平面几何总结：证明线段相等

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证明线段相等的核心思路是利用几何图形的性质（全等、对称、相似、圆、圆锥曲线等）或代数方法（坐标计算、方程求解），将线段相等的证明转化为等量关系的推导。

一、利用三角形全等性质

这是证明线段相等最核心、最常用的方法，通过证明两个三角形全等，利用“全等三角形的对应边相等”得出线段相等。

1. 全等判定定理

SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

HL（斜边、直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2. 适用场景

待证线段为两个三角形的对应边，且能找到满足全等判定的条件。

3. 例子

已知\(AB \parallel CD\)，\(AB = CD\)，求证\(AD = BC\)。

证明：∵\(AB \parallel CD\)，∴\(\angle ABD = \angle CDB\)。

在△\(ABD\)和△\(CDB\)中，\(AB = CD\)，\(\angle ABD = \angle CDB\)，\(BD = DB\)（公共边），

∴△\(ABD \cong\)△\(CDB\)（SAS），∴\(AD = BC\)。

二、利用等腰三角形性质

当待证线段在同一三角形中时，利用等腰三角形的“等角对等边”或“三线合一”性质证明线段相等。

1. 核心性质

等角对等边：在一个三角形中，相等的角所对的边相等。

三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，可由其中一个条件推出线段（中线、高）对应的相等关系。

2. 适用场景

待证线段在同一三角形内，且能证明其对角相等；或涉及等腰三角形的中线、角平分线、高的线段关系。

3. 例子

在△\(ABC\)中，\(AD\)平分\(\angle BAC\)，\(AD \perp BC\)，求证\(AB = AC\)。

证明：∵\(AD\)平分\(\angle BAC\)，∴\(\angle BAD = \angle CAD\)；

∵\(AD \perp BC\)，∴\(\angle ADB = \angle ADC = 90°\)；

又\(AD = AD\)，∴△\(ABD \cong\)△\(ACD\)（ASA），也可直接由“三线合一”逆定理，得△\(ABC\)为等腰三角形，\(AB = AC\)。

三、利用线段的垂直平分线性质

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

1. 核心性质

若直线\(l\)是线段\(AB\)的垂直平分线，点\(P\)在\(l\)上，则\(PA = PB\)。

若\(PA = PB\)，则点\(P\)在线段\(AB\)的垂直平分线上。

2. 适用场景

待证线段的端点为某一线段的两端，且动点/定点在该线段的垂直平分线上。

3. 例子

已知\(MN\)是线段\(AB\)的垂直平分线，点\(C\)在\(MN\)上，求证\(AC = BC\)。

证明：∵\(MN\)是\(AB\)的垂直平分线，∴根据垂直平分线性质，\(AC = BC\)。

四、利用角平分线性质

角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上（距离指垂线段长度）。

1. 核心性质

若\(OP\)平分\(\angle AOB\)，点\(P\)到\(OA\)、\(OB\)的垂线段为\(PC\)、\(PD\)，则\(PC = PD\)。

2. 适用场景

待证线段为角平分线上的点到角两边的垂线段。

3. 例子

在△\(ABC\)中，\(BD\)平分\(\angle ABC\)，\(DE \perp AB\)于\(E\)，\(DF \perp BC\)于\(F\)，求证\(DE = DF\)。

证明：∵\(BD\)平分\(\angle ABC\)，\(DE \perp AB\)，\(DF \perp BC\)，∴根据角平分线性质，\(DE = DF\)。

五、利用平行四边形及特殊四边形性质

平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊四边形的对边、对角线或腰具有相等性质，可直接用于证明线段相等。

