小学数学：统一单位“1”

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1. 什么是单位“1”

在分数应用题中，单位“1”是一个标准量，它是一个整体，其他的量都是与这个整体进行比较的。例如，“甲是乙的\(\frac{2}{3}\)”，这里乙就是单位“1”。

2. 为什么要统一单位“1”

当题目中出现多个分数，且这些分数所对应的单位“1”不同时，会给解题带来困难。统一单位“1”后，能够更方便地分析数量关系，从而解决问题。

3. 统一单位“1”的方法

部分量与总量的关系

例如：“一袋大米，第一天吃了\(\frac{1}{4}\)，第二天吃了剩下的\(\frac{1}{3}\)，还剩下多少千克？”

在这里，我们可以把这袋大米的总量看作单位“1”。第一天吃了\(\frac{1}{4}\)后，剩下的量是\(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)。第二天吃了剩下的\(\frac{1}{3}\)，这里的\(\frac{1}{3}\)对应的单位“1”是第一天吃完剩下的部分，即\(\frac{3}{4}\)。那么第二天吃的实际占总量的\(\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\)。所以总共吃了\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)，剩下的就是\(1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。

转换单位“1”

例如：“甲是乙的\(\frac{3}{4}\)，乙是丙的\(\frac{2}{3}\)，甲是丙的几分之几？”

我们先把丙看作单位“1”，那么乙就是\(\frac{2}{3}\)。因为甲是乙的\(\frac{3}{4}\)，所以甲是\(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\)，这里就通过乙这个中间量，把甲和丙的关系建立起来，统一了以丙为单位“1”的关系。

利用份数统一单位“1”

例如：“男生人数是女生人数的\(\frac{3}{5}\)，后来转来了3名男生，这时男生人数是女生人数的\(\frac{4}{5}\)，女生有多少人？”

我们可以把女生人数看作5份，原来男生人数就是3份。后来男生人数变成了4份，增加了1份，这1份就是转来的3名男生。所以1份是3人，女生人数是5份，即女生有\(3\times5 = 15\)人。这里通过把女生人数看作固定的份数，来统一单位“1”，从而解决问题。

4. 实际应用案例

例1：“有两根绳子，第一根绳子长是第二根绳子长的\(\frac{3}{4}\)，第二根绳子剪掉6米后，第一根绳子长是第二根绳子长的\(\frac{3}{2}\)，第一根绳子长多少米？”

我们先统一单位“1”，把第一根绳子的长度看作单位“1”。

原来第二根绳子长度是第一根绳子长度的\(\frac{4}{3}\)，剪掉6米后，第二根绳子长度是第一根绳子长度的\(\frac{2}{3}\)。

那么6米占第一根绳子长度的\(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)。

所以第一根绳子长\(6\div\frac{2}{3}=9\)米。

例2：“水果店里有苹果和梨两种水果，苹果的重量占总重量的\(\frac{3}{5}\)，卖出20千克苹果后，苹果的重量占总重量的\(\frac{1}{3}\)，水果店原来有水果多少千克？”

把水果的总重量看作单位“1”。

设原来水果总重量为\(x\)千克，则苹果原来的重量是\(\frac{3}{5}x\)千克。

卖出20千克苹果后，水果总重量是\((x - 20)\)千克，苹果重量是\((\frac{3}{5}x-20)\)千克。

根据此时苹果重量占总重量的\(\frac{1}{3}\)，可列方程\(\frac{3}{5}x-20=\frac{1}{3}(x - 20)\)。

解方程：

首先去括号得\(\frac{3}{5}x-20=\frac{1}{3}x-\frac{20}{3}\)。

移项得\(\frac{3}{5}x-\frac{1}{3}x=20 - \frac{20}{3}\)。

通分计算得\(\frac{9}{15}x-\frac{5}{15}x=\frac{60 - 20}{3}\)，即\(\frac{4}{15}x=\frac{40}{3}\)。

解得\(x = 50\)千克。所以水果店原来有水果50千克。

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