糖水不等式

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若 \( 0 < a < b，m > 0 \)，有：\( 0 < \frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m} < 1 < \frac{b + m}{a + m} < \frac{b}{a} \)

一、糖水不等式基础定义与证明

1. 原始糖水不等式（核心本体）

标准形式：若 \(a,b,m>0\)，且 \(a<b\)，则：\(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)

通俗解释：一杯糖水，原有糖\(a\)克，水\(b-a\)克，糖水总重\(b\)克；再加入\(m\)克糖，糖水会变得更甜，浓度变大。

严谨作差证明

\(\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+m)-a(b+m)}{b(b+m)}=\frac{bm-am}{b(b+m)}=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}\)

已知\(a,b,m>0,a<b\)，分子分母全部为正，差值\(>0\)，不等式成立。

反向形式（加糖变稀）若\(a,b,m>0，a>b\)，则：\(\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

理解：浓盐水稀释逻辑，高浓度溶液加溶质反而相对浓度降低。

2. 减法版本（倒出糖水）

\(a,b,m>0，a<b，b>m\)，从糖水里拿走\(m\)克糖：\(\frac{a-m}{b-m}<\frac{a}{b}\)

证明同理作差，要求分母\(b-m>0\)保证有意义。

二、糖水不等式全系列二级结论（分类整理）

（一）多次加糖迭代结论

1. 连续加多次正数：\(a<b，a,b,m_1,m_2>0\) ：\(\frac{a}{b}<\frac{a+m_1}{b+m_1}<\frac{a+m_1+m_2}{b+m_1+m_2}\)

推广：任意\(k\)个正数\(m_1,m_2…m_k\)，\(\frac{a}{b}<\frac{a+\sum_{i=1}^k m_i}{b+\sum_{i=1}^k m_i}\)

2. 比例缩放：\(t>0\)，\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ta}{tb}\)，对\(\dfrac{ta}{tb}\)使用糖水不等式，等价原式。

（二）分子分母同减型（有定义域限制）

\(0<m<a<b\)：\(\frac{a-m}{b-m}<\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)

必须满足\(b-m>0\)，分母不能为负。

（三）分式上下增量不同（重要拓展：增量不等）

设\(a,b>0,a<b\)，\(m,n>0\)：

1. 若\(m=n\)，回到基础糖水；

2. 若\(\dfrac{m}{n}>\dfrac{a}{b}\)，则\(\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+m}{b+n}\)；

3. 若\(\dfrac{m}{n}<\dfrac{a}{b}\)，则\(\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+m}{b+n}\)。

证明：交叉相乘 \((a+m)b-a(b+n)=bm-an\)，符号由\(bm-an\)决定。

（四）倒数版糖水不等式

\(0<a<b\)，则 \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\)，套用反向糖水：\(m>0\)

\(\frac{1}{a}>\frac{1+m}{a+m},\quad \frac{1}{b}>\frac{1+m}{b+m}\)

同时有大小关系：\(\dfrac{1+m}{a+m}>\dfrac{1+m}{b+m}\)。

（五）分数放缩链式结论（数列放缩最常用）

对\(0<a_1<a_2,b_1<b_2\)，有双向放缩：

\(\frac{a_1}{b_2}<\frac{a_1}{b_1}<\frac{a_2}{b_1},\quad \frac{a_1}{b_2}<\frac{a_2}{b_2}<\frac{a_2}{b_1}\)

结合糖水：\(\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_1+k}{b_1+k}<\dfrac{a_2+k}{b_2+k}\)（\(k>0,a_1<b_1,a_2<b_2\)）。

（六）真分数、假分数完整规律汇总

1. 真分数（\(0<a<b\)）：分子分母同加正数，分数变大；同减正数（分母仍正），分数变小。

2. 假分数（\(0<b<a\)）：分子分母同加正数，分数变小；同减正数（分母仍正），分数变大。

（七）含系数推广（\(k>0\)常数）

\(a<b,m>0\)，\(\frac{a}{b}<\frac{a+km}{b+km}\)

本质只是增量放大，和原式完全等价。

（八）分式拆分放缩结论（不等式大题高频）

\(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\iff \frac{a+m}{a}>\frac{b+m}{b}\iff 1+\frac{m}{a}>1+\frac{m}{b}\)

变形：\(\dfrac{m}{a}>\dfrac{m}{b}(a<b)\)，回归反比例单调性。

（九）多元加权糖水（拓展）

设有两组正数 \(a_1,a_2…a_n;b_1,b_2…b_n\)，满足 \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=…=\dfrac{a_n}{b_n}=k<1\)，\(m_i>0\)，则：

\(k=\frac{\sum a_i}{\sum b_i}<\frac{\sum(a_i+m_i)}{\sum(b_i+m_i)}\)

