勾股定理

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

勾股定理是平面几何中最基础且重要的定理之一，起源于古希腊数学家毕达哥拉斯（西方称呼），同时中国古代《周髀算经》中也有“勾三股四弦五”的记载，是人类对几何关系的早期重要发现。其本质是揭示直角三角形三边之间的数量关系，不仅是解决直角三角形问题的核心工具，还延伸出众多实用的二级结论，广泛应用于几何计算、证明及实际场景（如建筑、测量等）。

在直角三角形中，设两条直角边的长度分别为\(a\)、\(b\)，斜边（直角所对的边）的长度为\(c\)，则三边满足以下等式：

\(a^2 + b^2 = c^2\)

勾股定理的几何意义是：直角三角形两条直角边各自构成的正方形面积之和，等于斜边构成的正方形面积（即“面积和”关系）。这一意义可通过“割补法”证明——将直角边的正方形分割后，拼接成斜边的正方形，直观验证面积相等。

满足\(a^2 + b^2 = c^2\)的正整数组\((a, b, c)\)称为“勾股数”，常见勾股数及衍生组（乘以正整数\(k\)）如下：

基础组：\((3, 4, 5)\)，衍生组：\((6, 8, 10)\)、\((9, 12, 15)\)等；

基础组：\((5, 12, 13)\)，衍生组：\((10, 24, 26)\)、\((15, 36, 39)\)等；

其他常见组：\((7, 24, 25)\)、\((8, 15, 17)\)、\((9, 40, 41)\)等。

结论1：斜边是直角三角形最长边

直角三角形中，斜边长度大于任意一条直角边（因\(c^2 = a^2 + b^2 > a^2\)且\(c^2 > b^2\)，故\(c > a\)、\(c > b\)）。

应用场景：判断三角形是否为直角三角形时，先确定最长边，再验证是否满足勾股定理。

结论2：直角边与斜边的“半长”关系（含30°/45°特殊角）

若直角三角形中有一个锐角为\(30^\circ\)，则\(30^\circ\)角所对的直角边（短直角边）长度等于斜边的一半，即：设\(30^\circ\)对边为\(a\)，斜边为\(c\)，则\(a = \frac{1}{2}c\)，且三边比例为\(1:\sqrt{3}:2\)；

若直角三角形中有一个锐角为\(45^\circ\)（即等腰直角三角形），则两条直角边相等，三边比例为\(1:1:\sqrt{2}\)，且斜边长度为直角边的\(\sqrt{2}\)倍（\(c = a\sqrt{2}\)）。

结论3：直角三角形斜边中线定理

直角三角形斜边的中线长度等于斜边的一半，即：设斜边为\(c\)，斜边中线为\(m\)，则\(m = \frac{1}{2}c\)。

推导：延长中线至两倍，构造矩形（矩形对角线相等且互相平分），可证中线与斜边的关系；

应用：快速求中线长度，或通过中线反推斜边长度。

结论4：直角三角形“勾股差”与“边长和差”关系

设直角三角形直角边为\(a\)、\(b\)（\(a > b\)），斜边为\(c\)，则：

勾股差：\(a^2 - b^2 = c^2 - 2b^2\)（由\(a^2 = c^2 - b^2\)推导）；

若已知直角边之和\(a + b = k\)，则\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = k^2 - 2ab = c^2\)，可通过此式联立求\(ab\)（面积相关）。

结论5：直角三角形斜边上的高公式

设直角三角形斜边上的高为\(h\)，则高\(h = \frac{ab}{c}\)（\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。

推导：直角三角形面积有两种表示方法——\(S = \frac{1}{2}ab\)（直角边为底高）和\(S = \frac{1}{2}ch\)（斜边为底，斜边上的高为高），联立得\(h = \frac{ab}{c}\)。

结论6：斜边上的高与直角边、斜边的比例关系

由\(h = \frac{ab}{c}\)可推：\(\frac{h}{a} = \frac{b}{c}\)、\(\frac{h}{b} = \frac{a}{c}\)，即高与某条直角边的比，等于另一条直角边与斜边的比（相似三角形推导的延伸，见结论7）。

结论7：直角三角形斜边上的高分割的两个小三角形与原三角形相似

直角三角形斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，这两个小三角形均与原三角形相似（“母子相似”模型），即：

设原三角形为\(Rt\triangle ABC\)（\(\angle C = 90^\circ\)），斜边上的高为\(CD\)（\(D\)在\(AB\)上），则：

\(\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD\)

衍生比例关系（由相似三角形对应边成比例）：

\(AC^2 = AD \cdot AB\)（\(AC\)是\(AD\)与\(AB\)的比例中项）；

\(BC^2 = BD \cdot AB\)（\(BC\)是\(BD\)与\(AB\)的比例中项）；

\(CD^2 = AD \cdot BD\)（\(CD\)是\(AD\)与\(BD\)的比例中项）；

这三个比例式统称为“射影定理”，是解决直角三角形“线段乘积”问题的核心工具。

结论8：勾股定理的逆定理（判断直角三角形的依据）

若一个三角形的三边长度\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形为直角三角形，且最长边\(c\)所对的角为直角。

