法、构造法、递推法。

解析式求解的5种核心方法

1. 赋值法：给自变量赋特殊值（如\(x=0\)、\(x=1\)、\(x=-y\)），利用恒等关系建立方程，解出\(f(x)\)；

2. 换元法：令\(t = g(x)\)（如\(t = x+1\)、\(t = 2x-3\)），将原函数关系转化为关于\(t\)的等式，再回代\(x\)；

3. 构造方程组法：若函数满足含\(f(x)\)与\(f(-x)\)、\(f(x)\)与\(f(\frac{1}{x})\)的恒等式，构造两个方程联立求解；

4. 递推法：若已知函数的递推关系（如\(f(n+1) = f(n) + 2\)、\(f(n+1) = 2f(n)\)），通过累加法、累乘法求出解析式；

5. 利用性质法：结合奇偶性（\(f(-x) = -f(x)\)或\(f(-x) = f(x)\)）、周期性（\(f(x+T) = f(x)\)）直接推导解析式。

例题11：已知\(f(x)\)满足\(f(x) + 2f(-x) = x + 1\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：构造方程组法：

原方程：\(f(x) + 2f(-x) = x + 1\) ①；

将\(x\)换为\(-x\)：\(f(-x) + 2f(x) = -x + 1\) ②；

②×2 - ①：\(2f(-x) + 4f(x) - [f(x) + 2f(-x)] = 2(-x + 1) - (x + 1)\)；

化简：\(3f(x) = -3x + 1\) → \(f(x) = -x + \frac{1}{3}\)。

例题12：已知\(f(x)\)是一次函数，且满足\(3f(x+1) - 2f(x-1) = 2x + 17\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：设一次函数\(f(x) = ax + b\)（\(a \neq 0\)）；

计算\(f(x+1) = a(x+1) + b = ax + a + b\)，\(f(x-1) = a(x-1) + b = ax - a + b\)；

代入等式：\(3(ax + a + b) - 2(ax - a + b) = 2x + 17\)；

展开化简：\(ax + 5a + b = 2x + 17\)；

对比系数：\(a=2\)，\(5a + b=17\) → \(b=7\)；

故\(f(x) = 2x + 7\)。

例题13：已知\(f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：换元法：令\(t = \sqrt{x} + 1\)（\(t \geq 1\)，因\(\sqrt{x} \geq 0\)）；

则\(\sqrt{x} = t - 1\)，\(x = (t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1\)；

代入原式：\(f(t) = (t^2 - 2t + 1) + 2(t - 1) = t^2 - 1\)；

回代\(x\)（注意定义域\(x \geq 1\)）：\(f(x) = x^2 - 1\)（\(x \geq 1\)）。

例题14：已知\(f(x)\)满足\(f(x) - 2f(\frac{1}{x}) = x\)（\(x \neq 0\)），求\(f(x)\)的解析式。

解：构造方程组法：

原方程：\(f(x) - 2f(\frac{1}{x}) = x\) ①；

将\(x\)换为\(\frac{1}{x}\)：\(f(\frac{1}{x}) - 2f(x) = \frac{1}{x}\) ②；

① + ②×2：\(f(x) - 2f(\frac{1}{x}) + 2f(\frac{1}{x}) - 4f(x) = x + \frac{2}{x}\)；

化简：\(-3f(x) = x + \frac{2}{x}\) → \(f(x) = -\frac{x}{3} - \frac{2}{3x}\)（\(x \neq 0\)）。

例题15：已知\(f(x)\)是奇函数，且当\(x > 0\)时，\(f(x) = x^2 - 2x\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：奇函数满足\(f(-x) = -f(x)\)，需分区间讨论：

当\(x > 0\)时，\(f(x) = x^2 - 2x\)（已知）；

当\(x = 0\)时，\(f(0) = -f(0)\) → \(f(0) = 0\)；

当\(x < 0\)时，\(-x > 0\)，故\(f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x\)；

