圆的 6 类辅助线

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圆是平面几何中对称性极强的图形，其核心性质（如垂径定理、圆周角定理、切线性质等）的应用往往依赖于辅助线的添加。圆中辅助线的核心思路是利用圆的对称性、半径相等性、圆心与弦/弧/切线的位置关系，将圆的问题转化为三角形（直角三角形、等腰三角形、全等/相似三角形）、四边形等基本图形的问题，进而通过三角形性质、勾股定理、全等判定等知识求解。

一、“连半径”类辅助线：利用半径相等，构造等腰三角形或全等/相似三角形

半径是圆的基本元素，且同一圆的所有半径相等，“连半径”是圆中最基础的辅助线之一，核心是通过连接圆心与圆上点（或切点），利用“半径相等”构造等腰三角形，或结合其他条件（如切线、圆周角）推导角度、线段关系。

1. 连半径，构造等腰三角形（圆心与圆上两点连线）

作法

连接圆心O与圆上任意两点A、B，形成△OAB。

原理

同一圆中半径相等，即OA=OB，因此△OAB是等腰三角形。

等腰三角形性质：①底角相等：∠OAB=∠OBA；②三线合一：若过O作AB的垂线（即弦心距），则该垂线平分AB（弦）和弧AB（对应弧）（此为垂径定理的基础）。

圆心角与圆周角关系：∠AOB（圆心角）=2∠ACB（圆周角，C为圆上异于A、B的点），可通过等腰三角形的底角与顶角关系推导（如∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)/2，∠CAB+∠CBA=(180°-∠ACB)，结合半径平行或垂直关系关联）。

适用场景

已知圆周角，求圆心角；或已知圆心角，求圆周角。

已知弦长，求弦心距（需结合“作弦心距”辅助线，见下文）；或已知弦心距，求弦长。

证明圆上两点与圆心构成的三角形为等腰三角形，进而推导角度相等或线段相等。

示例

在⊙O中，弦AB=6，圆周角∠ACB=30°（C在圆上），求⊙O的半径。

作法：连接OA、OB。

由圆周角定理，∠AOB=2∠ACB=60°。

又OA=OB（半径相等），故△OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），因此OA=OB=AB=6，即⊙O的半径为6。

2. 连半径（圆心与切点连线），构造直角三角形（切线性质）

作法

若直线l与⊙O相切于点P，连接圆心O与切点P，形成线段OP。

原理

切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，即OP⊥l，因此△OPQ（Q为l上任意一点）是直角三角形（∠OPQ=90°）。

直角三角形性质：可利用勾股定理（如OQ²=OP²+PQ²）、三角函数（如sin∠OQP=OP/OQ）推导线段长度或角度。

若有两条切线从同一点Q引向⊙O（切点为P、R），则QP=QR（切线长相等），且OQ平分∠PQP（切线长定理），此时△OQP≌△OQR（HL，OP=OR=半径，OQ公共）。

适用场景

已知切线长、圆心到切线外点的距离，求圆的半径（勾股定理）。

证明某直线为圆的切线（“连半径，证垂直”：若能证明直线与半径垂直，且直线过半径外端，则直线为切线）。

已知两条切线从同一点引出，求切线长或圆心与该点的连线平分切线夹角。

示例

已知点P在⊙O外，过P作⊙O的切线PA（A为切点），且PA=8，OP=10，求⊙O的半径。

作法：连接OA（OA为半径）。

因PA是⊙O的切线，故OA⊥PA（切线垂直于过切点的半径），△OAP为直角三角形。

由勾股定理：OA²+PA²=OP²，代入得OA²+8²=10²，解得OA²=36，故OA=6（半径为正），即⊙O的半径为6。

二、“作弦心距”类辅助线：结合垂径定理，转化弦与弧的关系

弦心距是圆心到弦的垂线段，“作弦心距”的核心是利用垂径定理（圆心到弦的垂线平分弦且平分弦所对的两条弧），将弦长、弦心距、半径转化为直角三角形的三边（半径为斜边，弦心距和半弦长为直角边），进而用勾股定理求解。