多个同比例真分数整体加糖依然变大。

（十）负数拓展（慎用，极易出错）

若\(m<0\)，令\(m=-t,t>0\)，则变回减法型：\(a<b,b>t\)，\(\dfrac{a}{b}>\dfrac{a-t}{b-t}\)。

重要提醒：只要分母为负，糖水不等式直接失效，不能乱套。

三、糖水不等式适用场景总结

1. 数列求和放缩（裂项、通项放缩）；

2. 比较多个分式大小；

3. 证明分式型不等式；

4. 函数单调性判断；

5. 概率、浓度、应用题。

四、糖水不等式拔高难题（含完整解析）

题 1 基础证明变式：已知\(0<a<b，m>0\)，求证：\(\dfrac{b}{a}>\dfrac{b+m}{a+m}\)。

解：\(\dfrac{b}{a}-\dfrac{b+m}{a+m}=\dfrac{b(a+m)-a(b+m)}{a(a+m)}=\dfrac{m(b-a)}{a(a+m)}>0\)；

也可理解\(\dfrac{b}{a}\)是假分数，假分数同加正数变小，\(\dfrac{b}{a}>\dfrac{b+m}{a+m}\)。

题 2 双增量不等型：已知\(2<3\)，比较\(\dfrac{2}{3}\)与\(\dfrac{2+5}{3+7}\)大小。

解：判断增量比\(\dfrac{5}{7}\approx0.714\)，原分数\(\dfrac{2}{3}\approx0.667\)，\(\dfrac{5}{7}>\dfrac{2}{3}\)，故\(\dfrac{2}{3}<\dfrac{7}{10}\)。

验算：\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{30},\dfrac{7}{10}=\dfrac{21}{30}\)，成立。

题 3 减法定义域陷阱：判断能否用糖水：\(\dfrac{3}{5}\)，分子分母同时减 3，得到\(\dfrac{0}{2}\)；分子分母减 6 得到\(\dfrac{-3}{-1}\)。

解：①减 3：分母\(5-3=2>0\)，真分数同减变小，\(\dfrac{0}{2}<\dfrac{3}{5}\)；

②减 6：分母为负，糖水完全失效，不能使用。

题 4 多步放缩证明：求证：\(\dfrac{1}{2}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}<…<\dfrac{n}{n+1}\)。

解：对\(\dfrac{k}{k+1}\)（真分数），分子分母同加 1：

\(\dfrac{k}{k+1}<\dfrac{k+1}{k+2}\)，递推可得整条链成立。

题 5 数列放缩经典难题：证明：\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+…+\dfrac{1}{n}>\ln(n+1)\)（糖水配合对数放缩）

解：由糖水：\(\dfrac{k+1}{k}>\dfrac{k+2}{k+1}\)，变形\(\dfrac{1}{k}>\ln(k+1)-\ln k\)；

累加\(k=1\)到\(n\)，左边和\(>\ln(n+1)\)。

题 6 含参数比较大小：\(x>1\)，比较\(A=\dfrac{x}{x+1},B=\dfrac{x+1}{x+2},C=\dfrac{x+2}{x+3}\)。

解：均为真分数，依次分子分母 + 1，由糖水\(A<B<C\)。

题 7 假分数综合证明：\(a>b>0,m>0\)，求证\(\dfrac{a}{b}>\dfrac{a-m}{b-m}(b>m)\)。

解：\(\dfrac{a}{b}\)假分数，同减正数，分数变大；

作差：\(\dfrac{a}{b}-\dfrac{a-m}{b-m}=\dfrac{m(a-b)}{b(b-m)}>0\)。

题 8 竞赛分式证明：已知\(a,b,c>0\)，且\(a<b\)，求证：\(\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+c}{b+c}<\dfrac{a+c+d}{b+c+d}(d>0)\)。

解：第一次对\(\dfrac{a}{b}\)加\(c\)得\(\dfrac{a+c}{b+c}\)；第二次再加\(d\)，再次使用糖水，连续放缩。

题 9 反向构造糖水（易错题）：已知\(0<x<1\)，求证\(\dfrac{1-x}{2-x}<\dfrac{1}{2}\)。

解：整理：\(1-x<1,2-x<2\)，视\(\dfrac{1-x}{2-x}\)为真分数，分子分母同加\(x\)：

\(\dfrac{1-x}{2-x}<\dfrac{(1-x)+x}{(2-x)+x}=\dfrac{1}{2}\)，一步得证。

题 10 高考压轴级多变量糖水放缩：设\(a,b,c>0\)，且\(a<b\)，求证：\(\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+b}{b+c}\)的充要条件是\(b>c\)。

证明：

\(\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+b}{b+c}\iff a(b+c)<b(a+b)\)

\(\iff ab+ac<ab+b^2\iff ac<b^2\)

结合糖水不等增量结论：\(\dfrac{b}{c}>\dfrac{a}{b}\iff b^2>ac\)；

若\(b>c\)，则\(\dfrac{b}{c}>1>\dfrac{a}{b}\)，不等式成立；反之若不等式成立可推出\(b>c\)。

五、补充使用避坑要点

1. 必须先判断真 / 假分数，真加变大、假加变小；

2. 做减法一定要保证分母最终为正数；

3. 出现负数分母不要套用糖水，改用交叉作差；

4. 多个分式放缩优先统一增量，方便连续用糖水链式放缩；

5. 增量不一样时，用\(\dfrac{m}{n}\)和原式分式比大小判断增减。

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