1. 核心性质

平行四边形：对边相等，对角线互相平分（即对角线被交点分成的两段相等）。

矩形：对边相等，对角线相等。

菱形：四条边相等，对角线互相垂直平分。

正方形：四条边相等，对角线相等且互相垂直平分。

等腰梯形：两腰相等，对角线相等。

2. 适用场景

待证线段为特殊四边形的对边、腰或对角线的部分/整体。

3. 例子

已知四边形\(ABCD\)是矩形，求证\(AC = BD\)。

证明：∵四边形\(ABCD\)是矩形，∴根据矩形性质，对角线相等，即\(AC = BD\)。

六、利用圆的性质

圆的半径、弦、弧、圆心角、圆周角等性质中蕴含大量等量关系，可用于证明线段相等。

1. 核心性质

同圆或等圆的半径相等，直径相等。

等弧所对的弦相等；相等的圆心角所对的弦相等；相等的圆周角所对的弦相等。

垂直于弦的直径平分弦（弦的垂直平分线过圆心，且平分弦所对的弧）。

从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（切线长定理）。

2. 适用场景

待证线段为圆的半径、弦、切线长等。

3. 例子

从圆\(O\)外一点\(P\)引圆的两条切线\(PA\)、\(PB\)，切点为\(A\)、\(B\)，求证\(PA = PB\)。

证明：连接\(OA\)、\(OB\)、\(OP\)，∵\(PA\)、\(PB\)是切线，∴\(OA \perp PA\)，\(OB \perp PB\)。

在Rt△\(OAP\)和Rt△\(OBP\)中，\(OA = OB\)（半径），\(OP = OP\)（公共边），

∴Rt△\(OAP \cong\)Rt△\(OBP\)（HL），∴\(PA = PB\)（也可直接用切线长定理）。

七、利用相似三角形性质

当两个三角形相似时，对应边成比例，若比例系数为1（即全等），则对应边相等；若比例中存在等量关系，也可推导线段相等。

1. 核心性质

若△\(ABC \sim\)△\(DEF\)，则\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)；若比例式中某两项的分母/分子相等，则对应的分子/分母相等。

2. 适用场景

待证线段为相似三角形的对应边，且比例系数为1，或比例式中存在等量代换的条件。

3. 例子

已知△\(ABC \sim\)△\(ADE\)，且\(AB = AD\)，求证\(AC = AE\)。

证明：∵△\(ABC \sim\)△\(ADE\)，∴\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\)，又\(AB = AD\)，∴\(\frac{AC}{AE} = 1\)，即\(AC = AE\)。

八、利用代数与坐标法

通过建立平面直角坐标系，计算线段的长度（利用两点间距离公式），若长度相等则线段相等，是解析几何中证明线段相等的通用方法。

1. 核心步骤

建立坐标系，确定各点的坐标。

利用两点间距离公式\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)计算待证线段的长度。

比较长度，若相等则线段相等。

2. 适用场景

几何图形可直观建立坐标系，各点坐标易确定的情况。

3. 例子

已知点\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(5,2)\)、\(D(3,0)\)，求证\(AB = CD\)。

证明：\(AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，

\(CD = \sqrt{(3-5)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，

∴\(AB = CD\)。

九、利用等量代换与等式性质

通过中间线段作为“桥梁”，将待证的两条线段分别与中间线段相等，再利用“等量代换”证明；或通过等式的加减、乘除运算推导线段相等。

1. 核心思路

若\(a = c\)，\(b = c\)，则\(a = b\)；

若\(a + c = b + c\)，则\(a = b\)；若\(a - c = b - c\)，则\(a = b\)。

2. 适用场景

待证线段与某一公共线段存在和差关系，或分别与第三条线段相等。

3. 例子

已知\(AB = CD\)，\(AE = CF\)，求证\(BE = DF\)。

证明：∵\(BE = AB - AE\)，\(DF = CD - CF\)，又\(AB = CD\)，\(AE = CF\)，

∴\(BE = DF\)（等式性质）。

十、利用平移、旋转、轴对称等几何变换

几何变换不改变图形的形状和大小，只改变位置，变换前后的对应线段相等。

1. 核心性质

平移：平移后的线段与原线段平行且相等。

旋转：旋转后的线段与原线段相等，旋转角等于旋转中心的夹角。

轴对称：对称轴两侧的对应线段相等。

2. 适用场景

待证线段可通过几何变换相互转化。

3. 例子

将线段\(AB\)沿射线\(l\)方向平移得到线段\(CD\)，求证\(AB = CD\)。

证明：根据平移的性质，平移前后的对应线段相等，∴\(AB = CD\)。

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