作法

过圆心O作弦AB的垂线，垂足为M，形成垂线段OM（弦心距）。

原理

垂径定理：OM⊥AB ⇨ AM=MB=AB/2（平分弦），且弧AM=弧MB、弧AOM=弧BOM（平分弦所对的优弧和劣弧）。

直角三角形△OMA：OA为半径（R），OM为弦心距（d），AM为半弦长（l/2），满足勾股定理：R²=d²+(l/2)²——这是垂径定理的核心数量关系，可用于“知二求一”（已知R、d、l中的两个，求第三个）。

若有两条弦AB、CD，且OM⊥AB、ON⊥CD（M、N为垂足），则：①若AB=CD，则OM=ON（等弦对等弦心距）；②若OM=ON，则AB=CD（等弦心距对等弦）；③若AB>CD，则OM<ON（弦越长，弦心距越短）。

适用场景

已知弦长和半径，求弦心距；或已知弦心距和半径，求弦长。

已知弦长，证明弦所对的弧相等（通过弦心距相等推导）。

解决与“弦的中点”相关的问题（弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即弦心距）。

示例

在⊙O中，半径R=5，弦AB的弦心距OM=3，求弦AB的长度。

作法：过O作OM⊥AB于M，连接OA（半径）。

由垂径定理，AM=AB/2，且△OMA为直角三角形（∠OMA=90°）。

由勾股定理：AM²+OM²=OA²，代入得AM²+3²=5²，解得AM²=16，故AM=4（长度为正）。

因此AB=2AM=8。

三、“连直径”类辅助线：利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形

直径是圆中最长的弦，其核心性质是“直径所对的圆周角为直角”（圆周角定理的推论），“连直径”的辅助线思路是通过连接直径的两个端点与圆上任意一点，构造直角三角形，进而利用直角三角形的性质（勾股定理、锐角互余、斜边中线等于斜边一半）求解。

作法

1. 若已知直径AB，连接圆上任意一点C（C异于A、B），形成△ABC；

2. 若需构造直角，可先作直径AB，再连接B与圆上一点C，形成Rt△ABC。

原理

圆周角定理推论：直径所对的圆周角为直角，即∠ACB=90°，因此△ABC是直角三角形（直角在C点）。

直角三角形性质：①勾股定理：AC²+BC²=AB²（AB为直径，长度为2R）；②锐角互余：∠CAB+∠CBA=90°；③斜边中线等于斜边一半：若M为AB中点（即圆心O），则CM=AM=BM=R（因此直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半）。

若有直角三角形ABC（∠C=90°），则其外接圆的直径为AB（即“直角三角形的斜边为外接圆直径”），可用于求外接圆半径。

适用场景

已知直径长度，求圆上一点到直径两端点的线段长度（勾股定理）。

已知圆上三点，且其中两点连线为直径，证明第三点与这两点构成直角。

证明某三角形为直角三角形（通过证明其斜边为圆的直径）。

解决与“直角”相关的圆问题（如已知直角，构造直径）。

示例

在⊙O中，AB为直径（AB=10），C为圆上一点，且AC=6，求BC的长度。

作法：连接AC、BC（AB为直径）。

由直径所对圆周角为直角，得∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。

由勾股定理：AC²+BC²=AB²，代入得6²+BC²=10²，解得BC²=64，故BC=8（长度为正）。

四、“连圆心与弦的中点/弧的中点”类辅助线：利用对称性，推导垂直或平分关系

圆的对称性（轴对称、中心对称）是核心属性，“连圆心与弦的中点”或“连圆心与弧的中点”的辅助线，本质是利用对称性推导“垂直”或“平分”关系，与垂径定理直接关联，但更侧重“中点”这一条件的应用。

