反比例函数

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1. 反比例函数的定义与表达式

形如 \(y = \dfrac{k}{x}\)（\(k\) 为常数，\(k \neq 0\)）的函数叫做反比例函数，等价形式为 \(xy = k\) 或 \(y = kx^{-1}\)。自变量 \(x \neq 0\)，函数值 \(y \neq 0\)。

2. 反比例函数的图像与性质

图像是双曲线，关于原点中心对称，关于直线 \(y=x\)、\(y=-x\) 轴对称。

\(k > 0\)：双曲线在一、三象限，每个象限内 \(y\) 随 \(x\) 增大而减小；

\(k < 0\)：双曲线在二、四象限，每个象限内 \(y\) 随 \(x\) 增大而增大；

\(|k|\) 越大，双曲线离原点越远。

3. 待定系数法求反比例函数的解析式

设 \(y = \dfrac{k}{x}\)，代入图像上任意一点坐标，求出 \(k\) 即可。

4. 反比例函数与一次函数综合

联立方程组求交点，结合图像解不等式，计算几何图形面积。

结论1：\(k\) 的几何意义（最核心）

过双曲线上任意一点 \(P(x,y)\) 作 \(x\) 轴、\(y\) 轴垂线，垂足为 \(A\)、\(B\)：

矩形 \(OAPB\) 面积 \(S = |k|\)；

\(\triangle OPA\)、\(\triangle OPB\) 面积 \(S = \dfrac{1}{2}|k|\)。

结论2：中心对称性

若点 \(P(a,b)\) 在 \(y = \dfrac{k}{x}\) 上，则 \(P'(-a,-b)\) 也在图像上，且 \(OP = OP'\)。

结论3：轴对称性

双曲线关于直线 \(y=x\)、\(y=-x\) 对称，若 \(P(a,b)\) 在图像上，则 \(P_1(b,a)\)、\(P_2(-b,-a)\) 也在图像上。

结论4：同一支上的线段比例

过原点的直线交双曲线于 \(P\)、\(Q\) 两点，\(P\)、\(Q\) 关于原点对称，\(OP = OQ\)。

结论5：双曲线上两点与原点构成的三角形面积

设 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) 在 \(y = \dfrac{k}{x}\) 上，则 \(S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\)，且 \(x_1y_1 = x_2y_2 = k\)。

结论6：平行于坐标轴的直线与双曲线交点性质

直线 \(x = m\) 与双曲线交于一点 \(P(m,\dfrac{k}{m})\)；直线 \(y = n\) 与双曲线交于一点 \(Q(\dfrac{k}{n},n)\)。

结论7：双曲线与矩形、三角形的面积定值

若双曲线交矩形两边于两点，矩形面积与 \(k\) 存在固定比例关系，分割后的图形面积为定值。

结论8：反比例函数与一次函数交点的横纵坐标关系

联立 \(y = \dfrac{k}{x}\) 与 \(y = ax + b\)，得一元二次方程 \(ax^2 + bx - k = 0\)，两根之积为 \(-\dfrac{k}{a}\)。

结论9：双曲线上任意一点到原点距离的最小值

设 \(P(x,\dfrac{k}{x})\)，则 \(OP = \sqrt{x^2 + \dfrac{k^2}{x^2}} \geq \sqrt{2|k|}\)，当且仅当 \(|x| = \sqrt{|k|}\) 时取等号。

结论10：过双曲线上两点作坐标轴垂线，构成的梯形面积为定值

设 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) 在 \(y = \dfrac{k}{x}\) 上，作垂线得梯形，则梯形面积 \(S = \dfrac{1}{2}|x_1 - x_2| \cdot |y_1 + y_2|\)，结合 \(xy=k\) 可化简为定值。

例题1：已知函数 \(y = (m+1)x^{m^2-5}\) 是反比例函数，且图像在第一、三象限，求 \(m\) 的值。

解答：由定义得 \(m^2-5 = -1\) 且 \(m+1 \neq 0\)，解得 \(m = \pm 2\)；图像在一、三象限则 \(k = m+1 > 0\)，故 \(m = 2\)。