由奇函数性质：\(f(x) = -f(-x) = -x^2 - 2x\)；

综上，\(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & (x > 0) \\ 0 & (x = 0) \\ -x^2 - 2x & (x < 0) \end{cases}\)。

例题16：已知\(f(x)\)满足\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)对任意\(x,y \in \mathbb{R}\)成立，且\(f(1) = 2\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：赋值法+递推法：

令\(x = y = 0\)，则\(f(0 + 0) = f(0) + f(0)\) → \(f(0) = 0\)；

对任意整数\(n\)：\(f(n) = f(n-1 + 1) = f(n-1) + f(1) = f(n-1) + 2\)，故\(f(n) = 2n\)（累加法）；

对任意有理数\(\frac{q}{p}\)（\(p,q\)为整数，\(p > 0\)）：\(f(q) = f(p \times \frac{q}{p}) = f(\frac{q}{p}) + f(\frac{q}{p}) + \dots + f(\frac{q}{p})\)（\(p\)次），即\(2q = p f(\frac{q}{p})\) → \(f(\frac{q}{p}) = 2 \times \frac{q}{p}\)；

若\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上连续（抽象函数常隐含此条件），则对任意实数\(x\)，\(f(x) = 2x\)。

例题17：已知\(f(x)\)满足\(f(x + 2) = -f(x)\)，且当\(x \in [0,2]\)时，\(f(x) = x^2\)，求\(f(x)\)在\([2,4]\)上的解析式。

解：利用周期性（由\(f(x+2) = -f(x)\)得\(f(x+4) = f(x)\)，周期\(T=4\)）；

对\(x \in [2,4]\)，令\(t = x - 2\)，则\(t \in [0,2]\)，且\(x = t + 2\)；

由\(f(x) = f(t + 2) = -f(t)\)（因\(f(x+2) = -f(x)\)）；

又\(f(t) = t^2\)，故\(f(x) = -t^2 = -(x - 2)^2\)；

综上，\(f(x)\)在\([2,4]\)上的解析式为\(f(x) = -(x - 2)^2\)。

例题18：已知\(f(x)\)满足\(f(xy) = f(x)f(y)\)对任意\(x,y > 0\)成立，且\(f(2) = 4\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：赋值法+性质推导：

令\(x = y = 1\)，则\(f(1 \times 1) = f(1)f(1)\) → \(f(1) = 1\)（\(f(1) \neq 0\)，否则\(f(x) = 0\)与\(f(2)=4\)矛盾）；

对任意正整数\(n\)：\(f(2^n) = f(2 \times 2 \times \dots \times 2) = [f(2)]^n = 4^n = 2^{2n}\)；

对任意正有理数\(\frac{q}{p}\)：\(f(2^{\frac{q}{p}}) = [f(2^q)]^{\frac{1}{p}} = (2^{2q})^{\frac{1}{p}} = 2^{\frac{2q}{p}}\)；

令\(x = 2^t\)（\(t \in \mathbb{R}\)，因\(x > 0\)），则\(t = \log_2 x\)，故\(f(x) = f(2^t) = 2^{2t} = 2^{2\log_2 x} = x^2\)；

综上，\(f(x) = x^2\)（\(x > 0\)）。

例题19：已知\(f(x)\)是偶函数，且满足\(f(x + 3) = f(x - 1)\)，当\(x \in [0,2]\)时，\(f(x) = 2x - 1\)，求\(f(x)\)在\([-4,-2]\)上的解析式。

解：第一步，分析周期性：由\(f(x + 3) = f(x - 1)\)，令\(t = x - 1\)，则\(f(t + 4) = f(t)\)，故周期\(T=4\)；

第二步，利用偶函数性质：\(f(-x) = f(x)\)；

对\(x \in [-4,-2]\)，令\(t = -x\)，则\(t \in [2,4]\)，且\(f(x) = f(-t) = f(t)\)；

第三步，求\(f(t)\)在\([2,4]\)上的解析式：\(t \in [2,4]\)时，\(f(x + 4) = f(x)\)：\(t - 4 \in [-2,0]\)，再用偶函数\(f(t - 4) = f(4 - t)\)，而\(4 - t \in [0,2]\)，故\(f(t) = f(4 - t) = 2(4 - t) - 1 = 7 - 2t\)；

