复数 07 复数 \(a + bi\)

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复数的概念

数系的扩充：为了解决方程\(x^{2}+1 = 0\)这样在实数范围内无解的问题，人们引入了虚数单位\(i\)，规定\(i^{2}=-1\)

复数的定义：形如\(a + bi\)（\(a,b\in R\)）的数叫做复数，其中\(a\)叫做复数的实部，记作\(Re(z)=a\)；\(b\)叫做复数的虚部，记作\(Im(z)=b\)。

例如，\(3 + 2i\)是一个复数，其实部为\(3\)，虚部为\(2\)；\(5\)也可以看作复数\(5 + 0i\)，其虚部为\(0\)。

复数的分类：

当\(b = 0\)时，复数\(a + bi\)就是实数；

当\(b\neq0\)时，复数\(a + bi\)叫做虚数；

当\(a = 0\)且\(b\neq0\)时，复数\(a + bi\)叫做纯虚数。例如，\(2\)是实数，\(3i\)是纯虚数，\(2 + 3i\)是虚数。

复数的相等

两个复数\(a + bi\)与\(c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)）相等的充要条件是\(a = c\)且\(b = d\)

例如，若\(x + yi = 3 + 2i\)（\(x,y\in R\)），那么\(x = 3\)，\(y = 2\)

复数的几何意义

复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，\(x\)轴叫做实轴，\(y\)轴叫做虚轴。

在复平面内，复数\(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)）对应的点的坐标为\((a,b)\)。例如，复数\(2 + 3i\)在复平面内对应的点为\((2,3)\)。

复数的模：复数\(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)）的模记作\(\vert z\vert\)，\(\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。它表示复平面内复数对应的点到原点的距离。例如，复数\(z = 3 + 4i\)的模\(\vert z\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)

复数的运算

复数的加法：

法则：设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则\(z_{1}+z_{2}=(a + c)+(b + d)i\)

例如，\((2 + 3i)+(1 + 4i)=(2 + 1)+(3 + 4)i = 3 + 7i\)

几何意义：复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则或三角形法则来理解，在复平面内，复数\(z_{1}\)，\(z_{2}\)对应的向量分别为\(\overrightarrow{OZ_{1}}\)，\(\overrightarrow{OZ_{2}}\)，则\(z_{1}+z_{2}\)对应的向量就是以\(\overrightarrow{OZ_{1}}\)，\(\overrightarrow{OZ_{2}}\)为邻边的平行四边形的对角线所对应的向量（或三角形法则下首尾相连后的向量）。

复数的减法：

法则：设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则\(z_{1}-z_{2}=(a - c)+(b - d)i\)

例如，\((3 + 2i)-(1 + 3i)=(3 - 1)+(2 - 3)i = 2 - i\)

几何意义：复数的减法同样可类比向量减法，\(z_{1}-z_{2}\)对应的向量是从\(z_{2}\)对应的向量的终点指向\(z_{1}\)对应的向量的终点的向量。

复数的乘法：

法则：设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则\(z_{1}\cdot z_{2}=(ac - bd)+(ad + bc)i\)

例如，\((2 + i)(3 - i)=6 - 2i + 3i - i^{2}=6 + i - (-1)=7 + i\)

运算律：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，与实数乘法的运算律类似。

复数的除法：

法则：复数的除法是乘法的逆运算，一般先将分母实数化，即把分子分母同时乘以分母的共轭复数（后面会介绍共轭复数概念）。

设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}=\frac{ac + bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc - ad}{c^{2}+d^{2}}i\)（\(c^{2}+d^{2}\neq0\)）

例如，\(\frac{2 + i}{1 + i}=\frac{(2 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{2 - 2i + i - i^{2}}{1 - i^{2}}=\frac{3 - i}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)