数论：数的表示

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数的表示是数论与实际应用结合的核心内容，从整数的进位制到实数的分数、小数、连分数形式，每种表示都有独特的结构和转化规则。其中，进位制是信息存储与计算的基础，分数与小数的互化是初等数论的经典问题，连分数则为无理数（尤其是二次无理数）提供了更深刻的表示方法。

数的表示是连接数论理论与实际应用的桥梁，其核心逻辑与转化规则可归纳为：

1. 进位制：非十进制与十进制的转化依赖“按权展开”（非转十）和“除基取余/乘基取整”（十转非），是计算机领域的基础；

2. 分数与小数：有理数的小数类型由分母素因数决定（有限/混循环），小数化分数通过“代数方程消去循环部分”实现，本质是有理数的两种表示形式互化；

3. 连分数：有理数对应有限连分数，无理数对应无限连分数，二次无理数的连分数必循环（拉格朗日定理），其渐近分数是原数的最佳逼近，在数值计算中具有重要意义。

一、数的表示：整数与实数的基础形式

数的表示本质是“用有限符号按规则表示无限数集”，核心是进位制（整数）与分数/小数/连分数（实数），其中整数的进位制是所有表示的基础。

1. 整数的进位制（核心定义）

设\( b \)为大于1的正整数（称为“基数”或“底”），则任意正整数\( n \)可唯一表示为：

\( n = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \dots + a_1 b^1 + a_0 b^0 \)

其中：

\( k \)为非负整数（表示最高次幂）；

\( a_i \)为“数码”，满足\( 0 \leq a_i < b \)（\( i=0,1,\dots,k \)），且最高位数码\( a_k \neq 0 \)；

该表示记为\( n = (a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0)_b \)（括号右下角的\( b \)表示基数）。

常见基数

十进制（\( b=10 \)）：日常使用，数码为\( 0-9 \)，如\( 123 = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 = (123)_{10} \)；

二进制（\( b=2 \)）：计算机底层，数码为\( 0-1 \)，如\( (1011)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11_{10} \)；

八进制（\( b=8 \)）/十六进制（\( b=16 \)）：计算机简化表示，十六进制数码为\( 0-9, A-F \)（\( A=10, F=15 \)）。

2. 实数的表示

实数包括有理数和无理数，有理数可表示为分数（\( \frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{Z}, q>0, \gcd(p,q)=1 \)）或有限/无限循环小数；无理数只能表示为无限不循环小数或连分数。

二、实数的进位制及相互转化

不同基数的进位制可相互转化，核心是“整数部分除基取余”和“小数部分乘基取整”，适用于任意基数（\( b>1 \)）。

1. 非十进制数转化为十进制数（按权展开法）

对任意基数\( b \)，若数的整数部分为\( (a_k \dots a_1 a_0)_b \)，小数部分为\( (0.a_{-1} a_{-2} \dots a_{-m})_b \)，则其十进制值为：

\( \text{十进制值} = a_k b^k + \dots + a_1 b^1 + a_0 b^0 + a_{-1} b^{-1} + a_{-2} b^{-2} + \dots + a_{-m} b^{-m} \)

关键：按基数的幂次展开，逐项计算后求和。

2. 十进制数转化为非十进制数（分整数/小数部分处理）

（1）十进制整数转化为\( b \)进制整数：除基取余法

步骤：

1. 将十进制整数\( n \)除以基数\( b \)，得到商\( q_1 \)和余数\( r_0 \)（\( r_0 \)为\( b \)进制的最低位数码）；

2. 将商\( q_1 \)除以\( b \)，得到商\( q_2 \)和余数\( r_1 \)（\( r_1 \)为次低位数码）；

3. 重复步骤2，直到商为0，得到余数\( r_k, r_{k-1}, \dots, r_1, r_0 \)；

4. 从最后一个余数\( r_k \)到第一个余数\( r_0 \)排列，即为\( b \)进制整数\( (r_k r_{k-1} \dots r_1 r_0)_b \)。