1. 连圆心与弦的中点：推导垂直关系

作法

若M为弦AB的中点，连接圆心O与M，形成线段OM。

原理

垂径定理的逆用：弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即OM⊥AB。

延伸：若M为AB中点，且OM⊥AB，则M在圆心O与AB的垂线上，且OM为弦心距，同时平分弧AB（与垂径定理一致）。

应用：若有两条弦AB、CD，M、N分别为其中点，且OM=ON，则AB=CD（等弦心距对等弦）。

适用场景

已知弦的中点，证明过中点的直线垂直于弦（需连接圆心与中点）。

已知弦的中点和半径，求弦心距或弦长（结合勾股定理）。

2. 连圆心与弧的中点：推导垂直平分弦

作法

若M为弧AB的中点（优弧或劣弧），连接圆心O与M，形成线段OM，且OM与弦AB交于点N。

原理

垂径定理的核心：弧的中点与圆心的连线垂直平分弧所对的弦，即OM⊥AB且AN=NB（N为AB中点）。

延伸：若M为弧AB的中点，则∠AOM=∠BOM（圆心角相等），且MA=MB（弧中点到弦两端点的距离相等，△MAB为等腰三角形）。

应用：证明弧相等（若OM垂直平分AB，则M为弧AB中点）；或证明线段相等（MA=MB）。

适用场景

已知弧的中点，证明过中点的直线垂直平分对应弦。

已知弦的垂直平分线过圆心，证明该直线经过对应弧的中点。

示例

在⊙O中，M为劣弧AB的中点，OM与AB交于N，且AB=8，ON=3，求⊙O的半径。

作法：连接OA（半径），因M为弧AB中点，故OM⊥AB且AN=AB/2=4（垂径定理）。

△OAN为直角三角形（∠ONA=90°），由勾股定理：AN²+ON²=OA²，代入得4²+3²=OA²，解得OA=5，即⊙O的半径为5。

五、“作切线”类辅助线：构造切线与半径的垂直，或切线长定理的应用

“作切线”类辅助线分为两种场景：一是过圆外一点作圆的切线（利用切线长定理），二是证明某直线为圆的切线（“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”），核心是利用切线与半径的垂直关系。

1. 过圆外一点作两条切线：利用切线长定理

作法

过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点），连接OA、OB、OP。

原理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，即PA=PB；且OP平分∠APB（切线夹角），同时OP垂直平分AB（AB为切点连线）。

直角三角形：OA⊥PA、OB⊥PB（切线垂直半径），故△OAP≌△OBP（HL，OA=OB，OP公共），因此∠AOP=∠BOP（OP平分圆心角）。

延伸：AB为⊙O的弦，且OP⊥AB，M为AB中点，则OM为弦心距，且AM=BM。

适用场景

已知圆外一点到圆心的距离，求切线长（勾股定理）。

证明两条切线长相等，或切线夹角被圆心与外点的连线平分。

求切点连线的长度（结合弦心距与半径）。

示例

过点P作⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点），OP=10，⊙O半径OA=6，求切线长PA及切点连线AB的长度。

① 求PA：因OA⊥PA，△OAP为直角三角形，由勾股定理：PA=√(OP²-OA²)=√(10²-6²)=8。

② 求AB：设OP与AB交于M，由切线长定理，OP⊥AB且AM=AB/2。

△OAM为直角三角形，OM=√(OA²-AM²)；同时，△PAM为直角三角形，PM=√(PA²-AM²)，且OP=OM+PM=10。

代入得√(36-AM²)+√(64-AM²)=10，解得AM=24/5（过程略），故AB=2AM=48/5=9.6。

2. 证明某直线为圆的切线：“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”

