集合、元素、性质、运算

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一、集合与元素的概念

元素：指研究对象中单个的、可区分的个体，常用小写字母表示，如 \( a, b, x, y \)。

集合：由确定的、互异的元素组成的整体，常用大写字母表示，如 \( A, B, C, U \)（\( U \) 常表示全集）。  

核心特征：“确定”（元素是否属于集合有明确判断标准）、“互异”（集合中无重复元素）。

属于与不属于：若元素 \( a \) 在集合 \( A \) 中，记为 \( a \in A \)（读作“\( a \) 属于 \( A \)”）；若不在，记为 \( a \notin A \)（读作“\( a \) 不属于 \( A \)”）。

例题1：判断下列元素是否属于对应集合

（1）\( 3 \in \{1,2,3,4\} \)？  

解析：集合 \( \{1,2,3,4\} \) 包含元素3，故 是（\( 3 \in \{1,2,3,4\} \)）。

（2）\( 0 \in \mathbb{N} \)（\( \mathbb{N} \) 为自然数集）？  

解析：现代定义中自然数集含0，故 是（\( 0 \in \mathbb{N} \)）。

（3）\( -2 \in \mathbb{N}^* \)（\( \mathbb{N}^* \) 为正自然数集）？  

解析：\( \mathbb{N}^* \) 仅含正整数，-2是负数，故 否（\( -2 \notin \mathbb{N}^* \)）。

（4）\( \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \)（\( \mathbb{Q} \) 为有理数集）？  

解析：\( \sqrt{2} \) 是无限不循环小数，不是有理数，故 否（\( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \)）。

（5）\( \pi \in \mathbb{R} \)（\( \mathbb{R} \) 为实数集）？  

解析：\( \pi \) 是实数，故 是（\( \pi \in \mathbb{R} \)）。

（6）\( 2 \in \{x \mid x^2 - 4 = 0\} \)？  

解析：解方程 \( x^2 - 4 = 0 \) 得 \( x = \pm 2 \)，集合为 \( \{-2, 2\} \)，故 是（\( 2 \in \{-2, 2\} \)）。

（7）\( 5 \in \{x \mid x < 5, x \in \mathbb{Z}\} \)？  

解析：集合是“小于5的整数”，5不小于5，故 否（\( 5 \notin \{x \mid x < 5, x \in \mathbb{Z}\} \)）。

（8）\( \frac{1}{2} \in \{x \mid x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^*\} \)？  

解析：当 \( n = 2 \) 时，\( x = \frac{1}{2} \)，故 是（\( \frac{1}{2} \in \{x \mid x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^*\} \)）。

（9）\( (1,2) \in \{(x,y) \mid x + y = 3\} \)？  

解析：代入 \( x=1, y=2 \)，得 \( 1 + 2 = 3 \)，满足方程，故 是（\( (1,2) \in \{(x,y) \mid x + y = 3\} \)）。

（10）\( a \in \{a, \{a\}\} \)？  

解析：集合 \( \{a, \{a\}\} \) 含两个元素：\( a \)（单个元素）和 \( \{a\} \)（以 \( a \) 为元素的集合），故 是（\( a \in \{a, \{a\}\} \)）。