回代\(t = -x\)：\(f(x) = 7 - 2(-x) = 7 + 2x\)；

综上，\(f(x)\)在\([-4,-2]\)上的解析式为\(f(x) = 2x + 7\)。

例题20：已知\(f(x)\)满足\(f(x) = 2f(x - 1) + 1\)（\(x \geq 1\)），且\(f(0) = 1\)，求\(f(x)\)的解析式（\(x\)为非负整数）。

解：递推法（累加法）：

由\(f(x) - 2f(x - 1) = 1\)，变形为\(f(x) + 1 = 2[f(x - 1) + 1]\)；

令\(g(x) = f(x) + 1\)，则\(g(x) = 2g(x - 1)\)，且\(g(0) = f(0) + 1 = 2\)；

故\(g(x)\)是首项为2、公比为2的等比数列，\(g(x) = 2 \times 2^x = 2^{x + 1}\)；

回代\(f(x) = g(x) - 1\)：\(f(x) = 2^{x + 1} - 1\)（\(x\)为非负整数）；

验证：\(f(1) = 2f(0) + 1 = 3\)，\(2^{2} - 1 = 3\)，成立；\(f(2) = 2f(1) + 1 = 7\)，\(2^3 - 1 = 7\)，成立。

四、运算类抽象函数

运算类抽象函数的核心是模仿基本初等函数（一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等）的运算规律来定义，解题的关键工具是“赋值法”（通过令自变量取特殊值，如\(0,1,-1,x,-x\)等，推导函数值、奇偶性、解析式特征）。

（一）一次函数型抽象函数（模仿\(f(x)=kx+b\)的线性运算）

这类函数的本质是“函数值的和差与自变量的和差成线性关系”，最典型的是“正比例函数型”（\(b=0\)）和“一般一次函数型”（\(b\neq0\)）。

1. 核心定义

正比例函数型（基础）：对任意定义域内的\(x,y\)，满足 \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)（无常数项，对应\(f(x)=kx\)）；

一般一次函数型（延伸）：对任意定义域内的\(x,y\)，满足 \(f(x+y)=f(x)+f(y)+c\)（\(c\)为非零常数，对应\(f(x)=kx+c\)）。

2. 关键推导（以正比例型为例，用赋值法）

1. 求特殊点\(f(0)\)：令\(x=y=0\)，则\(f(0+0)=f(0)+f(0)\)，即\(f(0)=2f(0)\)，解得\(\boldsymbol{f(0)=0}\)；

2. 判断奇偶性：令\(y=-x\)，则\(f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\)，即\(f(0)=f(x)+f(-x)\)，结合\(f(0)=0\)，得\(\boldsymbol{f(-x)=-f(x)}\)（奇函数）；

3. 整数倍关系：令\(y=x\)，则\(f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)\)；推广到整数\(n\)，得\(\boldsymbol{f(nx)=nf(x)}\)（如\(f(3x)=3f(x)\)，\(f(-2x)=-2f(x)\)）；

4. 解析式特征：若函数单调或连续（中学阶段常隐含此条件），可证明\(f(x)=kx\)（\(k=f(1)\)，即斜率为\(f(1)\)的正比例函数）。

3. 典型例题

已知\(f(x)\)对任意\(x,y\in\mathbb{R}\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(3)=6\)，求：（1）\(f(1)\)的值；（2）\(f(-2)\)的值。

解析：

（1）由\(f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)\)，结合\(f(3)=6\)，得\(f(1)=2\)；

（2）由奇函数性质\(f(-2)=-f(2)\)，而\(f(2)=2f(1)=4\)，故\(f(-2)=-4\)。

（二）指数函数型抽象函数（模仿\(f(x)=a^x\)的乘积运算）

这类函数的本质是“自变量相加→函数值相乘”，对应指数函数“\(a^{x+y}=a^x\cdot a^y\)”的核心运算。

1. 核心定义

对任意定义域内的\(x,y\)，满足 \(f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\)，且通常隐含\(f(x)>0\)（避免函数值正负混乱，对应指数函数\(a^x>0\)的性质）。