（2）十进制小数转化为\( b \)进制小数：乘基取整法

步骤：

1. 将十进制小数\( f \)（\( 0 \leq f < 1 \)）乘以基数\( b \)，得到整数部分\( a_{-1} \)和小数部分\( f_1 \)（\( a_{-1} \)为\( b \)进制小数的最高位数码）；

2. 将小数部分\( f_1 \)乘以\( b \)，得到整数部分\( a_{-2} \)和小数部分\( f_2 \)（\( a_{-2} \)为次高位数码）；

3. 重复步骤2，直到小数部分为0（有限小数）或达到所需精度（无限小数），得到数码\( a_{-1}, a_{-2}, \dots, a_{-m} \)；

4. 排列数码，即为\( b \)进制小数\( (0.a_{-1} a_{-2} \dots a_{-m})_b \)。

注意：并非所有十进制有限小数都能转化为\( b \)进制有限小数（如十进制\( 0.1 \)转化为二进制是无限循环小数）。

三、分数化小数（有理数的小数表示）

分数\( \frac{p}{q} \)（既约分数，\( q>0 \)）的小数表示分为有限小数和无限循环小数，其类型由分母\( q \)的素因数决定。

1. 分数化有限小数的条件

若既约分数\( \frac{p}{q} \)的分母\( q \)的素因数仅含\( 2 \)和\( 5 \)（即\( q = 2^s 5^t \)，\( s,t \)为非负整数），则\( \frac{p}{q} \)可化为有限小数。

转化方法：通分法

将分母化为\( 10^k \)（\( k = \max(s,t) \)），分子同步扩大，再转化为小数：

若\( s > t \)：\( q = 2^s 5^t = 2^{s-t} \times 10^t \)，通分后\( \frac{p}{q} = \frac{p \times 5^{s-t}}{10^t} \)；

若\( t > s \)：\( q = 2^s 5^t = 5^{t-s} \times 10^s \)，通分后\( \frac{p}{q} = \frac{p \times 2^{t-s}}{10^s} \)；

若\( s = t \)：\( q = 10^s \)，直接化为\( \frac{p}{10^s} \)。

2. 分数化无限循环小数的条件

若既约分数\( \frac{p}{q} \)的分母\( q \)含有除\( 2 \)和\( 5 \)外的素因数（即\( q = 2^s 5^t r \)，\( r>1 \)且\( \gcd(r,10)=1 \)），则\( \frac{p}{q} \)可化为混循环小数（整数部分+有限小数部分+无限循环部分）：

有限部分的位数：\( k = \max(s,t) \)；

无限循环部分的位数（循环节长度）：满足\( 10^d \equiv 1 \pmod{r} \)的最小正整数\( d \)（称为“10对模\( r \)的阶”）。

转化方法：除法求余法

用分子除以分母，记录余数：当余数重复出现时，对应的商即为循环节。

四、小数化分数（有限/循环小数转化为有理数）

小数化分数的核心是“利用小数点后的位数或循环节，通过代数方程消去小数部分”。

1. 有限小数化分数

步骤：

1. 设有限小数为\( N = a_0.a_1 a_2 \dots a_m \)（\( a_0 \)为整数部分，\( a_1 \dots a_m \)为小数部分）；

2. 两边乘\( 10^m \)，得\( 10^m N = a_0 a_1 a_2 \dots a_m \)（整数）；

3. 化简分数：\( N = \frac{a_0 a_1 a_2 \dots a_m}{10^m} \)，约去分子分母的最大公约数（\( \gcd(a_0 a_1 \dots a_m, 10^m) \)）。

2. 无限循环小数化分数

（1）纯循环小数（从小数点后第一位开始循环）

设纯循环小数为\( N = a_0.\dot{a_1} a_2 \dots \dot{a_d} \)（循环节长度为\( d \)），步骤：

1. 两边乘\( 10^d \)，得\( 10^d N = a_0 a_1 a_2 \dots a_d.\dot{a_1} a_2 \dots \dot{a_d} \)；