二、集合的三个基本性质

集合的核心性质是确定性、互异性、无序性，这是判断一个“整体”是否为集合的依据，也是处理集合问题的关键。

确定性：对于任意元素和任意集合，元素“属于”或“不属于”集合的判断是唯一的，无模糊性。  

例：“高个子的人”不是集合（“高个子”无明确标准），“身高超过180cm的人”是集合（标准明确）。

互异性：集合中的元素互不重复，若有重复元素，需合并为一个。  

例：集合 \( \{1,1,2\} \) 需简化为 \( \{1,2\} \)。

无序性：集合中元素的排列顺序不影响集合本身，即元素顺序不同但元素相同的集合是同一集合。  

例：\( \{1,2,3\} = \{3,2,1\} \)。

例题2：利用集合性质判断或求参数

（1）判断“所有接近0的数”是否为集合？  

解析：“接近0”无明确标准（如0.1和0.01是否算“接近”无定论），不满足确定性，故 不是集合。

（2）判断“方程 \( x^2 - 2x + 1 = 0 \) 的解”构成的集合是否为 \( \{1,1\} \)？  

解析：方程解为 \( x=1 \)（二重根），但集合需满足互异性，重复元素需合并，故集合应为 \( \{1\} \)，原写法 错误。

（3）已知 \( \{a, 2, 3\} = \{3, 2, b\} \)，求 \( a, b \) 的值？  

解析：集合满足无序性，元素需一一对应，故 \( a = b \)，又因元素互异，\( a \neq 2 \)且 \( a \neq 3 \)，故 \( a = b \)（任意非2、3的数，如 \( a = b = 1 \)）。

（4）已知 \( 1 \in \{x^2, x\} \)，求 \( x \) 的值？  

解析：分两种情况：① \( x^2 = 1 \) 得 \( x = \pm 1 \)；② \( x = 1 \)。但集合需互异性：若 \( x = 1 \)，集合为 \( \{1,1\} \)（重复），故 \( x = -1 \)。

（5）判断“所有正三角形”是否为集合？  

解析：“正三角形”有明确定义（三边相等、三角为60°），满足确定性，故 是集合。

（6）已知集合 \( \{x, y, z\} \) 中，\( x, y, z \) 为正整数，且 \( x + y + z = 5 \)，求所有可能的集合？  

解析：结合无序性和互异性，列举正整数组合：\( \{1,1,3\} \)（重复，舍去）、\( \{1,2,2\} \)（重复，舍去）、\( \{1,2,2\} \)（同上）、\( \{1,2,2\} \)（同上），唯一有效集合为 \( \{1,2,2\} \)？不，正确组合是 \( \{1,1,3\} \)（重复）、\( \{1,2,2\} \)（重复）、\( \{1,2,2\} \)（同上），实际唯一无重复的组合是 \( \{1,2,2\} \) 错误，正确应为 \( \{1,1,3\} \) 舍去，\( \{1,2,2\} \) 舍去，\( \{1,2,2\} \) 舍去，实际只有 \( \{1,1,3\} \) 和 \( \{1,2,2\} \) 需合并，故有效集合为 \( \{1,3\} \)（当 \( x=y=1, z=3 \) 合并后）、\( \{1,2\} \)（当 \( x=1, y=z=2 \) 合并后）？不，原集合含3个元素，故需3个互异元素？不，题目未说“互异”，但集合本身有互异性，故若 \( x,y,z \) 有重复，集合元素个数会减少，故可能的集合为 \( \{1,3\} \)（元素1,3，对应 \( x=y=1,z=3 \)）、\( \{1,2\} \)（元素1,2，对应 \( x=1,y=z=2 \)）、\( \{2,3\} \)（元素2,3，对应 \( x=2,y=2,z=1 \) 错误，\( 2+2+1=5 \) 合并后为 \( \{1,2\} \)），最终正确集合为 \( \{1,3\} \)、\( \{1,2\} \)。

（7）判断 \( \{a, b\} = \{b, a\} \) 是否成立？  

解析：集合满足无序性，元素顺序不影响，故 成立。

（8）已知集合 \( \{2, a^2 + 1\} \) 中，\( a \in \mathbb{R} \)，求 \( a^2 + 1 \) 的取值范围？  

解析：集合需互异性，故 \( a^2 + 1 \neq 2 \) → \( a^2 \neq 1 \) → \( a \neq \pm 1 \)，因此 \( a^2 + 1 \in [1, 2) \cup (2, +\infty) \)（因 \( a^2 \geq 0 \)，故 \( a^2 + 1 \geq 1 \)）。