作法1：连半径，证垂直（已知直线过圆上一点）

若直线l过⊙O上一点P，需证明l为切线，连接OP（半径），只需证明OP⊥l即可。

原理：切线的判定定理——经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

适用场景：已知直线与圆有公共点（即直线过圆上一点）。

作法2：作垂直，证半径（未知直线与圆是否有公共点）

若直线l与⊙O无明确公共点，需证明l为切线，过圆心O作OM⊥l于M，只需证明OM=⊙O的半径R即可。

原理：若圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切（切线的定义延伸）。

适用场景：未知直线与圆是否有公共点，需通过距离判定。

示例

已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，过D作DE⊥AC于E，证明DE为⊙O的切线。

证明：连接OD（半径，因D在⊙O上，故OD=OB=OA）。

因AB=AC，故∠B=∠C（等腰三角形底角相等）；

因OB=OD，故∠B=∠ODB（等腰三角形底角相等）；

因此∠ODB=∠C，故OD∥AC（同位角相等，两直线平行）；

又DE⊥AC，故OD⊥DE（平行线的垂线性质）；

因OD为⊙O半径，且OD⊥DE，故DE为⊙O的切线（“连半径，证垂直”）。

六、“构造圆内接四边形”类辅助线：利用圆内接四边形的对角互补或外角等于内对角

圆内接四边形（四个顶点都在圆上的四边形）有特殊性质：对角互补（∠A+∠C=180°）、外角等于内对角（∠DCE=∠A，E为BC延长线上一点）。“构造圆内接四边形”的辅助线思路是通过添加顶点或延长边，形成圆内接四边形，进而利用上述性质推导角度关系。

作法

1. 若已知三点A、B、C在⊙O上，需构造圆内接四边形，可在⊙O上取第四点D，连接AD、CD，形成四边形ABCD；

2. 若已知四边形ABCD的三个顶点在⊙O上，延长某一边（如BC至E），利用外角等于内对角（∠DCE=∠A）。

原理

圆内接四边形性质1：对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°（因圆周角之和为360°，且对角所对的弧之和为圆周）。

圆内接四边形性质2：外角等于内对角，即∠DCE=∠A（∠DCE为∠BCD的邻补角，∠BCD+∠A=180°，故∠DCE=∠A）。

延伸：若四边形对角互补，则该四边形内接于圆（圆内接四边形的判定定理，可用于证明四点共圆）。

适用场景

已知圆内接四边形的一个角，求其对角（利用互补）。

已知圆内接四边形的一个外角，求其内对角（利用外角等于内对角）。

证明四点共圆（通过证明四边形对角互补）。

示例

在圆内接四边形ABCD中，∠A=110°，延长BC至E，求∠DCE的度数。

由圆内接四边形的外角等于内对角，得∠DCE=∠A=110°。

（或：由对角互补，∠A+∠BCD=180°，故∠BCD=180°-110°=70°；又∠BCD+∠DCE=180°（邻补角），故∠DCE=180°-70°=110°）。

七、圆中辅助线添加的核心原则与总结

圆中辅助线的本质是“激活圆的性质”——通过辅助线将圆的半径、直径、弦、弧、切线等元素与三角形、四边形的性质结合，核心原则如下：

1. 见半径，想等腰：连接圆心与圆上点，利用半径相等构造等腰三角形，推导角度或线段关系；

2. 见切线，连半径（证垂直）：切线与半径垂直是核心性质，无论是已知切线求长度，还是证明切线，均需优先连接半径；

3. 见弦，作弦心距（用垂径）：弦长、弦心距、半径的勾股关系是解决弦问题的关键，作弦心距可直接关联三者；

4. 见直径，构直角（圆周角）：直径所对圆周角为直角，是构造直角三角形的快捷方式，可结合勾股定理或三角函数；

5. 见中点（弦/弧），连圆心（推垂直）：弦或弧的中点与圆心的连线垂直于弦，是垂径定理的逆用，可快速建立垂直关系；

6. 见圆内接四边形，用互补/外角：利用对角互补或外角等于内对角，推导角度关系，简化证明。

实际解题中，需结合题目已知条件（如是否有切线、直径、弦中点）和目标需求（如求半径、弦长、角度，或证明切线、垂直），灵活选择辅助线，优先激活与已知条件最相关的圆性质，将复杂问题转化为基本图形的计算或证明。

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