基于“平移”的辅助线

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平移是平面几何中核心的图形变换之一，其本质是“图形沿某一方向移动一定距离，形状、大小、角度均不变，仅位置改变”，且平移后对应线段平行（或共线）且相等、对应点连线平行（或共线）且相等。基于平移的辅助线，核心是通过“构造平移图形”将分散的线段、角集中到同一图形（如三角形、平行四边形）中，或“补全残缺图形”，从而利用三角形三边关系、全等/相似性质、平行四边形性质等突破解题难点。

一、平移辅助线的原理与基本特征

在学习具体作法前，需先明确平移辅助线的底层逻辑，这是后续应用的基础：

1. 平移的基本性质（辅助线依据）：

平移后的线段与原线段平行且相等（若平移方向与原线段方向一致，则共线且相等）；

平移后的角与原角大小相等，且对应角的两边分别平行（或共线）；

平移后连接对应点的线段平行且相等，形成的图形为平行四边形（如将线段AB平移至A'B'，则四边形ABB'A'是平行四边形）。

2. 平移辅助线的核心目标：

集中元素：将题目中分散在不同位置的线段、角“移”到同一个三角形或平行四边形中，便于利用“三角形三边关系求范围”“全等三角形证线段相等”等；

补全图形：将不规则图形（如缺角的多边形）通过平移补成规则图形（如矩形、平行四边形），便于计算面积或利用规则图形性质；

构造平行关系：通过平移构造平行四边形，利用“对边平行且相等”转化线段或角的关系。

二、按“平移对象”分类的辅助线作法

平移的核心是“平移线段”或“平移整个图形”，其中“平移线段”是最常用的辅助线形式，可细分为“平移已知线段”“平移待求线段”“平移关键线段（如中线、角平分线）”三类。

（一）平移已知线段：集中分散线段

当题目中存在“两条或多条线段位置分散，但需研究它们的和、差、关系”时，可通过平移其中一条已知线段，使它们的一个端点重合，形成可直接分析的图形（如三角形）。

1. 平移单条已知线段：构造三角形或平行四边形

作法

已知线段AB和线段CD（端点不重合），若需将CD平移至与AB关联：

过点A作AE∥CD，且AE=CD（平移CD至AE，方向为从C到D，距离为CD的长度）；

或过点B作BF∥CD，且BF=CD（平移CD至BF），连接对应线段形成三角形（如△ABE）或平行四边形（如四边形ACDE）。

原理

平移后AE=CD且AE∥CD，故四边形ACDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），因此AC=DE（平行四边形对边相等）；

原问题中CD的关系（如长度、与其他线段的夹角）可转化为AE的关系，集中到△ABE中分析（如AB、AE、BE的关系）。

适用题型

已知三角形中两条不相邻的线段，求它们的和或差的范围；

证明“两条分散线段的和等于第三条线段”（如证明AB + CD=EF）；

解决“四边形中一组对边平行，另一组对边关系未知”的问题（如梯形中平移一腰）。

典型示例：梯形中平移一腰（核心应用场景）

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，AB=4，求CD的取值范围。

分析：梯形中AD∥BC（一组对边平行），AB、CD为两腰（分散），需通过平移一腰将两腰和两底差集中到三角形中。

辅助线构造：过点D作DE∥AB，交BC于点E（平移AB至DE，因AD∥BC，AB∥DE，故四边形ABED是平行四边形）。

推导过程：

1. 由平行四边形性质：DE=AB=4（平移后对应线段相等），BE=AD=3（平行四边形对边相等）；

2. 计算EC=BC - BE=7 - 3=4（BC为下底，BE为上底的平移长度）；

3. 在△DEC中，根据三角形三边关系：|DE - EC| < CD < DE + EC；

4. 代入数值：|4 - 4| < CD < 4 + 4 → 0 < CD < 8（因CD是梯形的腰，实际CD>0，故最终CD的取值范围是0 < CD < 8）。