2. 两式相减消去循环部分：\( 10^d N - N = a_0 a_1 a_2 \dots a_d - a_0 \)；

3. 解得：\( N = \frac{\text{整数部分+循环节} - \text{整数部分}}{10^d - 1} = \frac{\overline{a_0 a_1 \dots a_d} - a_0}{99 \dots 9} \)（分母为\( d \)个9）。

（2）混循环小数（小数点后先有非循环部分，再循环）

设混循环小数为\( N = a_0.a_1 \dots a_k \dot{a_{k+1}} \dots \dot{a_{k+d}} \)（非循环部分长度\( k \)，循环节长度\( d \)），步骤：

1. 两边乘\( 10^k \)，得\( 10^k N = a_0 a_1 \dots a_k.\dot{a_{k+1}} \dots \dot{a_{k+d}} \)（记为\( M \)，纯循环小数）；

2. 对\( M \)用纯循环小数化分数方法：\( M = \frac{\overline{a_0 a_1 \dots a_{k+d}} - \overline{a_0 a_1 \dots a_k}}{10^d - 1} \)；

3. 回代得：\( N = \frac{\overline{a_0 a_1 \dots a_{k+d}} - \overline{a_0 a_1 \dots a_k}}{10^k (10^d - 1)} \)（分母为\( k \)个0加\( d \)个9，即\( 10^k \times 99 \dots 9 \)）。

五、连分数（有理数与无理数的统一表示）

连分数是一种“嵌套分数”形式，将数表示为整数部分加分数部分，分数部分的分母再分为整数加分数，依此类推。其核心优势是：有理数的连分数有限，无理数的连分数无限，且二次无理数的连分数是循环连分数。

1. 连分数的定义与表示

（1）有限连分数（对应有理数）

设\( a_0 \)为整数，\( a_1, a_2, \dots, a_n \)为正整数，则有限连分数定义为：

\( [a_0; a_1, a_2, \dots, a_n] = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}} \)

其中\( a_0 \)称为“首项”，\( a_1, \dots, a_n \)称为“部分商”，\( n \)称为连分数的“长度”。

（2）无限连分数（对应无理数）

若部分商\( a_0, a_1, a_2, \dots \)无限延伸（\( a_0 \in \mathbb{Z}, a_k \in \mathbb{N}^* \)），则无限连分数定义为：

\( [a_0; a_1, a_2, \dots] = \lim_{n \to \infty} [a_0; a_1, \dots, a_n] \)

2. 连分数的计算（将数转化为连分数）

（1）有理数转化为有限连分数：欧几里得算法

对有理数\( x = \frac{p}{q} \)（\( q>0 \)），步骤：

1. 计算首项\( a_0 = \lfloor x \rfloor \)（\( x \)的整数部分，即高斯函数值），剩余分数部分\( x_1 = x - a_0 = \frac{p - a_0 q}{q} \)；

2. 若\( x_1 = 0 \)，连分数终止，即\( x = [a_0] \)；

3. 若\( x_1 > 0 \)，取\( x_1 = \frac{1}{x_1'} \)（倒数），计算\( a_1 = \lfloor x_1' \rfloor \)，剩余分数部分\( x_2 = x_1' - a_1 \)；

4. 重复步骤3，直到剩余分数部分为0，得到连分数\( [a_0; a_1, \dots, a_n] \)。

注意：有理数的连分数表示不唯一（如\( [2; 3] = [2; 2, 1] \)），通常取最后一个部分商大于1的形式。

（2）无理数转化为无限连分数：迭代取整法

对无理数\( x \)，步骤与有理数类似，但剩余分数部分永不为0，部分商无限延伸：

1. \( a_0 = \lfloor x \rfloor \)，\( x_1 = x - a_0 \)；

2. \( a_1 = \lfloor 1/x_1 \rfloor \)，\( x_2 = 1/x_1 - a_1 \)；

3. \( a_k = \lfloor 1/x_k \rfloor \)，\( x_{k+1} = 1/x_k - a_k \)（\( k \geq 1 \)）；

