高中数学 14 等差数列、 等比数列、数学归纳法
等差数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母\(d\)表示。即\(a_{n}-a_{n - 1}=d\)（\(n\geq2\)，\(n\in N^{*}\)）。例如，数列\(1,3,5,7,\cdots\)是公差为\(2\)的等差数列。
通项公式：\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(n\)为项数。通过通项公式可以求出数列中的任意一项。例如，已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=2\)，\(d = 3\)，则\(a_{5}=a_{1}+(5 - 1)d = 2 + 4\times3 = 14\)。
前\(n\)项和公式：\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d\)。前\(n\)项和公式可以用来计算等差数列前\(n\)项的总和。例如，对于上述等差数列，求前\(10\)项和\(S_{10}\)，可先求出\(a_{10}=a_{1}+(10 - 1)d = 2 + 9\times3 = 29\)，再根据前\(n\)项和公式\(S_{10}=\frac{10\times(2 + 29)}{2}=155\)，或\(S_{10}=10\times2+\frac{10\times(10 - 1)}{2}\times3 = 155\)。
等比数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母\(q\)表示。即\(\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=q\)（\(n\geq2\)，\(n\in N^{*}\)），且\(q\neq0\)。例如，数列\(2,4,8,16,\cdots\)是公比为\(2\)的等比数列。
通项公式：\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(n\)为项数。利用通项公式可求出等比数列的任意一项。例如，等比数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=3\)，\(q = 2\)，则\(a_{4}=a_{1}q^{4 - 1}=3\times2^{3}=24\)。
前\(n\)项和公式：当\(q = 1\)时，\(S_{n}=na_{1}\)；当\(q\neq1\)时，\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}\)。例如，对于等比数列\(1,2,4,8,\cdots\)，求前\(5\)项和\(S_{5}\)，这里\(a_{1}=1\)，\(q = 2\)，根据公式可得\(S_{5}=\frac{1\times(1 - 2^{5})}{1 - 2}=31\)。
数学归纳法
原理：数学归纳法是一种用于证明与自然数\(n\)有关的命题的方法，它基于以下两个步骤：
基础步骤：证明当\(n = n_{0}\)（\(n_{0}\)为起始值，通常为\(1\)或\(0\)等）时命题成立。
归纳步骤：假设当\(n = k\)（\(k\geq n_{0}\)，\(k\in N^{*}\)）时命题成立，证明当\(n = k + 1\)时命题也成立。
如果这两个步骤都能得到证明，那么就可以断定对于从\(n_{0}\)开始的所有自然数\(n\)，命题都成立。
应用举例：证明\(1 + 2 + 3 + \cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}\)，\(n\in N^{*}\)。
当\(n = 1\)时，左边\(=1\)，右边\(=\frac{1\times(1 + 1)}{2}=1\)，左边等于右边，命题成立。
假设当\(n = k\)（\(k\in N^{*}\)）时命题成立，即\(1 + 2 + 3 + \cdots + k=\frac{k(k + 1)}{2}\)。
当\(n = k + 1\)时，\(1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1)=\frac{k(k + 1)}{2}+(k + 1)=\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\)，即当\(n = k + 1\)时命题也成立。
由数学归纳法可知，对于任意的\(n\in N^{*}\)，该命题都成立。
等差数列和等比数列是高中数学中重要的数列类型，它们具有丰富的性质和广泛的应用。数学归纳法则是一种重要的数学证明方法，在证明与自然数相关的命题时发挥着重要作用，对于培养逻辑推理能力和数学思维具有重要意义。