2. 关键推导（赋值法）

1. 求特殊点\(f(0)\)：令\(x=y=0\)，则\(f(0)=f(0)\cdot f(0)\)，即\(f(0)[f(0)-1]=0\)；若\(f(0)=0\)，则对任意\(x\)，\(f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)=0\)（无意义），故\(\boldsymbol{f(0)=1}\)；

2. 倒数关系（类似负指数）：令\(y=-x\)，则\(f(0)=f(x)\cdot f(-x)\)，结合\(f(0)=1\)，得\(\boldsymbol{f(-x)=\frac{1}{f(x)}}\)（对应\(a^{-x}=\frac{1}{a^x}\)）；

3. 幂次关系（类似正指数）：令\(y=x\)，则\(f(2x)=f(x)\cdot f(x)=[f(x)]^2\)；推广到整数\(n\)，得\(\boldsymbol{f(nx)=[f(x)]^n}\)（如\(f(3x)=[f(x)]^3\)，对应\(a^{3x}=(a^x)^3\)）；

4. 解析式特征：若函数单调或连续，可证明\(f(x)=a^x\)（\(a=f(1)>0\)且\(a\neq1\)，即底数为\(f(1)\)的指数函数）。

3. 典型例题

已知\(f(x)\)对任意\(x,y\in\mathbb{R}\)满足\(f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\)，\(f(x)>0\)，且\(f(2)=4\)，求\(f(3)\)和\(f(-1)\)的值。

解析：

求\(f(3)\)：\(f(2)=f(1+1)=[f(1)]^2=4\)，因\(f(1)>0\)，得\(f(1)=2\)；故\(f(3)=f(2+1)=f(2)\cdot f(1)=4\times2=8\)；

求\(f(-1)\)：由倒数关系\(f(-1)=\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{2}\)。

（三）对数函数型抽象函数（模仿\(f(x)=\log_a x\)的加法运算）

这类函数的本质是“自变量相乘→函数值相加”，对应对数函数“\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)”的核心运算，定义域通常为\((0,+\infty)\)（因对数的真数需为正）。

1. 核心定义

对任意\(x,y\in(0,+\infty)\)，满足 \(f(x\cdot y)=f(x)+f(y)\)（对应对数函数的乘积法则）。

2. 关键推导（赋值法）

1. 求特殊点\(f(1)\)：令\(x=y=1\)，则\(f(1\times1)=f(1)+f(1)\)，即\(f(1)=2f(1)\)，解得\(\boldsymbol{f(1)=0}\)（对应\(\log_a 1=0\)）；

2. 负号关系（类似倒数对数）：令\(y=\frac{1}{x}\)，则\(f(x\cdot\frac{1}{x})=f(x)+f(\frac{1}{x})\)，即\(f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x})\)，结合\(f(1)=0\)，得\(\boldsymbol{f(\frac{1}{x})=-f(x)}\)（对应\(\log_a \frac{1}{x}=-\log_a x\)）；

3. 幂次关系（类似幂的对数）：令\(y=x\)，则\(f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)\)；推广到整数\(n\)，得\(\boldsymbol{f(x^n)=nf(x)}\)（如\(f(x^3)=3f(x)\)，对应\(\log_a x^3=3\log_a x\)）；

4. 解析式特征：若函数单调或连续，可证明\(f(x)=\log_a x\)（\(a\)满足\(f(a)=1\)，即对数的底数为“使函数值为1的自变量”）。

3. 典型例题

已知\(f(x)\)定义在\((0,+\infty)\)上，满足\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，且\(f(5)=2\)，求\(f\left(\frac{1}{25}\right)\)和\(f(\sqrt{5})\)的值。