最终得到无限连分数\( [a_0; a_1, a_2, \dots] \)。

3. 连分数的渐近分数

连分数的“渐近分数”是通过截断连分数得到的有理数，用于逼近原数（精度随截断长度增加而提高）。对连分数\( [a_0; a_1, \dots, a_n, \dots] \)，其第\( k \)个渐近分数\( \frac{h_k}{k_k} \)（\( h_k, k_k \)为正整数，\( \gcd(h_k, k_k)=1 \)）按以下递推公式计算：

初始项：\( h_{-1}=1, h_0=a_0 \)；\( k_{-1}=0, k_0=1 \)；

递推公式：\( h_k = a_k h_{k-1} + h_{k-2} \)，\( k_k = a_k k_{k-1} + k_{k-2} \)（\( k \geq 1 \)）。

核心性质：渐近分数是原数的“最佳逼近”——即对任意\( m < k_k \)，不存在有理数\( \frac{m}{n} \)使得\( \left| x - \frac{m}{n} \right| < \left| x - \frac{h_k}{k_k} \right| \)。

六、二次无理数与循环连分数

二次无理数是“满足整系数二次方程但非有理数的实数”（如\( \sqrt{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)），其连分数具有循环性，这是二次无理数的核心特征（拉格朗日定理）。

1. 二次无理数的定义

若实数\( \alpha \)满足方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)（\( a,b,c \in \mathbb{Z}, a \neq 0 \)）且\( \alpha \notin \mathbb{Q} \)，则称\( \alpha \)为二次无理数。二次无理数可统一表示为：

\( \alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{Q} \)

其中\( P, Q, D \)为整数，\( D > 0 \)且非完全平方数，\( Q \mid (D - P^2) \)（称为“标准形式”）。

2. 拉格朗日定理（循环连分数的核心定理）

正实数\( \alpha \)的连分数是循环连分数（即部分商从某一项开始周期性重复）的充要条件是：\( \alpha \)是二次无理数。

循环连分数的表示

对循环连分数，记其非循环部分长度为\( l \)，循环节长度为\( m \)，表示为：

\( [a_0; a_1, \dots, a_{l-1}, \overline{a_l, \dots, a_{l+m-1}}] \)

其中\( \overline{a_l, \dots, a_{l+m-1}} \)表示循环节。若\( l=0 \)（无中生有，实际\( l \)为非负整数，\( l=0 \)表示从首项开始循环），则称为“纯循环连分数”。

纯循环连分数的特殊性质（伽罗瓦定理）

连分数\( [\overline{a_0; a_1, \dots, a_{m-1}}] \)是纯循环连分数的充要条件是：其共轭数\( \alpha' \)满足\( -1 < \alpha' < 0 \)（共轭数即二次方程的另一个根，如\( \alpha = \frac{P+\sqrt{D}}{Q} \)的共轭数为\( \alpha' = \frac{P-\sqrt{D}}{Q} \)）。

（一）进位制转化（例题1-5）

例题1：将二进制数\( (110101)_2 \)转化为十进制数

解：按权展开，基数\( b=2 \)：

\( (110101)_2 = 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)

计算各项：\( 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53 \)，故结果为\( 53_{10} \)。