2. 平移两条已知线段：构造特殊三角形（如等腰、直角三角形）

作法

已知两条线段AB、CD，若需研究它们的夹角或数量关系，可同时平移两条线段，使它们的一个端点重合：

过点O（任意点）作OA'∥AB且OA'=AB，作OB'∥CD且OB'=CD（平移AB至OA'，平移CD至OB'）；

连接A'B'，则△OA'B'中，OA'=AB、OB'=CD，∠A'OB'=AB与CD的夹角（平移不改变角的大小）。

原理

平移后线段的数量关系（AB=OA'、CD=OB'）和夹角关系（∠A'OB'=AB与CD的夹角）均保持不变；

将原问题中AB、CD的关系转化为△OA'B'中OA'、OB'的关系，若△OA'B'为等腰（OA'=OB'）或直角（∠A'OB'=90°）三角形，可直接利用对应性质求解。

适用题型

已知两条线段的长度和夹角，求它们的端点连线长度；

证明“两条线段垂直”（即平移后夹角为90°，△OA'B'为直角三角形）；

解决“空间图形中线段关系”（如长方体中面对角线的夹角，可通过平移转化为平面三角形）。

典型示例：长方体中线段夹角

在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=3，AD=4，AA'=5，求面对角线AC与体对角线BD'的夹角。

分析：AC在底面ABCD，BD'是体对角线，位置分散，需平移其中一条使它们共面。

辅助线构造：过点D'作D'E∥AC，交BC的延长线于E（因AC∥A'C'，也可平移AC至A'C'，使A'与B重合，此处选前者）；

推导过程：

1. 平移后D'E=AC（对应线段相等），AC=√(AB² + AD²)=√(9 + 16)=5，故D'E=5；

2. 连接BE，BE=BC + CE=AD + AD=4 + 4=8（因CE=AD，四边形ACED'是平行四边形）；

3. 体对角线BD'=√(AB² + AD² + AA'²)=√(9 + 16 + 25)=√50=5√2；

4. 在△BD'E中，BD'=5√2，D'E=5，BE=8，由余弦定理：cos∠BD'E=(BD'² + D'E² - BE²)/(2×BD'×D'E)；

5. 代入数值：cos∠BD'E=(50 + 25 - 64)/(2×5√2×5)=(11)/(50√2)=11√2/100，故夹角为arccos(11√2/100)。

（二）平移待求线段：转化求解目标

当题目中“待求线段位置隐蔽，无法直接利用现有图形性质”时，可通过平移待求线段，将其转化为“与已知条件关联的线段”，再结合三角形、平行四边形性质求解。

作法

设待求线段为EF（端点E、F分别在不同图形上）：

观察已知条件中与E、F相关的固定线段（如AB、CD），过E作EG∥AB且EG=AB，过F作FH∥AB且FH=AB；

或直接平移EF至E'F'，使E'落在已知线段的端点上（如E'=A），且F'落在另一条已知线段上（如F'在BC上），则EF=E'F'，转化为求E'F'的长度。

原理

平移不改变线段长度，故EF=E'F'，将“求EF”转化为“求E'F'”；

E'F'的位置与已知线段（如AB、BC）关联，可通过已知边长、角度计算E'F'（如利用勾股定理、三角函数）。

适用题型

待求线段为“折线中的某一段”（如不规则多边形的边）；

待求线段在“动态图形中”（如点P在直线上移动，求AP的最小值，可平移AP至固定位置）；

解决“最短路径问题”（如平移其中一条线段，使两点之间线段最短）。

典型示例：最短路径中的线段平移

在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(4,5)，直线l:y=x+1，点P在l上，求PA + PB的最小值。

分析：PA + PB的最小值是“将军饮马”模型，但A、B在直线l同侧，需通过平移或对称转化，此处用平移辅助线（本质与对称一致，核心是“化折为直”）。

辅助线构造：将点A沿直线l的方向平移至A'，使AA'平行于l且AA'的长度等于l的方向向量长度（此处简化为“作A关于l的对称点A'”，本质是平移的特殊形式，或直接平移PB至A'P'）；