（9）判断“所有好看的电影”是否为集合？  

解析：“好看”无明确标准（因人而异），不满足确定性，故 不是集合。

（10）已知集合 \( \{x - 1, x + 1, 2\} \) 中，\( x \) 为实数，且 \( x - 1 = 2 \)，求集合？  

解析：由 \( x - 1 = 2 \) 得 \( x = 3 \)，则 \( x + 1 = 4 \)，集合为 \( \{2, 4, 2\} \)，结合互异性，合并重复元素得 \( \{2, 4\} \)。

三、集合的表示方法

常用的集合表示方法有列举法、描述法、韦恩图法（Venn图），三种方法各有适用场景，需根据集合元素的特点选择。

列举法：将集合中的所有元素一一列出，用大括号包裹，元素间用逗号分隔。  

适用场景：元素个数有限（如 \( \{1,2,3\} \)）或元素规律明确且可列举（如 \( \{1,2,3,\dots,100\} \)）。

描述法：用“\( \{x \mid P(x)\} \)”的形式表示，其中 \( x \) 是集合元素的代表符号，\( P(x) \) 是元素满足的条件（性质）。  

适用场景：元素个数无限（如 \( \{x \mid x > 0, x \in \mathbb{R}\} \)）或元素规律复杂（如 \( \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\} \)）。

韦恩图法：用封闭图形（如圆、椭圆）表示集合，图形内部代表集合元素，常用于直观展示集合间关系（如交集、并集）。  

适用场景：集合关系的可视化分析（如“求 \( A \cap B \)”可在Venn图中阴影重叠部分）。

例题3：用指定方法表示集合

（1）用列举法表示“小于5的正整数组成的集合”？  

解析：小于5的正整数为1,2,3,4，故集合为 \( \{1,2,3,4\} \)。

（2）用描述法表示“所有偶数组成的集合”？  

解析：偶数可表示为“2的整数倍”，故集合为 \( \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \)（\( \mathbb{Z} \) 为整数集）。

（3）用列举法表示“方程 \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) 的解组成的集合”？  

解析：解方程得 \( x = 1 \) 或 \( x = 2 \)，故集合为 \( \{1,2\} \)。

（4）用描述法表示“数轴上到原点距离大于2的点组成的集合”？  

解析：点的坐标为 \( x \)，距离原点大于2即 \( |x| > 2 \)，故集合为 \( \{x \mid |x| > 2, x \in \mathbb{R}\} \)。

（5）用列举法表示“集合 \( \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 3\} \)”？  

解析：\( \mathbb{N} \) 为自然数集（含0），满足 \( x \leq 3 \) 的自然数为0,1,2,3，故集合为 \( \{0,1,2,3\} \)。

（6）用描述法表示“所有正奇数组成的集合”？  

解析：正奇数可表示为“2的整数倍加1且大于0”，故集合为 \( \{x \mid x = 2k + 1, k \in \mathbb{N}\} \)（或 \( k \in \mathbb{Z} \) 且 \( x > 0 \)）。

（7）用列举法表示“集合 \( \{(x,y) \mid x + y = 2, x \in \{0,1,2\}, y \in \mathbb{N}\} \)”？  

解析：分 \( x=0 \)（\( y=2 \)）、\( x=1 \)（\( y=1 \)）、\( x=2 \)（\( y=0 \)），故集合为 \( \{(0,2), (1,1), (2,0)\} \)。

（8）用描述法表示“所有周长为10的三角形组成的集合”？  

解析：设三角形三边为 \( a,b,c \)（满足三角形三边关系），周长为10即 \( a + b + c = 10 \)，故集合为 \( \{\triangle ABC \mid AB + BC + CA = 10, AB, BC, CA > 0 \text{ 且满足三边关系}\} \)。

（9）用列举法表示“集合 \( \{x \mid x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^*, n \leq 4\} \)”？  

解析：\( n=1 \)（\( x=1 \)）、\( n=2 \)（\( x=\frac{1}{2} \)）、\( n=3 \)（\( x=\frac{1}{3} \)）、\( n=4 \)（\( x=\frac{1}{4} \)），故集合为 \( \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\} \)。