应用：通过三边长度判断三角形形状（若\(a^2 + b^2 > c^2\)，则为锐角三角形；若\(a^2 + b^2 < c^2\)，则为钝角三角形）。

结论9：锐角三角形的“勾股扩展”

在锐角三角形中，任意一边的平方小于另外两边的平方和，即：设三边为\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边），则\(c^2 < a^2 + b^2\)（因锐角对边的平方小于另外两边平方和）。

结论10：钝角三角形的“勾股扩展”

在钝角三角形中，钝角所对的边的平方大于另外两边的平方和，即：设钝角对边为\(c\)，则\(c^2 > a^2 + b^2\)（因钝角对边的平方大于另外两边平方和）。

结论11：矩形中的勾股关系

矩形的对角线相等且满足勾股定理：设矩形长为\(a\)、宽为\(b\)，对角线为\(d\)，则\(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)（矩形内角为直角，对角线为直角三角形斜边）。

结论12：正方形中的勾股关系

正方形的对角线长度为边长的\(\sqrt{2}\)倍：设正方形边长为\(a\)，对角线为\(d\)，则\(d = a\sqrt{2}\)（正方形是特殊的矩形，代入矩形对角线公式）。

结论13：等腰三角形底边上的高与勾股定理

等腰三角形底边上的高将其分为两个全等的直角三角形：设等腰三角形腰长为\(l\)，底边长为\(m\)，底边上的高为\(h\)，则\(h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{m}{2}\right)^2}\)（高为直角边，腰为斜边，底边一半为另一直角边）。

例题1：基础勾股数应用（求斜边）已知直角三角形的两条直角边分别为\(6\)和\(8\)，求斜边长度。

解析：直接应用勾股定理，\(a=6\)，\(b=8\)，则斜边\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)（也可通过勾股数\((3,4,5)\)衍生组\((6,8,10)\)直接得结果）。

答案：\(10\)。

例题2：基础勾股定理逆用（判断直角三角形）已知三角形三边为\(5\)、\(12\)、\(13\)，判断该三角形是否为直角三角形。

解析：先确定最长边为\(13\)，验证是否满足\(a^2 + b^2 = c^2\)：\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，符合勾股定理逆定理。

答案：是直角三角形。

例题3：含30°角的直角三角形（结论2应用）已知直角三角形中，\(30^\circ\)角所对的直角边为\(5\)，求斜边和另一条直角边的长度。

解析：由结论2，\(30^\circ\)对边为斜边的一半，故斜边\(c = 2 \times 5 = 10\)；另一条直角边\(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)（或用比例\(1:\sqrt{3}:2\)直接得\(5\sqrt{3}\)）。

答案：斜边\(10\)，另一直角边\(5\sqrt{3}\)。

例题4：等腰直角三角形（结论2应用）等腰直角三角形的直角边长为\(4\)，求斜边长度。

解析：由结论2，等腰直角三角形三边比例\(1:1:\sqrt{2}\)，故斜边\(c = 4\sqrt{2}\)（或用勾股定理\(c = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)）。

答案：\(4\sqrt{2}\)。

例题5：斜边中线定理（结论3应用）已知直角三角形的斜边为\(12\)，求斜边中线的长度。

解析：由结论3，斜边中线等于斜边的一半，故中线长\(m = \frac{1}{2} \times 12 = 6\)。

答案：\(6\)。

例题6：斜边上的高（结论5应用）已知直角三角形直角边为\(3\)和\(4\)，求斜边上的高。

解析：先求斜边\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)；再由结论5，高\(h = \frac{ab}{c} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4\)。

答案：\(2.4\)（或\(\frac{12}{5}\)）。

例题7：射影定理（结论7应用）已知直角三角形斜边\(AB = 10\)，斜边上的高\(CD = 4.8\)，求\(AD\)的长度（\(D\)在\(AB\)上）。

解析：由结论7（射影定理），\(CD^2 = AD \cdot BD\)，设\(AD = x\)，则\(BD = 10 - x\)；代入得\(4.8^2 = x(10 - x)\)，即\(23.04 = 10x - x^2\)，整理为\(x^2 - 10x + 23.04 = 0\)；解方程得\(x = 3.6\)或\(x = 6.4\)（因未限定\(AD\)长短，均为有效解）。

答案：\(3.6\)或\(6.4\)（或\(\frac{18}{5}\)、\(\frac{32}{5}\)）。

例题8：直角边和与勾股定理（结论4应用）已知直角三角形直角边之和为\(7\)，斜边为\(5\)，求两条直角边的长度。

解析：设直角边为\(a\)、\(b\)，则\(a + b = 7\)，\(a^2 + b^2 = 25\)；由结论4，\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)，代入得\(25 = 7^2 - 2ab\)，即\(25 = 49 - 2ab\)，解得\(ab = 12\)；联立\(a + b = 7\)和\(ab = 12\)，得方程组的解为\(a = 3\)、\(b = 4\)（或反之）。