更直接的平移方法：过点A作AC∥l，且AC=“l上某段长度”，此处用标准“将军饮马”：

1. 作点A关于l的对称点A'(0,3)（计算过程：l的垂线斜率为-1，A到l的垂线方程为y-2=-(x-1)，联立y=x+1得垂足(1,2)？ 修正：正确对称点计算：设A'(x,y)，中点((1+x)/2,(2+y)/2)在l上，且AA'⊥l，故(2+y)/2=(1+x)/2 + 1，(y-2)/(x-1)=-1，解得x=0，y=3，即A'(0,3)）；

2. 连接A'B，与l的交点即为P，PA + PB=PA' + PB=A'B（两点之间线段最短）；

3. A'B的长度=√((4-0)² + (5-3)²)=√(16 + 4)=√20=2√5，故PA + PB的最小值为2√5。

（注：此处“对称”可看作“沿垂线方向的平移”，本质是通过平移使分散的PA、PB集中到同一直线上，符合平移辅助线“化折为直”的核心目标）

（三）平移关键线段：利用特殊线段性质

在三角形或四边形中，“中线、角平分线、高线”是关键线段，平移这些线段可结合其特殊性质（如中线分线段为1:2、角平分线平分角），进一步关联已知条件。

1. 平移三角形的中线：构造平行四边形与倍长中线

作法

在△ABC中，AD是BC边上的中线（BD=DC），若需利用中线性质：

过点C作CE∥AD，且CE=AD（平移AD至CE），连接DE、BE；

或延长AD至E，使DE=AD（本质是“倍长中线”，可看作“沿AD方向平移AD至DE”），连接CE。

原理

平移后四边形ADCE是平行四边形（AD∥CE且AD=CE），故AB∥DE且AB=DE（因BD=DC，四边形ABED也是平行四边形）；

倍长中线后，△ABD≌△ECD（SAS：BD=DC，∠ADB=∠EDC，AD=DE），故AB=CE、∠B=∠DCE，可将AB转化为CE，集中到△ACE中分析。

适用题型

已知三角形的两边和中线，求第三边的范围（如已知AB=5、AC=7、中线AD=3，求BC）；

证明“三角形中两边之和大于中线的2倍”（如AB + AC > 2AD）；

解决“中线与角平分线结合”的问题（如AD是中线且平分∠BAC，证明AB=AC）。

典型示例：倍长中线求第三边

在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AC=7，AD=3，求BC的长。

辅助线构造：延长AD至E，使DE=AD（平移AD至DE，AD=DE=3，AE=6），连接CE（倍长中线法）。

推导过程：

1. 因AD是中线，BD=DC；又∠ADB=∠EDC（对顶角相等），AD=DE，故△ABD≌△ECD（SAS）；

2. 由全等得CE=AB=5（对应边相等）；

3. 在△ACE中，AC=7，CE=5，AE=6，由余弦定理求∠ACE：cos∠ACE=(AC² + CE² - AE²)/(2×AC×CE)=(49 + 25 - 36)/(2×7×5)=(38)/(70)=19/35；

4. 但需求BC，注意BC=2DC，在△CDE中，CD是边，CE=5，DE=3，∠CDE=∠ADB，而∠ADB=180°-∠EDC，可在△CDE中用余弦定理求CD：

先求∠CED：在△ACE中，cos∠CED=(CE² + AE² - AC²)/(2×CE×AE)=(25 + 36 - 49)/(2×5×6)=(12)/(60)=1/5；

在△CDE中，CD²=CE² + DE² - 2×CE×DE×cos∠CED=25 + 9 - 2×5×3×(1/5)=34 - 6=28；

故CD=√28=2√7，BC=2CD=4√7。

2. 平移角平分线：利用角平分线与平行的性质

作法

在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线（∠BAD=∠CAD），若需利用角平分线与平行的关系：