（10）用韦恩图表示“全集 \( U = \{1,2,3,4,5\} \)，集合 \( A = \{1,2,3\} \)，集合 \( B = \{3,4,5\} \)”？  

解析：画一个大矩形表示 \( U \)，内部画两个相交的圆分别表示 \( A \) 和 \( B \)：圆 \( A \) 内写1,2，圆 \( B \) 内写4,5，两圆交集处写3，矩形内无其他元素（因 \( A \cup B = U \)）。

四、常见数集及其符号

\( \mathbb{N} \)：自然数集，包含0和所有正整数，即 \( \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\} \)；

\( \mathbb{N}^* \)（或 \( \mathbb{N}_+ \)）：正自然数集（正整数集），不包含0，即 \( \mathbb{N}^* = \{1,2,3,\dots\} \)；

\( \mathbb{Z} \)：整数集，包含所有正整数、负整数和0，即 \( \mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} \)；

\( \mathbb{Q} \)：有理数集，包含所有整数和分数（可表示为 \( \frac{p}{q} \)，其中 \( p,q \in \mathbb{Z} \) 且 \( q \neq 0 \)）；

\( \mathbb{R} \)：实数集，包含所有有理数和无理数（如 \( \sqrt{2}, \pi \)），对应数轴上所有点；

\( \mathbb{C} \)：复数集（高中阶段暂不深入），包含实数和虚数，即 \( \mathbb{C} = \{a + bi \mid a,b \in \mathbb{R}, i^2 = -1\} \)。

例题4：判断元素属于哪个数集

（1）\( 0 \) 属于哪些数集？  

解析：\( 0 \in \mathbb{N} \)、\( 0 \in \mathbb{Z} \)、\( 0 \in \mathbb{Q} \)、\( 0 \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{N}^* \)）。

（2）\( -3 \) 属于哪些数集？  

解析：\( -3 \in \mathbb{Z} \)、\( -3 \in \mathbb{Q} \)、\( -3 \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{N} \)、\( \mathbb{N}^* \)）。

（3）\( \frac{2}{3} \) 属于哪些数集？  

解析：\( \frac{2}{3} \in \mathbb{Q} \)、\( \frac{2}{3} \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{N} \)、\( \mathbb{N}^* \)、\( \mathbb{Z} \)）。

（4）\( \sqrt{5} \) 属于哪些数集？  

解析：\( \sqrt{5} \) 是无理数，故 \( \sqrt{5} \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{N} \)、\( \mathbb{N}^* \)、\( \mathbb{Z} \)、\( \mathbb{Q} \)）。

（5）\( \pi \) 属于哪些数集？  

解析：\( \pi \) 是无理数，故 \( \pi \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{N} \)、\( \mathbb{N}^* \)、\( \mathbb{Z} \)、\( \mathbb{Q} \)）。

（6）\( 7 \) 属于哪些数集？  

解析：\( 7 \in \mathbb{N} \)、\( 7 \in \mathbb{N}^* \)、\( 7 \in \mathbb{Z} \)、\( 7 \in \mathbb{Q} \)、\( 7 \in \mathbb{R} \)。

（7）\( -\frac{1}{2} \) 属于哪些数集？  

解析：\( -\frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \)、\( -\frac{1}{2} \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{N} \)、\( \mathbb{N}^* \)、\( \mathbb{Z} \)）。

（8）\( 0.333\dot{3} \)（无限循环小数）属于哪些数集？  

解析：无限循环小数可化为分数（\( 0.333\dot{3} = \frac{1}{3} \)），故 \( 0.333\dot{3} \in \mathbb{Q} \)、\( 0.333\dot{3} \in \mathbb{R} \)。

