基于“角平分线”的 6 类辅助线

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角平分线的核心性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，以及其逆定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。围绕这一核心，结合三角形全等、相似、等腰三角形性质等知识，衍生出多种辅助线作法，每种作法均对应特定的解题场景：

一、角平分线+垂线：构造等腰三角形（“三线合一”模型）

原理

角平分线兼具“角相等”和“线段（角平分线）为潜在对称轴”的属性，若过角平分线上一点作角平分线的垂线，该垂线会与角的两边相交，形成的三角形中，角平分线既是角平分线也是高，结合“等角对等边”可构造等腰三角形，利用“三线合一”（等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合）简化计算或证明。

作法

1. 设∠AOB的平分线为OC，任取OC上一点P；

2. 过P作OC的垂线，分别交OA于点M、交OB于点N；

3. 此时△OMN为等腰三角形，且OP是△OMN的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，即OM=ON，PM=PN，OP⊥MN。

适用场景

题目中出现“角平分线”，且需要证明“线段相等”（如OM=ON）或“线段垂直平分”（如OP垂直平分MN）；

需利用等腰三角形的性质（如两腰相等、底角相等）推导角度或边长关系。

示例

已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥EF（E在AB上，F在AC上），求证：AE=AF。

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD；又AD⊥EF，∴∠ADE=∠ADF=90°；

在△ADE和△ADF中，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠ADE=∠ADF，∴△ADE≌△ADF（ASA），∴AE=AF（也可直接由“三线合一”得出△AEF为等腰三角形，AE=AF）。

二、角平分线+两边距离：构造全等三角形（“角平分线性质”直接应用）

原理

角平分线的核心性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，因此过角平分线上任意一点，分别向角的两边作垂线，可得到两条相等的垂线段（距离），再结合公共边或已知边，能构造出全等的直角三角形（HL或AAS），从而实现边、角关系的转化。

作法

1. 设∠AOB的平分线为OC，任取OC上一点P；

2. 过P作PD⊥OA于点D，作PE⊥OB于点E；

3. 由角平分线性质得PD=PE，且OP为公共边，因此Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），进而可得OD=OE、∠OPD=∠OPE等结论。

适用场景

题目明确给出“角平分线”，且需要证明“线段相等”（如PD=PE、OD=OE）或“角度相等”（如∠OPD=∠OPE）；

涉及“距离”（垂线段长度）的计算或证明，例如求角平分线上某点到两边的距离。

示例

已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，点D在AC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE=3，AB=8，BC=6，求△ABC的面积。

解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=3（角平分线性质）；

△ABC的面积=△ABD的面积+△CBD的面积=（1/2×AB×DE）+（1/2×BC×DF）=（1/2×8×3）+（1/2×6×3）=12+9=21。

三、角平分线+截长补短：构造全等三角形（“边的和差”证明场景）

原理

当题目中出现“角平分线”且需要证明“一条线段等于另外两条线段的和或差”（如“AB=AC+CD”“AB=AD-BC”）时，可利用角平分线的“角相等”属性，通过“截长”（在长线段上截取一段等于其中一条短线段）或“补短”（将其中一条短线段延长，使延长部分等于另一条短线段），构造出全等三角形，将“线段和差”转化为“线段相等”证明。

作法

1. 截长法（以“证明AB=AC+CD”为例）

已知AD平分∠BAC，点D在BC上，目标证明AB=AC+CD；

操作：在AB上截取AE=AC（使AE等于其中一条短线段AC）；

推导：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD；又AE=AC，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS）；

由全等得ED=CD、∠AED=∠ACD；后续再结合其他条件（如∠BED=180°-∠AED，若∠ACD与∠B互补，可证∠BED=∠B，进而得EB=ED=CD），最终AB=AE+EB=AC+CD。

2. 补短法（以“证明AB=AC+CD”为例）

已知AD平分∠BAC，点D在BC上，目标证明AB=AC+CD；

操作：延长AC至点F，使CF=CD（使延长后的AF=AC+CF=AC+CD，目标转化为证明AB=AF）；

推导：∵CF=CD，∴∠F=∠CDF，∴∠ACB=∠F+∠CDF=2∠F；

若AD平分∠BAC且∠B=∠F（需结合题目其他条件推导，如∠B=∠ACB/2），则在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FAD，∠B=∠F，AD=AD，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴AB=AF=AC+CD。

适用场景

核心场景：题目含“角平分线”且结论涉及“线段和差”（如AB=CD+EF、MN=PQ-RS）；

延伸场景：需要将分散的线段集中到同一条线段上，利用全等三角形实现边的转化。

示例

已知：在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，BD=2，DC=1，求AB的长。

（提示：用截长法）在AB上截取AE=AC，连接DE；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD=60°；