过点C作CE∥AD，且CE=AD（平移AD至CE），交BA的延长线于E；

或过点D作DE∥AB，交AC于E（平移AB至DE），结合角平分线平分角的性质。

原理

平移后AD∥CE，故∠BAD=∠E（同位角相等）、∠CAD=∠ACE（内错角相等）；

因AD是角平分线，∠BAD=∠CAD，故∠E=∠ACE，△ACE是等腰三角形，AE=AC（等角对等边），实现“角相等”到“边相等”的转化。

适用题型

证明“角平分线与某边的关系”（如AD平分∠BAC，且AB∥CE，证明AE=AC）；

已知角平分线和两边，求第三边的长度（如已知AB=6、AC=4、AD=3，求BC）；

解决“角平分线与平行线结合”的问题（如梯形中角平分线与腰平行，证明腰长等于底边长）。

典型示例：角平分线平移证等腰

在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，证明AE=AC。

辅助线构造：平移AD至CE（CE∥AD且CE=AD，此处只需CE∥AD，无需严格相等，核心是利用平行传递角）。

推导过程：

1. 因CE∥AD（平移性质），故∠BAD=∠E（同位角相等，AD与CE平行，BA是截线）；

2. 同理，∠CAD=∠ACE（内错角相等，AD与CE平行，AC是截线）；

3. 又AD平分∠BAC（已知），故∠BAD=∠CAD（角平分线定义）；

4. 由等量代换得∠E=∠ACE（∠BAD=∠E且∠CAD=∠ACE，∠BAD=∠CAD）；

5. 在△ACE中，∠E=∠ACE，故AE=AC（等角对等边），得证。

三、按“适用图形”分类的平移辅助线应用

平移辅助线可应用于三角形、四边形、不规则多边形等各类图形，不同图形的应用场景有明确侧重，以下按图形类型梳理具体应用。

（一）三角形中的平移辅助线

三角形中平移辅助线的核心是“集中三边关系”或“利用特殊线段（中线、角平分线）”，常见场景有：

1. 已知两边及其中一边的中线，求第三边范围：

辅助线：平移中线至倍长（如倍长AD至E，连接CE）；

原理：构造平行四边形，将两边（AB、AC）和中线的2倍（AE=2AD）集中到△ACE中，利用三角形三边关系求范围（|AC - CE| < AE < AC + CE，CE=AB）。

2. 证明“三角形两边之和大于第三边的2倍中线”：

辅助线：平移中线至E，使AE=2AD；

原理：△ACE中，AC + CE > AE（三边关系），CE=AB，故AB + AC > 2AD。

3. 已知三角形的角平分线和两边，求角的大小：

辅助线：平移角平分线至CE，交BA延长线于E；

原理：△ACE为等腰三角形（AE=AC），利用等腰三角形内角和求角（如∠E=∠ACE，再结合∠BAC与∠E的关系）。

（二）四边形中的平移辅助线

四边形中平移辅助线的核心是“将四边形转化为三角形或平行四边形”，重点应用于梯形、不规则四边形：

1. 梯形（一组对边平行）：

平移一腰：将梯形转化为“平行四边形 + 三角形”（如示例1中平移AB至DE，得▱ABED和△DEC），用于求腰长、底角、面积；

平移两腰：将两腰平移至同一顶点，形成“三角形”（如过A作AE∥BC，过D作DF∥BC，得△AEF），用于求两腰的夹角；

平移对角线：将一条对角线平移至另一条对角线的端点（如过D作DE∥AC交BC延长线于E），得▱ACED，△BDE的面积=梯形面积，用于求梯形面积（如已知对角线长和夹角，面积= (1/2)×AC×BD×sinθ）。

2. 不规则四边形（无对边平行）：

平移一组对边：将四边形转化为“平行四边形 + 三角形”（如过A作AE∥CD，过B作BF∥CD，得▱AEFB和△AED、△BFC），用于求周长、面积；

平移一条对角线：将对角线平移至某顶点，形成“三角形”（如过A作AE∥BD交CD延长线于E），得△ACE，用于求四边形的面积（△ACE的面积=四边形ABCD的面积）。