（9）\( 2.1010010001\dots \)（无限不循环小数）属于哪些数集？  

解析：是无理数，故 \( 2.1010010001\dots \in \mathbb{R} \)（不属于 \( \mathbb{Q} \) 等）。

（10）\( \sqrt{9} \) 属于哪些数集？  

解析：\( \sqrt{9} = 3 \)，故 \( 3 \in \mathbb{N} \)、\( 3 \in \mathbb{N}^* \)、\( 3 \in \mathbb{Z} \)、\( 3 \in \mathbb{Q} \)、\( 3 \in \mathbb{R} \)。

五、集合之间的关系

集合间的基本关系包括子集、真子集、相等、空集与其他集合的关系，核心是“元素的包含与否”。

子集：若集合 \( A \) 中的所有元素都在集合 \( B \) 中，记为 \( A \subseteq B \)（读作“\( A \) 包含于 \( B \)”）或 \( B \supseteq A \)（读作“\( B \) 包含 \( A \)”）。  

性质：① 任何集合是自身的子集（\( A \subseteq A \)）；② 空集是任何集合的子集（\( \emptyset \subseteq A \)）。

真子集：若 \( A \subseteq B \) 且 \( B \) 中至少有一个元素不在 \( A \) 中，记为 \( A \subsetneqq B \)（读作“\( A \) 真包含于 \( B \)”）或 \( B \supsetneqq A \)。  

性质：空集是任何非空集合的真子集（\( \emptyset \subsetneqq A \)，若 \( A \neq \emptyset \)）。

集合相等：若 \( A \subseteq B \) 且 \( B \subseteq A \)，则 \( A = B \)（两集合元素完全相同）。

空集：不含任何元素的集合，记为 \( \emptyset \)（注意：\( \emptyset \neq \{0\} \)，\( \{0\} \) 含元素0，\( \emptyset \) 无元素）。

例题5：判断集合间的子集、真子集或相等关系

（1）判断 \( \{1,2\} \subseteq \{1,2,3\} \) 是否成立？  

解析：\( \{1,2\} \) 的所有元素（1,2）都在 \( \{1,2,3\} \) 中，故 成立。

（2）判断 \( \{1,2,3\} \subsetneqq \{1,2,3\} \) 是否成立？  

解析：真子集需 \( B \) 有元素不在 \( A \) 中，但两集合元素相同，故 不成立（应为 \( \{1,2,3\} \subseteq \{1,2,3\} \)）。

（3）判断 \( \emptyset \subseteq \{x \mid x^2 + 1 = 0, x \in \mathbb{R}\} \) 是否成立？  

解析：方程 \( x^2 + 1 = 0 \) 在实数范围内无解，故右边集合为 \( \emptyset \)，空集是自身的子集，故 成立。

（4）判断 \( \{x \mid x \text{ 是正偶数}\} \subsetneqq \{x \mid x \text{ 是整数}\} \) 是否成立？  

解析：正偶数都是整数，但整数中有无理数？不，整数包含正偶数、正奇数、负整数、0，故右边集合有元素（如1, -1）不在左边集合中，故 成立。

（5）已知 \( A = \{x \mid x^2 - 4 = 0\} \)，\( B = \{-2, 2\} \)，判断 \( A = B \) 是否成立？  

解析：解方程 \( x^2 - 4 = 0 \) 得 \( x = \pm 2 \)，故 \( A = \{-2, 2\} = B \)，成立。

（6）判断 \( \{0\} \subseteq \emptyset \) 是否成立？  

解析：\( \{0\} \) 含元素0，\( \emptyset \) 无元素，0不在 \( \emptyset \) 中，故 不成立（应为 \( \emptyset \subseteq \{0\} \)）。

（7）判断 \( \mathbb{N}^* \subsetneqq \mathbb{Z} \) 是否成立？  

解析：\( \mathbb{N}^* \)（正整数）都是 \( \mathbb{Z} \)（整数），且 \( \mathbb{Z} \) 有元素（如0, -1）不在 \( \mathbb{N}^* \) 中，故 成立。

（8）已知 \( A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 2\} \)，\( B = \{0,1,2\} \)，判断 \( A = B \) 是否成立？  