由AE=AC、AD=AD，得△AED≌△ACD（SAS），∴DE=DC=1，∠AED=∠ACD；

∵∠BAC=120°，∴∠B+∠ACD=60°；又△AED≌△ACD，∴∠AED=∠ACD，∴∠B+∠AED=60°；

∵∠AED=∠B+∠EDB（三角形外角性质），∴∠B+∠B+∠EDB=60°，即2∠B+∠EDB=60°；

又DE=1、BD=2，若∠EDB=60°-2∠B，结合余弦定理或等腰性质可推得∠B=30°，进而得AB=2AE=2AC（过程略），最终AB=2。

四、角平分线+平行线：构造等腰三角形（“等角对等边”模型）

原理

角平分线提供“一组相等的角”（如∠1=∠2），若过角的一边上某点作角平分线的平行线，或过角平分线上某点作角的一边的平行线，可利用“平行线的内错角/同位角相等”（如∠2=∠3），进而得到“∠1=∠3”，由“等角对等边”构造出等腰三角形，实现“角相等”到“边相等”的转化。

作法

1. 过角的一边上的点作角平分线的平行线

设OC平分∠AOB（∠AOC=∠COB），在OA上取一点P；

过P作PD∥OC，交OB于点D；

由PD∥OC，得∠AOC=∠APD（同位角相等），∠COB=∠PDB（同位角相等）；

又∠AOC=∠COB，∴∠APD=∠PDB；若再结合其他条件（如P为OA中点），可推得△PDB为等腰三角形（PD=BD）。

2. 过角平分线上的点作角的一边的平行线

设OC平分∠AOB（∠AOC=∠COB），在OC上取一点P；

过P作PD∥OA，交OB于点D；

由PD∥OA，得∠AOC=∠OPD（内错角相等）；

又∠AOC=∠COB，∴∠OPD=∠COB，由“等角对等边”得PD=OD，即△OPD为等腰三角形。

适用场景

题目含“角平分线”，且需要证明“线段相等”（如PD=OD、BD=PD）；

需利用等腰三角形的“两腰相等”或“底角相等”，将角度关系转化为边长关系，简化计算（如求线段长度、角度大小）。

示例

已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，若AE=3，AB=8，求DE的长。

解：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC（内错角相等）；

又BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD；

由“等角对等边”得DE=BE；

∵AB=8，AE=3，∴BE=AB-AE=8-3=5，∴DE=BE=5。

五、角平分线+延长线段：构造全等三角形（“对称补形”模型）

原理

角平分线可看作角的“对称轴”，因此过角的一边上的点，作角平分线的对称点（或延长某条线段至对称点），可使角的两边形成对称图形，构造出全等三角形。核心是利用“角平分线的对称性”，将分散的角或边集中到同一个三角形中，实现条件的整合。

作法

1. 设AD平分∠BAC，点D在BC上，在AB上取一点E，连接DE；

2. 延长DE至点F，使DF=DE，连接CF；

3. 若AD平分∠BAC且BD=CD（D为BC中点），则可证△BDE≌△CDF（SAS，BD=CD，∠BDE=∠CDF，DE=DF）；

4. 由全等得BE=CF、∠B=∠DCF，进而结合AD平分∠BAC，可推得∠BAF=∠CAF，再证△AEF≌△ACF（或其他全等），实现边、角转化。

适用场景

题目含“角平分线”且存在“中点”（如D为BC中点），需要利用中点的“线段相等”属性构造全等；

需将某条线段延长后与角的另一边形成对称，利用全等三角形补充缺失的条件（如补充∠B=∠DCF，使角度关系完整）。

示例

已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点，求证：AB=AC。

证明：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE；

∵D为BC中点，∴BD=CD；

在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS）；

∴AC=BE，∠CAD=∠BED；

又AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴∠BAD=∠BED；

由“等角对等边”得AB=BE，又AC=BE，∴AB=AC（即△ABC为等腰三角形）。

六、角平分线+外接圆：利用圆的性质（“圆周角定理”辅助）

原理

角平分线平分的角为“圆周角”时（如△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC），由“圆周角定理”（同弧所对的圆周角相等）可知，角平分线AD会经过弧BC的中点（或与弧BC的中点重合），此时可利用圆的性质（如弧相等、弦相等、切线性质）辅助解题，将角平分线的“角相等”转化为“弧相等”或“弦相等”。

作法

1. 设△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC，交圆O于点D；

2. 由“圆周角定理”，∠BAD=∠CAD，故弧BD=弧CD（相等的圆周角所对的弧相等）；

3. 因此D为弧BC的中点，进而得BD=CD（等弧所对的弦相等），且OD⊥BC（圆心到等弧的连线垂直于弦）；

4. 若过D作圆O的切线DE，由“切线性质”（切线与半径垂直）和“弦切角定理”（弦切角等于所夹弧所对的圆周角），得∠EDB=∠BAD（弦切角∠EDB夹弧BD，圆周角∠BAD夹弧BD），结合AD平分∠BAC，可推得角度关系。

适用场景

题目明确涉及“三角形内接于圆”（即存在外接圆），且含“角平分线”；

需要利用“弧相等”“弦相等”“弦切角”等圆的性质，推导边或角的关系（如证明BD=CD、OD⊥BC）。

示例

已知：△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于D，求证：BD=CD。

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD；

∵△ABC内接于圆O，∠BAD和∠CAD均为圆周角，且∠BAD对弧BD，∠CAD对弧CD；

由“圆周角定理”：相等的圆周角所对的弧相等，∴弧BD=弧CD；

又“等弧所对的弦相等”，∴BD=CD。

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