（三）不规则图形中的平移辅助线

不规则图形（如缺角矩形、多边形、组合图形）中，平移辅助线的核心是“补全规则图形”，便于计算面积或周长：

1. 缺角矩形：

辅助线：将缺角的边平移至对边，补成完整矩形（如矩形缺一个小矩形，平移小矩形的边至大矩形的边，形成完整矩形和小矩形，面积=大矩形面积 - 小矩形面积）；

示例：一个矩形长10、宽8，右上角缺一个长3、宽2的小矩形，求周长——平移小矩形的水平边和垂直边，周长=原矩形周长=2×(10+8)=36（平移后缺角的边被补全，周长不变）。

2. 多边形面积：

辅助线：将多边形的边沿水平或垂直方向平移，分割为“矩形 + 三角形”（如五边形可通过平移两边，分割为一个矩形和两个直角三角形）；

原理：平移不改变图形面积，分割后的规则图形面积之和=原多边形面积。

3. 组合图形中的最短路径：

辅助线：平移其中一个图形（如将一个正方形沿某方向平移，使两个图形的端点连线为直线），用于求两个图形上两点之间的最短路径（如两个正方形相距5，边长为2，求左上角到右下角的最短路径，平移后为直线距离）。

四、平移辅助线的解题步骤与核心技巧

（一）解题步骤

1. 识别问题类型：明确待求目标（边长、角度、面积、证明）和已知条件（线段长度、角度、图形类型），判断是否存在“分散元素”或“不规则图形”；

2. 确定平移对象：若线段分散，平移已知线段或待求线段；若涉及特殊线段（中线、角平分线），平移特殊线段；若图形不规则，平移边补全规则图形；

3. 构造平移图形：根据平移对象，确定平移方向和距离（方向：使平移后的线段与已知线段平行；距离：使端点重合或落在已知图形上），画出平移后的线段，形成三角形、平行四边形等；

4. 利用性质求解：结合平移后的图形性质（如平行四边形对边相等、三角形三边关系、全等/相似），关联已知条件与待求目标，计算或证明；

5. 验证结论：检查平移是否符合性质（对应线段平行且相等、对应角相等），结论是否与图形实际情况一致（如边长为正、角度在0°~180°）。

（二）核心技巧

1. “平行”是关键：平移辅助线的核心是“构造平行关系”，若题目中已有平行线（如梯形的对边平行），优先沿平行线方向平移，避免构造复杂图形；

2. “集中”是目标：所有平移操作的最终目的是“将分散元素集中到同一图形”，若平移后元素仍分散，需调整平移方向（如从水平平移改为垂直平移）；

3. 结合其他辅助线：平移辅助线可与“全等三角形”“相似三角形”“勾股定理”结合使用（如平移后构造全等三角形证线段相等，再用勾股定理求长度）；

4. 动态问题中抓“不变量”：在动态图形（如点移动、图形旋转）中，平移辅助线可抓住“不变的线段长度、角度”（如平移后线段长度不变，可作为定值代入计算）。

五、总结

基于平移的辅助线，本质是利用“平移不改变图形形状、大小、角度，仅改变位置”的性质，通过“构造平行关系”将分散的几何元素集中，或补全不规则图形为规则图形。其核心应用场景包括：

三角形中：平移中线（倍长中线）、角平分线，集中三边关系；

四边形中：梯形平移腰或对角线，转化为三角形和平行四边形；

不规则图形中：平移边补全规则图形，计算面积或周长；

最短路径中：平移线段“化折为直”，利用两点之间线段最短。

掌握平移辅助线的关键是“明确平移对象（已知线段、待求线段、特殊线段）”和“目标（集中元素、补全图形）”，并结合三角形、平行四边形的核心性质，即可突破大部分几何难题。

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