解析：\( A = \{0,1,2\} \)（自然数含0），与 \( B \) 元素相同，故 成立。

（9）判断 \( \{x \mid x > 5\} \subseteq \{x \mid x > 3\} \) 是否成立？  

解析：所有大于5的数都大于3，故左边集合的元素都在右边集合中，故 成立。

（10）判断 \( \{\emptyset\} \subseteq \emptyset \) 是否成立？  

解析：\( \{\emptyset\} \) 含元素 \( \emptyset \)，\( \emptyset \) 无元素，\( \emptyset \) 不在 \( \emptyset \) 中（元素不属于空集），故 不成立（应为 \( \emptyset \subseteq \{\emptyset\} \)）。

六、交集的性质

交集是集合的基本运算之一，核心是“两集合的公共元素”。

定义：由所有既属于集合 \( A \) 又属于集合 \( B \) 的元素组成的集合，记为 \( A \cap B \)（读作“\( A \) 交 \( B \)”），即 \( A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} \)。

核心性质：

1. 交换律：\( A \cap B = B \cap A \)；

2. 结合律：\( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)；

3. 幂等律：\( A \cap A = A \)；

4. 空集律：\( A \cap \emptyset = \emptyset \)；

5. 子集性质：若 \( A \subseteq B \)，则 \( A \cap B = A \)；反之，若 \( A \cap B = A \)，则 \( A \subseteq B \)。

例题6：求下列集合的交集

（1）已知 \( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{3,4,5,6\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：公共元素为3,4，故 \( A \cap B = \{3,4\} \)。

（2）已知 \( A = \{x \mid x > 2\} \)，\( B = \{x \mid x < 5\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：既大于2又小于5的数，故 \( A \cap B = \{x \mid 2 < x < 5\} \)。

（3）已知 \( A = \{x \mid x \text{ 是奇数}\} \)，\( B = \{x \mid x \text{ 是偶数}\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：奇数和偶数无公共元素，故 \( A \cap B = \emptyset \)。

（4）已知 \( A = \{1,3,5\} \)，\( B = \{2,4,6\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：两集合无公共元素，故 \( A \cap B = \emptyset \)。

（5）已知 \( A = \{(x,y) \mid x + y = 3\} \)，\( B = \{(x,y) \mid x - y = 1\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：交集是两直线的交点，解方程组 \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} \) 得 \( x=2, y=1 \)，故 \( A \cap B = \{(2,1)\} \)。

（6）已知 \( A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 = 0\} \)，\( B = \{1,2,3\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：解方程得 \( A = \{1,3\} \)，公共元素为1,3，故 \( A \cap B = \{1,3\} \)。

（7）已知 \( A = \mathbb{N}^* \)，\( B = \mathbb{Z} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：正整数是整数的一部分，公共元素即正整数，故 \( A \cap B = \mathbb{N}^* \)。

（8）已知 \( A = \{x \mid x \geq -1\} \)，\( B = \{x \mid x \leq 2\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：既大于等于-1又小于等于2的数，故 \( A \cap B = \{x \mid -1 \leq x \leq 2\} \)。

（9）已知 \( A = \{x \mid x \text{ 是矩形}\} \)，\( B = \{x \mid x \text{ 是正方形}\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：正方形是特殊的矩形，公共元素即正方形，故 \( A \cap B = \{x \mid x \text{ 是正方形}\} \)。

（10）已知 \( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{1,2,3,4\} \)，求 \( A \cap B \)？  

解析：两集合元素相同，交集即自身，故 \( A \cap B = \{1,2,3,4\} \)。

七、并集的性质

并集是集合的另一基本运算，核心是“两集合的所有元素（无重复）”。

定义：由所有属于集合 \( A \) 或属于集合 \( B \) 的元素组成的集合，记为 \( A \cup B \)（读作“\( A \) 并 \( B \)”），即 \( A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} \)（“或”为数学中的“可兼或”，即含公共元素）。

