平面几何总结：求线段和的最值问题

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求解线段和的最值问题的核心思路是通过几何变换（轴对称、平移、旋转等）将分散的线段拼接成连续线段，或通过代数方法将线段和转化为函数求最值。

一、利用轴对称转化（将军饮马模型及拓展）

这是解决线段和最值最基础的方法，通过轴对称将“折线段”转化为“直线段”，利用“两点之间线段最短”求最值。

1. 基本将军饮马模型（两点一线）

原理：已知直线\(l\)和直线同侧两点\(A\)、\(B\)，在\(l\)上找一点\(P\)，使\(PA + PB\)最小。作点\(A\)关于\(l\)的对称点\(A'\)，连接\(A'B\)与\(l\)的交点即为\(P\)，\(PA + PB\)的最小值为\(A'B\)的长度。

适用场景：单动点在定直线上，求动点到两定点的线段和最小值。

例子：点\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)在直线\(y = x\)同侧，在直线上找\(P\)使\(PA + PB\)最小。作\(A\)关于\(y=x\)的对称点\(A'(2,1)\)，则\(A'B\)的长度为\(\sqrt{(3-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{10}\)，即\(PA + PB\)最小值为\(\sqrt{10}\)。

2. 双动点将军饮马模型（两线一点/两线两点）

原理：

两线一点：已知两条相交直线\(l_1\)、\(l_2\)和定点\(A\)，在\(l_1\)、\(l_2\)上分别找动点\(P\)、\(Q\)，使\(AP + PQ + QA\)最小（实际为\(AP + PQ + QB\)型，需两次轴对称）。

两线两点：已知两条直线\(l_1\)、\(l_2\)和两点\(A\)、\(B\)，在\(l_1\)、\(l_2\)上分别找\(P\)、\(Q\)，使\(AP + PQ + QB\)最小，分别作\(A\)关于\(l_1\)的对称点\(A'\)、\(B\)关于\(l_2\)的对称点\(B'\)，连接\(A'B'\)与\(l_1\)、\(l_2\)的交点即为\(P\)、\(Q\)，最小值为\(A'B'\)。

适用场景：双动点分别在两条定直线上，求含动点的折线段和最小值。

例子：在∠AOB（∠AOB=60°）的两边OA、OB上分别找P、Q，使OP + PQ + QO最小（O为顶点），作O关于OA的对称点O₁、关于OB的对称点O₂，连接O₁O₂与OA、OB交于P、Q，最小值为O₁O₂的长度。

3. 将军饮马模型逆用（求最大值）

原理：若两点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)异侧，在\(l\)上找一点\(P\)，使\(PA + PB\)最大，作\(A\)关于\(l\)的对称点\(A'\)，延长\(A'B\)与\(l\)的交点即为\(P\)，最大值为\(A'B\)的长度（三点共线时取等）。

适用场景：单动点在定直线上，求动点到异侧两定点的线段和最大值。

二、利用平移转化（造桥选址模型）

当线段和中包含定长线段（如河宽、桥长）时，通过平移将定长线段“消去”，再结合两点之间线段最短求最值。

1. 造桥选址模型基本形式

原理：已知直线\(l_1 \parallel l_2\)，两直线间距离为\(d\)（定长），点\(A\)在\(l_1\)一侧，点\(B\)在\(l_2\)一侧，在\(l_1\)、\(l_2\)上分别找\(P\)、\(Q\)，使\(PQ \perp l_1\)（即\(PQ=d\)）且\(AP + PQ + QB\)最小。将点\(A\)沿与\(PQ\)平行的方向平移\(d\)个单位得到\(A'\)，连接\(A'B\)与\(l_2\)的交点为\(Q\)，过\(Q\)作\(PQ \perp l_1\)交\(l_1\)于\(P\)，\(AP + PQ + QB\)的最小值为\(A'B + d\)。

适用场景：两平行线间有定长垂线段，求折线段和最小值。

例子：直线\(l_1:y=2\)，\(l_2:y=0\)（距离\(d=2\)），点\(A(1,3)\)、\(B(4,-1)\)，造桥\(PQ\)（\(PQ \perp l_1\)）使\(AP + PQ + QB\)最小。将\(A\)向下平移2个单位得\(A'(1,1)\)，\(A'B\)长度为\(\sqrt{(4-1)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{13}\)，则最小值为\(\sqrt{13} + 2\)。

2. 平移拓展模型

原理：若定长线段不与平行线垂直，而是成固定角度\(\theta\)，则将点按该角度平移定长线段的长度，再拼接线段求最值。

适用场景：含任意定长方向线段的折线段和最值。

三、利用旋转转化（费马点模型及拓展）

当线段和涉及三角形内动点到三顶点的距离和，或含旋转对称的线段和时，通过旋转将线段拼接成直线段。

1. 费马点模型

原理：在△ABC中，找一点\(P\)，使\(PA + PB + PC\)最小，该点称为费马点。

若△ABC的内角均小于120°，费马点\(P\)满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，将△APC绕点C旋转60°得到△A'P'C，则\(PA + PB + PC = P'B + PP' + A'P'\)，最小值为\(A'B\)的长度（三点共线时取等）。