解析：

求\(f\left(\frac{1}{25}\right)\)：\(f(25)=f(5\times5)=f(5)+f(5)=4\)；由负号关系\(f\left(\frac{1}{25}\right)=-f(25)=-4\)；

求\(f(\sqrt{5})\)：令\(x=\sqrt{5}\)，则\(f(5)=f(\sqrt{5}\times\sqrt{5})=2f(\sqrt{5})\)，故\(f(\sqrt{5})=\frac{1}{2}f(5)=1\)。

（四）幂函数型抽象函数（模仿\(f(x)=x^k\)的幂运算）

这类函数的本质是“自变量相乘→函数值相乘”，对应幂函数“\((xy)^k=x^k\cdot y^k\)”的核心运算，定义域通常为\(\mathbb{R}^+\)（避免负底数的分数次幂无意义）。

1. 核心定义

对任意\(x,y\in\mathbb{R}^+\)（或其他满足“\(xy\)有意义”的定义域），满足 \(f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)\)（注意与指数型的区别：指数型是“\(f(x+y)=f(x)f(y)\)”，自变量是“和”，此处是“积”）。

2. 关键推导（赋值法）

1. 求特殊点\(f(1)\)：令\(x=y=1\)，则\(f(1)=f(1)\cdot f(1)\)，即\(f(1)[f(1)-1]=0\)；若\(f(1)=0\)，则对任意\(x\)，\(f(x)=f(x\times1)=f(x)\cdot f(1)=0\)（无意义），故\(\boldsymbol{f(1)=1}\)（对应\(1^k=1\)）；

2. 非负性：令\(y=x\)，则\(f(x^2)=f(x)\cdot f(x)=[f(x)]^2\geq0\)，即对任意\(x>0\)，\(\boldsymbol{f(x)\geq0}\)（对应幂函数\(x^k\)在\(x>0\)时非负）；

3. 幂次关系：令\(y=x\)，得\(f(x^2)=[f(x)]^2\)；推广到整数\(n\)，得\(\boldsymbol{f(x^n)=[f(x)]^n}\)（如\(f(x^3)=[f(x)]^3\)，对应\((x^3)^k=(x^k)^3\)）；

4. 解析式特征：若\(x>0\)且函数单调或连续，可证明\(f(x)=x^k\)（\(k\)为常数，满足\(f(a)=a^k\)，如\(f(2)=2^k\)，则\(k=\log_2 f(2)\)）。

3. 典型例题

已知\(f(x)\)对任意\(x,y\in\mathbb{R}^+\)满足\(f(xy)=f(x)\cdot f(y)\)，且\(f(8)=27\)，求\(f(2)\)和\(f(4)\)的值。

解析：

求\(f(2)\)：\(f(8)=f(2\times4)=f(2)\cdot f(4)=f(2)\cdot f(2\times2)=f(2)\cdot [f(2)]^2=[f(2)]^3\)；由\(f(8)=27\)，得\([f(2)]^3=27\)，故\(f(2)=3\)；

求\(f(4)\)：\(f(4)=f(2\times2)=[f(2)]^2=3^2=9\)。

（五）运算类抽象函数的解题核心总结

1. 第一步：定类型：根据抽象函数的“运算式”判断其模仿的初等函数（如\(f(x+y)=f(x)f(y)\)→指数型，\(f(xy)=f(x)+f(y)\)→对数型）；

2. 第二步：赋值破题：优先令\(x,y\)为\(0,1,-1,x,-x\)等特殊值，求出\(f(0),f(1)\)等关键函数值，或推导奇偶性、倒数关系；

3. 第三步：用性质转化：将求值、不等式问题转化为“幂次关系”（如\(f(nx)=[f(x)]^n\)）、“正负关系”（如\(f(-x)=\frac{1}{f(x)}\)），结合隐含条件（单调、连续）推导结论；

4. 避坑提醒：注意定义域（如对数型定义域为\((0,+\infty)\)，幂次型避免负底数），且抽象函数不一定是初等函数，“联想初等函数”仅为辅助验证，不能直接作为证明依据。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学