答案：两条直角边分别为\(3\)和\(4\)。

例题9：锐角三角形的勾股扩展（结论9应用）已知三角形三边为\(4\)、\(5\)、\(6\)，判断该三角形是否为锐角三角形。

解析：最长边为\(6\)，验证\(6^2\)与\(4^2 + 5^2\)的关系：\(6^2 = 36\)，\(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\)；因\(36 < 41\)，由结论9，该三角形为锐角三角形。

答案：是锐角三角形。

例题10：钝角三角形的勾股扩展（结论10应用）已知三角形三边为\(2\)、\(3\)、\(4\)，判断该三角形是否为钝角三角形。

解析：最长边为\(4\)，验证\(4^2\)与\(2^2 + 3^2\)的关系：\(4^2 = 16\)，\(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\)；因\(16 > 13\)，由结论10，该三角形为钝角三角形（钝角对边为\(4\)）。

答案：是钝角三角形。

例题11：矩形对角线（结论11应用）已知矩形的长为\(12\)，宽为\(5\)，求矩形对角线的长度。

解析：由结论11，矩形对角线\(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)，代入得\(d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\)。

答案：\(13\)。

例题12：正方形对角线（结论12应用）已知正方形的边长为\(6\)，求正方形对角线的长度。

解析：由结论12，正方形对角线\(d = a\sqrt{2}\)，代入得\(d = 6\sqrt{2}\)（或用勾股定理\(d = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)）。

答案：\(6\sqrt{2}\)。

例题13：等腰三角形底边高（结论13应用）已知等腰三角形的腰长为\(10\)，底边长为\(16\)，求底边上的高。

解析：由结论13，高\(h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{m}{2}\right)^2}\)，代入得\(h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\)。

答案：\(6\)。

例题14：勾股定理与面积结合。已知直角三角形的斜边为\(13\)，一条直角边为\(5\)，求该三角形的面积。

解析：先求另一条直角边：\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)；再求面积\(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\)。

答案：\(30\)。

例题15：勾股定理与折叠问题。矩形\(ABCD\)中，\(AB = 3\)，\(BC = 4\)，将矩形沿对角线\(AC\)折叠，点\(B\)落在点\(B'\)处，求\(B'D\)的长度（提示：利用勾股定理列方程）。

答案：\(\frac{7}{5}\)（或\(1.4\)）。

例题16：勾股定理与梯子问题（实际应用）一架梯子长\(13\)米，斜靠在墙上，梯子底端距离墙根\(5\)米，若梯子顶端下滑\(2\)米，求梯子底端滑动的距离。

答案：\(\sqrt{69} - 5\)米（若调整数据为顶端下滑\(3\)米，则答案为\(1\)米，此处按原题数据计算）。

例题17：勾股定理与立体图形（长方体对角线）已知长方体的长、宽、高分别为\(3\)、\(4\)、\(12\)，求长方体的体对角线长度（提示：长方体体对角线是空间中直角三角形的斜边，可分两步用勾股定理）。

解析：第一步，先求底面矩形的对角线（长和宽构成的直角三角形斜边）：\(d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)；第二步，体对角线是底面对角线与高构成的直角三角形斜边：\(d = \sqrt{d_1^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)。

答案：\(13\)。

例题18：勾股定理与最短路径问题（圆柱侧面展开）一个圆柱的底面半径为\(3\)，高为\(4\)，在圆柱侧面上有一只蚂蚁，从下底面圆周上的点\(A\)爬到上底面圆周上与\(A\)相对的点\(B\)，求蚂蚁爬行的最短路径长度（\(\pi\)取\(3\)）。

答案：\(\sqrt{97}\)（若\(\pi\)取\(3.14\)，则半周长约\(9.42\)，路径约\(\sqrt{9.42^2 + 4^2}≈10.26\)，但按题目\(\pi=3\)，为\(\sqrt{97}\)）。

例题19：勾股定理与三角形周长。已知直角三角形的斜边为\(10\)，斜边上的高为\(4.8\)，求该三角形的周长。

解析：由结论5，\(h = \frac{ab}{c}\)，得\(ab = c \times h = 10×4.8 = 48\)；又由勾股定理，\(a^2 + b^2 = 100\)；周长\(L = a + b + c = a + b + 10\)，需先求\(a + b\)；由\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 100 + 2×48 = 196\)，故\(a + b = 14\)（边长为正，取正根）；因此周长\(L = 14 + 10 = 24\)。

答案：\(24\)。

例题20：勾股定理与综合证明。在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(CD\)是斜边\(AB\)上的高，求证：\(\frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{CD^2}\)。

证明：由结论5，\(CD = \frac{AC \cdot BC}{AB}\)，故\(CD^2 = \frac{AC^2 \cdot BC^2}{AB^2}\)；两边取倒数，\(\frac{1}{CD^2} = \frac{AB^2}{AC^2 \cdot BC^2}\)；又由勾股定理，\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)，代入得\(\frac{1}{CD^2} = \frac{AC^2 + BC^2}{AC^2 \cdot BC^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AC^2}\)，即\(\frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{CD^2}\)，得证。

结论：等式成立。