若△ABC有一个内角≥120°，则该内角的顶点即为费马点，最小值为该顶点到另外两顶点的距离和。

适用场景：求三角形内动点到三顶点的线段和最小值。

例子：边长为2的等边△ABC，费马点\(P\)为中心，\(PA + PB + PC\)的最小值为\(2\sqrt{3}\)（即高的3倍/外接圆直径）。

2. 旋转拓展模型

原理：将含动点的线段绕定点旋转一定角度（通常为60°、90°），使分散的线段拼接成共线线段，利用两点之间线段最短求最值。

适用场景：线段和中含“定点-动点”的旋转对称关系，如求\(PA + k·PB\)（\(k\)为比例系数）型最值（结合相似）。

四、利用圆的性质求线段和最值

当动点轨迹为圆时，结合圆的半径、圆心距等性质，将线段和转化为圆上点到定点的距离和求最值。

1. 圆上动点到两定点的线段和最值

原理：设圆\(O\)的半径为\(r\)，定点\(A\)、\(B\)，圆上动点\(P\)，则\(PA + PB\)的最值可通过：

代数法：设\(P\)的参数坐标，将\(PA + PB\)表示为三角函数，利用有界性求最值；

几何法：若\(A\)、\(B\)在圆外/内，结合三角形三边关系，或利用对称转化后结合圆的性质。

例子：圆\(x^2 + y^2 = 1\)上动点\(P\)，求\(P\)到\(A(1,0)\)、\(B(0,1)\)的线段和\(PA + PB\)的最值。设\(P(\cos\theta, \sin\theta)\)，则\(PA + PB = \sqrt{2 - 2\cos\theta} + \sqrt{2 - 2\sin\theta}\)，利用三角函数化简得最值为\(\sqrt{2} + \sqrt{6}\)（最大值）和\(2\)（最小值）。

2. 两圆上动点的线段和最值

原理：设两圆\(O_1\)、\(O_2\)的半径为\(r_1\)、\(r_2\)，圆上动点\(P\)、\(Q\)，则\(PA + QB\)（\(A\)、\(B\)为定点）的最值可转化为\((PO_1 + r_1) + (QO_2 + r_2)\)等形式，结合圆心距求最值。

五、利用代数方法求最值

将线段和表示为变量的函数，通过函数性质（二次函数、导数、三角函数有界性等）求最值，适用于解析几何场景。

1. 二次函数最值法

原理：若线段和的平方（或直接）可表示为二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)），利用二次函数的顶点式求最值。

例子：动点\(P(x,0)\)在x轴上，求\(P\)到\(A(0,2)\)、\(B(3,3)\)的线段和\(PA + PB\)的最小值。\(PA + PB = \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(x-3)^2 + 9}\)，虽不是纯二次函数，但可通过轴对称转化（将军饮马）求最值，也可求导找极值点。

2. 三角函数最值法

原理：利用参数方程将动点坐标表示为三角函数形式，将线段和转化为三角函数的和差形式，利用\(|\sin\theta| \leq 1\)、\(|\cos\theta| \leq 1\)求最值。

例子：椭圆\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)上动点\(P(2\cos\theta, \sin\theta)\)，求\(P\)到\(A(1,0)\)、\(B(-1,0)\)的线段和\(PA + PB\)的最值，化简得\(PA + PB = \sqrt{5 - 4\cos\theta} + \sqrt{5 + 4\cos\theta}\)，平方后得\(10 + 2\sqrt{25 - 16\cos^2\theta}\)，最值为\(4\)（最小值，椭圆长轴）和\(2\sqrt{5}\)（最大值）。

3. 导数法

原理：若线段和为连续可导的函数\(f(x)\)，通过求导\(f’(x)\)找极值点，结合定义域判断最值。

适用场景：线段和为高次函数、分式函数等复杂函数时。

六、利用不等式求最值

借助均值不等式、柯西不等式等，对线段和的表达式进行放缩，进而求得最值。

1. 均值不等式

原理：对于正实数\(a_1,a_2,...,a_n\)，有\(\frac{a_1 + a_2 +... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\)，当且仅当\(a_1=a_2=...=a_n\)时取等号。

适用场景：线段和的表达式为正实数和，且乘积为定值时。

2. 柯西不等式

原理：\((a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2\)，可将线段和的平方转化为乘积形式放缩求最值。

例子：求\(\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{(1 - x)^2 + 3}\)的最小值，利用柯西不等式，令\(a_1=x,a_2=\sqrt{2},b_1=1-x,b_2=\sqrt{3}\)，则\((\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{(1 - x)^2 + 3})^2 \geq (x + 1 - x)^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2\)，进而求得最小值。