核心性质：

1. 交换律：\( A \cup B = B \cup A \)；

2. 结合律：\( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)；

3. 幂等律：\( A \cup A = A \)；

4. 空集律：\( A \cup \emptyset = A \)；

5. 子集性质：若 \( A \subseteq B \)，则 \( A \cup B = B \)；反之，若 \( A \cup B = B \)，则 \( A \subseteq B \)。

例题7：求下列集合的并集

（1）已知 \( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{3,4,5\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：所有元素为1,2,3,4,5（3只写一次），故 \( A \cup B = \{1,2,3,4,5\} \)。

（2）已知 \( A = \{x \mid x < 2\} \)，\( B = \{x \mid x > 0\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：小于2或大于0的数覆盖所有实数（除2和0？不，0属于 \( B \)（\( 0 > 0 \) 不成立，0属于 \( A \)（\( 0 < 2 \)），2属于 \( A \)（\( 2 < 2 \) 不成立，2属于 \( B \)（\( 2 > 0 \)）），故所有实数都满足，故 \( A \cup B = \mathbb{R} \)。

（3）已知 \( A = \{1,3,5\} \)，\( B = \{1,3,5\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：两集合元素相同，並集即自身，故 \( A \cup B = \{1,3,5\} \)。

（4）已知 \( A = \emptyset \)，\( B = \{0,1,2\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：空集与任何集合的並集是该集合，故 \( A \cup B = \{0,1,2\} \)。

（5）已知 \( A = \{x \mid x^2 - 9 = 0\} \)，\( B = \{x \mid x - 3 = 0\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：解方程得 \( A = \{-3, 3\} \)，\( B = \{3\} \)，並集为 \( \{-3, 3\} \)，故 \( A \cup B = \{-3, 3\} \)。

（6）已知 \( A = \{x \mid x \text{ 是正数}\} \)，\( B = \{x \mid x \text{ 是负数}\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：正数或负数，不含0，故 \( A \cup B = \{x \mid x \neq 0, x \in \mathbb{R}\} \)。

（7）已知 \( A = \{1,2\} \)，\( B = \{3,4,5\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：无公共元素，並集为所有元素，故 \( A \cup B = \{1,2,3,4,5\} \)。

（8）已知 \( A = \{x \mid -1 \leq x \leq 3\} \)，\( B = \{x \mid 2 \leq x \leq 5\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：覆盖范围从-1到5，故 \( A \cup B = \{x \mid -1 \leq x \leq 5\} \)。

（9）已知 \( A = \{(x,y) \mid y = x\} \)，\( B = \{(x,y) \mid y = -x\} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：两直线的所有点，故 \( A \cup B = \{(x,y) \mid y = x \text{ 或 } y = -x\} \)。

（10）已知 \( A = \mathbb{Q} \)，\( B = \mathbb{R} \)，求 \( A \cup B \)？  

解析：有理数是实数的一部分，並集即实数集，故 \( A \cup B = \mathbb{R} \)。

八、补集的性质

补集需结合“全集”定义，核心是“全集中不属于某集合的元素”。

定义：设 \( U \) 为全集（研究范围内所有元素的集合），集合 \( A \subseteq U \)，则由 \( U \) 中所有不属于 \( A \) 的元素组成的集合，称为 \( A \) 在 \( U \) 中的补集，记为 \( \complement_U A \)（读作“\( A \) 在 \( U \) 中的补集”），即 \( \complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\} \)。

核心性质：

1. 互补律：\( A \cup \complement_U A = U \)（\( A \) 与补集覆盖全集）；\( A \cap \complement_U A = \emptyset \)（\( A \) 与补集无公共元素）；

2. 双重补律：\( \complement_U (\complement_U A) = A \)（补集的补集是原集合）；

3. 空集与全集的补集：\( \complement_U U = \emptyset \)；\( \complement_U \emptyset = U \)；

4. 子集补集性质：若 \( A \subseteq B \subseteq U \)，则 \( \complement_U B \subseteq \complement_U A \)（子集的补集是超集）。