例题2：点 \(A(-3,y_1)\)、\(B(-1,y_2)\)、\(C(2,y_3)\) 在 \(y = -\dfrac{12}{x}\) 上，比较 \(y_1\)、\(y_2\)、\(y_3\) 的大小。

解答：\(k=-12<0\)，双曲线在二、四象限，\(A\)、\(B\) 在第二象限，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，故 \(y_2 > y_1 > 0\)；\(C\) 在第四象限，\(y_3 < 0\)，所以 \(y_2 > y_1 > y_3\)。

例题3：过双曲线 \(y = \dfrac{k}{x}\) 上一点 \(P\) 作 \(x\) 轴垂线，垂足为 \(A\)，矩形 \(OAPB\)（\(B\) 为 \(y\) 轴垂足）面积为6，求 \(\triangle OPA\) 的面积。

解答：由 \(k\) 的几何意义，\(|k| = 6\)，\(\triangle OPA\) 面积为 \(\dfrac{1}{2}|k| = 3\)。

例题4：双曲线 \(y = \dfrac{k}{x}\) 与直线 \(y = 3x - 2\) 交于点 \(A(2,m)\)，求反比例函数解析式。

解答：将 \(A(2,m)\) 代入直线得 \(m = 3\times2 - 2 = 4\)，即 \(A(2,4)\)，代入双曲线得 \(k = 2\times4 = 8\)，解析式为 \(y = \dfrac{8}{x}\)。

例题5：直线 \(y = 2x + 5\) 与双曲线 \(y = \dfrac{k}{x}\) 交于 \(A\)、\(B\) 两点，\(A\) 点纵坐标为1，求 \(\triangle AOB\) 的面积。

解答：将 \(y=1\) 代入直线得 \(x = -2\)，即 \(A(-2,1)\)，\(k = -2\times1 = -2\)，联立方程 \(2x + 5 = -\dfrac{2}{x}\)，解得 \(x=-2\) 或 \(x=-\dfrac{1}{2}\)，则 \(B(-\dfrac{1}{2},4)\)。直线与 \(y\) 轴交点 \(C(0,5)\)，\(S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC} = \dfrac{1}{2}\times5\times2 - \dfrac{1}{2}\times5\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{4}\)。

例题6：点 \(A\)、\(B\) 在 \(y = \dfrac{6}{x}\) 上，\(AB \parallel y\) 轴，\(A\) 在第一象限，\(B\) 在第四象限，\(AB=4\)，求 \(A\) 点坐标。

解答：设 \(A(x,\dfrac{6}{x})\)（\(x>0\)），则 \(B(x,-\dfrac{6}{x})\)，\(AB = \dfrac{6}{x} - (-\dfrac{6}{x}) = 4\)，解得 \(x=3\)，故 \(A(3,2)\)。

例题7：双曲线 \(y = \dfrac{k}{x}\)（\(k>0\)）交矩形 \(OABC\) 的边 \(AB\) 于 \(D\)，边 \(BC\) 于 \(E\)，\(BD = 3AD\)，\(S_{\triangle ODE} = 12\)，求 \(k\)。

解答：设 \(A(4a,0)\)，\(B(4a,b)\)，则 \(D(4a,\dfrac{b}{4})\)，\(E(a,b)\)，\(k = 4a\times\dfrac{b}{4} = ab\)，\(S_{\triangle ODE} = 4ab - \dfrac{1}{2}\times4a\times\dfrac{b}{4} - \dfrac{1}{2}\times a\times b - \dfrac{1}{2}\times3a\times\dfrac{3b}{4} = 12\)，化简得 \(\dfrac{3}{2}ab = 12\)，\(ab=8\)，即 \(k=8\)。

例题8：已知 \(P\) 是 \(y = -\dfrac{8}{x}\) 上的动点，\(PM \perp x\) 轴于 \(M\)，\(PN \perp y\) 轴于 \(N\)，求矩形 \(PMON\) 周长的最小值。

解答：设 \(P(x,-\dfrac{8}{x})\)，周长 \(L = 2(|x| + \dfrac{8}{|x|})\)，由均值不等式，\(|x| + \dfrac{8}{|x|} \geq 4\sqrt{2}\)，当且仅当 \(|x|=2\sqrt{2}\) 时取等号，故周长最小值为 \(8\sqrt{2}\)。