例题2：将十进制数\( 78_{10} \)转化为二进制数

解：整数部分用“除2取余法”：

78 ÷ 2 = 39 余 0（最低位）；

39 ÷ 2 = 19 余 1；

19 ÷ 2 = 9 余 1；

9 ÷ 2 = 4 余 1；

4 ÷ 2 = 2 余 0；

2 ÷ 2 = 1 余 0；

1 ÷ 2 = 0 余 1（最高位）；

从余数倒序排列：\( (1001110)_2 \)，验证：\( 64 + 8 + 4 + 2 = 78 \)，正确。

例题3：将十进制小数\( 0.625_{10} \)转化为二进制小数

解：小数部分用“乘2取整法”：

0.625 × 2 = 1.25，整数部分1（最高位），小数部分0.25；

0.25 × 2 = 0.5，整数部分0，小数部分0.5；

0.5 × 2 = 1.0，整数部分1（最低位），小数部分0（终止）；

从整数部分顺序排列：\( (0.101)_2 \)，验证：\( 1×2^{-1} + 0×2^{-2} + 1×2^{-3} = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625 \)，正确。

例题4：将十六进制数\( (A3F)_{16} \)转化为十进制数

解：十六进制数码\( A=10, F=15 \)，按权展开（基数16）：

\( (A3F)_{16} = 10 × 16^2 + 3 × 16^1 + 15 × 16^0 = 10×256 + 3×16 + 15 = 2560 + 48 + 15 = 2623 \)

故结果为\( 2623_{10} \)。

例题5：将十进制数\( 123_{10} \)转化为八进制数

解：除8取余法：

123 ÷ 8 = 15 余 3；

15 ÷ 8 = 1 余 7；

1 ÷ 8 = 0 余 1；

余数倒序：\( (173)_8 \)，验证：\( 1×64 + 7×8 + 3 = 64 + 56 + 3 = 123 \)，正确。

（二）分数与小数互化（例题6-10）

例题6：将分数\( \frac{3}{8} \)化为小数

解：分母\( 8 = 2^3 \)（仅含素因数2），满足有限小数条件：

通分分母为\( 10^3 = 1000 \)：\( \frac{3}{8} = \frac{3×125}{8×125} = \frac{375}{1000} = 0.375 \)，结果为有限小数0.375。

例题7：将分数\( \frac{5}{12} \)化为小数

解：分母\( 12 = 2^2 × 3 \)（含素因数3，\( \gcd(3,10)=1 \)），为混循环小数：

非循环部分位数\( k = \max(2,0) = 2 \)；

循环节长度\( d \)：找最小\( d \)使\( 10^d ≡1 mod3 \)，\( d=1 \)（\( 10^1=10≡1 mod3 \)）；

用除法验证：5 ÷ 12 = 0.41666…，即\( 0.41\dot{6} \)，非循环部分2位（41），循环节1位（6），正确。

例题8：将有限小数0.45化为分数

解：0.45是两位有限小数，乘\( 10^2=100 \)：

\( 0.45 = \frac{45}{100} \)，约去\( \gcd(45,100)=5 \)，得\( \frac{9}{20} \)，验证：9 ÷ 20 = 0.45，正确。

例题9：将纯循环小数\( 0.\dot{3}\dot{6} \)化为分数

解：循环节长度\( d=2 \)，设\( x = 0.\dot{3}\dot{6} \)：

乘\( 10^2=100 \)：\( 100x = 36.\dot{3}\dot{6} \)；

两式相减：\( 100x - x = 36 \implies 99x = 36 \implies x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} \)；

验证：4 ÷ 11 = 0.\dot{3}\dot{6}，正确。

例题10：将混循环小数\( 1.25\dot{4} \)化为分数

解：非循环部分\( k=2 \)，循环节长度\( d=1 \)，设\( x = 1.25\dot{4} \)：

乘\( 10^2=100 \)：\( 100x = 125.\dot{4} \)（记为\( y \)）；

对\( y=125.\dot{4} \)，乘\( 10^1=10 \)：\( 10y = 1254.\dot{4} \)；

相减得\( 9y = 1254 - 125 = 1129 \implies y = \frac{1129}{9} \)；

回代\( x = \frac{y}{100} = \frac{1129}{900} \)，验证：1129 ÷ 900 ≈ 1.25444… = 1.25\dot{4}，正确。