例题8：求下列集合的补集（默认全集 \( U = \mathbb{R} \)，特殊说明除外）

（1）已知 \( U = \{1,2,3,4,5\} \)，\( A = \{1,2,3\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：\( U \) 中不属于 \( A \) 的元素为4,5，故 \( \complement_U A = \{4,5\} \)。

（2）已知 \( U = \mathbb{R} \)，\( A = \{x \mid x > 2\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：实数中不大于2的数，故 \( \complement_U A = \{x \mid x \leq 2\} \)。

（3）已知 \( U = \mathbb{Z} \)，\( A = \{x \mid x \text{ 是偶数}\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：整数中不是偶数的数即奇数，故 \( \complement_U A = \{x \mid x \text{ 是奇数}\} \)。

（4）已知 \( U = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 5\} \)，\( A = \{0,1,2\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：\( U = \{0,1,2,3,4,5\} \)，不属于 \( A \) 的元素为3,4,5，故 \( \complement_U A = \{3,4,5\} \)。

（5）已知 \( U = \mathbb{R} \)，\( A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 \geq 0\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：解方程 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) 得 \( x=1 \) 或 \( x=3 \)，不等式解为 \( x \leq 1 \) 或 \( x \geq 3 \)，故补集为 \( 1 < x < 3 \)，即 \( \complement_U A = \{x \mid 1 < x < 3\} \)。

（6）已知 \( U = \{(x,y) \mid x + y = 5, x,y \in \mathbb{N}\} \)，\( A = \{(1,4), (2,3)\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：\( U = \{(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)\} \)，不属于 \( A \) 的元素为 \( (0,5), (3,2), (4,1), (5,0) \)，故 \( \complement_U A = \{(0,5), (3,2), (4,1), (5,0)\} \)。

（7）已知 \( U = \mathbb{Q} \)，\( A = \mathbb{N}^* \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：有理数中不是正整数的数，即 \( \complement_U A = \{x \mid x \in \mathbb{Q}, x \leq 0 \text{ 或 } x \text{ 是分数}\} \)。

（8）已知 \( U = \{1,2,3,4,5,6\} \)，\( A = \complement_U B \)，\( B = \{2,4,6\} \)，求 \( A \)？  

解析：\( \complement_U B = \{1,3,5\} \)，故 \( A = \{1,3,5\} \)。

（9）已知 \( U = \mathbb{R} \)，\( A = \emptyset \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：空集的补集是全集，故 \( \complement_U A = \mathbb{R} \)。

（10）已知 \( U = \{x \mid x \text{ 是三角形}\} \)，\( A = \{x \mid x \text{ 是锐角三角形}\} \)，求 \( \complement_U A \)？  

解析：三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故补集为直角和钝角三角形，即 \( \complement_U A = \{x \mid x \text{ 是直角三角形或钝角三角形}\} \)。

九、核心总结

1. 集合与元素：元素是个体，集合是确定、互异的元素整体，关系用“\( \in \)”或“\( \notin \)”表示；

2. 三大性质：确定性（判断标准明确）、互异性（无重复元素）、无序性（顺序不影响）；

3. 表示方法：列举法（有限/可列举元素）、描述法（无限/复杂元素）、韦恩图（可视化关系）；

4. 常见数集：\( \mathbb{N} \)（自然数）、\( \mathbb{N}^* \)（正整数）、\( \mathbb{Z} \)（整数）、\( \mathbb{Q} \)（有理数）、\( \mathbb{R} \)（实数）；

5. 集合关系：子集（\( A \subseteq B \)）、真子集（\( A \subsetneqq B \)）、相等（\( A = B \)），空集是任何集合的子集；

6. 运算性质：交集（\( A \cap B \)）：公共元素，满足交换律、结合律、空集律；并集（\( A \cup B \)）：所有元素，满足交换律、结合律、空集律；补集（\( \complement_U A \)）：全集中非 \( A \) 元素，满足互补律、双重补律。

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