（三）连分数（例题11-15）

例题11：将有理数\( \frac{19}{7} \)化为连分数

解：用欧几里得算法，迭代取整：

\( x_0 = \frac{19}{7} \)，\( a_0 = \lfloor \frac{19}{7} \rfloor = 2 \)，剩余\( x_1 = \frac{19}{7} - 2 = \frac{5}{7} \)；

\( x_1 = \frac{5}{7} \)，取倒数\( \frac{7}{5} \)，\( a_1 = \lfloor \frac{7}{5} \rfloor = 1 \)，剩余\( x_2 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5} \)；

\( x_2 = \frac{2}{5} \)，取倒数\( \frac{5}{2} \)，\( a_2 = \lfloor \frac{5}{2} \rfloor = 2 \)，剩余\( x_3 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2} \)；

\( x_3 = \frac{1}{2} \)，取倒数\( 2 \)，\( a_3 = \lfloor 2 \rfloor = 2 \)，剩余\( x_4 = 2 - 2 = 0 \)（终止）；

故连分数为\( [2; 1, 2, 2] \)，验证：\( 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{5}} = 2 + \frac{5}{7} = \frac{19}{7} \)，正确。

例题12：计算连分数\( [3; 2, 1] \)的值

解：从最内层向外计算：

\( [3; 2, 1] = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1}} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.333 \)

结果为有理数\( \frac{10}{3} \)。

例题13：求连分数\( [2; 3, 1] \)的渐近分数

解：用递推公式计算\( h_k, k_k \)：

初始项：\( h_{-1}=1, h_0=2 \)；\( k_{-1}=0, k_0=1 \)；

第1个渐近分数（\( k=1 \)，\( a_1=3 \)）：\( h_1 = 3h_0 + h_{-1} = 3×2 + 1 = 7 \)，\( k_1 = 3k_0 + k_{-1} = 3×1 + 0 = 3 \)，即\( \frac{7}{3} \)；

第2个渐近分数（\( k=2 \)，\( a_2=1 \)）：\( h_2 = 1h_1 + h_0 = 1×7 + 2 = 9 \)，\( k_2 = 1k_1 + k_0 = 1×3 + 1 = 4 \)，即\( \frac{9}{4} \)；

连分数值为\( [2;3,1] = \frac{9}{4} \)，渐近分数依次为\( \frac{2}{1}, \frac{7}{3}, \frac{9}{4} \)。

例题14：将无理数\( \sqrt{2} \)化为连分数

解：迭代取整（\( \sqrt{2} ≈ 1.4142 \)）：

\( x_0 = \sqrt{2} \)，\( a_0 = \lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1 \)，剩余\( x_1 = \sqrt{2} - 1 ≈ 0.4142 \)；

\( x_1 ≈ 0.4142 \)，取倒数\( 1/x_1 ≈ 2.4142 \)，\( a_1 = \lfloor 2.4142 \rfloor = 2 \)，剩余\( x_2 = 2.4142 - 2 = 0.4142 = x_1 \)；

后续\( x_3 = x_1, x_4 = x_1, \dots \)，部分商\( a_2 = a_3 = \dots = 2 \)；

故\( \sqrt{2} \)的连分数为无限循环连分数\( [1; \overline{2}] \)（循环节长度1）。

例题15：计算连分数\( [1; \overline{2}] \)的第3个渐近分数，并逼近\( \sqrt{2} \)

解：连分数\( [1; 2, 2, 2, \dots] \)，计算前3个渐近分数：

初始项：\( h_{-1}=1, h_0=1 \)；\( k_{-1}=0, k_0=1 \)；

\( k=1 \)（\( a_1=2 \)）：\( h_1=2×1 + 1=3 \)，\( k_1=2×1 + 0=2 \)，渐近分数\( \frac{3}{2}=1.5 \)（误差\( |\sqrt{2}-1.5|≈0.0858 \)）；

\( k=2 \)（\( a_2=2 \)）：\( h_2=2×3 + 1=7 \)，\( k_2=2×2 + 1=5 \)，渐近分数\( \frac{7}{5}=1.4 \)（误差\( |\sqrt{2}-1.4|≈0.0142 \)）；

\( k=3 \)（\( a_3=2 \)）：\( h_3=2×7 + 3=17 \)，\( k_3=2×5 + 2=12 \)，渐近分数\( \frac{17}{12}≈1.4167 \)（误差\( |\sqrt{2}-1.4167|≈0.0025 \)）；

可见渐近分数对\( \sqrt{2} \)的逼近精度逐渐提高。

（四）二次无理数与循环连分数（例题16-20）

例题16：判断\( \frac{2 + \sqrt{5}}{3} \)是否为二次无理数

解：验证是否满足整系数二次方程：

设\( \alpha = \frac{2 + \sqrt{5}}{3} \)，整理得\( 3\alpha - 2 = \sqrt{5} \)，两边平方：

\( 9\alpha^2 - 12\alpha + 4 = 5 \implies 9\alpha^2 - 12\alpha - 1 = 0 \)，该方程为整系数二次方程，且\( \alpha \notin \mathbb{Q} \)（\( \sqrt{5} \)是无理数），故\( \alpha \)是二次无理数。

例题17：将二次无理数\( \frac{1 + \sqrt{6}}{2} \)化为连分数

解：按标准形式\( \alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{Q} \)（\( P=1, D=6, Q=2 \)），迭代取整：

\( x_0 = \frac{1 + \sqrt{6}}{2} ≈ \frac{1 + 2.449}{2} ≈ 1.724 \)，\( a_0 = \lfloor 1.724 \rfloor = 1 \)，剩余\( x_1 = x_0 - 1 = \frac{\sqrt{6} - 1}{2} ≈ 0.724 \)；

\( 1/x_1 ≈ \frac{2}{\sqrt{6} - 1} = \frac{2(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)} = \frac{2\sqrt{6} + 2}{5} ≈ 1.399 \)，\( a_1 = \lfloor 1.399 \rfloor = 1 \)，剩余\( x_2 = 1/x_1 - 1 = \frac{2\sqrt{6} + 2}{5} - 1 = \frac{2\sqrt{6} - 3}{5} ≈ 0.399 \)；

\( 1/x_2 ≈ \frac{5}{2\sqrt{6} - 3} = \frac{5(2\sqrt{6} + 3)}{(2\sqrt{6}-3)(2\sqrt{6}+3)} = \frac{10\sqrt{6} + 15}{15} = \frac{2\sqrt{6} + 3}{3} ≈ 2.799 \)，\( a_2 = \lfloor 2.799 \rfloor = 2 \)，剩余\( x_3 = 1/x_2 - 2 = \frac{2\sqrt{6} + 3}{3} - 2 = \frac{2\sqrt{6} - 3}{3} ≈ 0.799 \)；

\( 1/x_3 ≈ \frac{3}{2\sqrt{6} - 3} = \frac{3(2\sqrt{6} + 3)}{15} = \frac{2\sqrt{6} + 3}{5} ≈ 1.599 \)，\( a_3 = \lfloor 1.599 \rfloor = 1 \)，剩余\( x_4 = 1/x_3 - 1 = \frac{2\sqrt{6} + 3}{5} - 1 = \frac{2\sqrt{6} - 2}{5} ≈ 0.599 \)；

\( 1/x_4 ≈ \frac{5}{2\sqrt{6} - 2} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{(2\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+1)/2} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{10} = \frac{\sqrt{6} + 1}{2} ≈ 1.724 = x_0 \)，部分商开始循环；

故连分数为\( [1; \overline{1, 2, 1, 2}] \)（循环节长度4），符合二次无理数的循环连分数特征。

例题18：证明纯循环连分数\( [\overline{2; 3}] \)的共轭数满足\( -1 < \alpha' < 0 \)

解：设\( \alpha = [\overline{2; 3}] \)，纯循环连分数满足\( \alpha = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{α}} \)（循环节重复）：

整理方程：\( α = 2 + \frac{α}{3α + 1} \implies α(3α + 1) = 2(3α + 1) + α \implies 3α^2 + α = 6α + 2 + α \implies 3α^2 - 6α - 2 = 0 \)；

求共轭数：二次方程的两根为\( α = \frac{6 + \sqrt{36 + 24}}{6} = \frac{3 + \sqrt{15}}{3} ≈ 2.291 \)，\( α' = \frac{3 - \sqrt{15}}{3} ≈ \frac{3 - 3.872}{3} ≈ -0.291 \)；

验证：\( -1 < -0.291 < 0 \)，满足伽罗瓦定理条件，正确。

例题19：利用连分数\( \sqrt{3} = [1; \overline{1, 2}] \)的渐近分数逼近\( \sqrt{3} \)（计算前4个渐近分数）

解：连分数\( [1; 1, 2, 1, 2, \dots] \)，递推计算渐近分数：

初始项：\( h_{-1}=1, h_0=1 \)；\( k_{-1}=0, k_0=1 \)；

\( k=1 \)（\( a_1=1 \)）：\( h_1=1×1 + 1=2 \)，\( k_1=1×1 + 0=1 \)，\( \frac{2}{1}=2 \)（误差\( |\sqrt{3}-2|≈0.2679 \)）；

\( k=2 \)（\( a_2=2 \)）：\( h_2=2×2 + 1=5 \)，\( k_2=2×1 + 1=3 \)，\( \frac{5}{3}≈1.6667 \)（误差\( |\sqrt{3}-1.6667|≈0.0347 \)）；

\( k=3 \)（\( a_3=1 \)）：\( h_3=1×5 + 2=7 \)，\( k_3=1×3 + 1=4 \)，\( \frac{7}{4}=1.75 \)（误差\( |\sqrt{3}-1.75|≈0.0121 \)）；

\( k=4 \)（\( a_4=2 \)）：\( h_4=2×7 + 5=19 \)，\( k_4=2×4 + 3=11 \)，\( \frac{19}{11}≈1.7273 \)（误差\( |\sqrt{3}-1.7273|≈0.0004 \)）；

第4个渐近分数\( \frac{19}{11} \)对\( \sqrt{3} \)的逼近精度已很高（\( \sqrt{3}≈1.73205 \)）。

例题20：将循环连分数\( [2; \overline{3, 1}] \)化为二次无理数

解：设\( α = [2; \overline{3, 1}] = 2 + \frac{1}{[3; 1, \overline{3, 1}]} \)，令\( β = [3; 1, \overline{3, 1}] \)（循环部分），则\( β = 3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{β}} \)：

先解\( β \)的方程：\( β = 3 + \frac{β}{β + 1} \implies β(β + 1) = 3(β + 1) + β \implies β^2 + β = 3β + 3 + β \implies β^2 - 3β - 3 = 0 \)；

因\( β > 0 \)，取正根：\( β = \frac{3 + \sqrt{9 + 12}}{2} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \)；

回代\( α = 2 + \frac{1}{β} = 2 + \frac{2}{3 + \sqrt{21}} = 2 + \frac{2(3 - \sqrt{21})}{(3 + \sqrt{21})(3 - \sqrt{21})} = 2 + \frac{6 - 2\sqrt{21}}{9 - 21} = 2 + \frac{6 - 2\sqrt{21}}{-12} \)；

化简：\( 2 - \frac{6 - 2\sqrt{21}}{12} = 2 - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} = \frac{12 - 3 + \sqrt{21}}{6} = \frac{9 + \sqrt{21}}{6} \)；

验证：\( \frac{9 + \sqrt{21}}{6} ≈ \frac{9 + 4.583}{6} ≈ 2.2638 \)，而连分数\( [2; 3, 1, 3, 1, \dots] ≈ 2 + 1/(3 + 1/(1 + 1/(3 + 1/(1 + ...)))) ≈ 2.2638 \)，正确。