图形的轴对称、平移、旋转、中心对称

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图形的变换是平面几何中研究图形位置、形状和大小关系的核心内容，其中轴对称、平移、旋转、中心对称均属于“合同变换”（或称“全等变换”），即变换前后图形的形状和大小保持不变，仅位置发生改变。

一、轴对称（反射变换）

轴对称是图形关于某条直线形成“镜像”的变换，核心是“直线为对称轴，对应点到对称轴距离相等”。

（一）概念

如果一个图形沿某一条直线折叠后，能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称（简称“轴对称”），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（或“对称点”）。

若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形（如等腰三角形、矩形、圆）——注意“轴对称”是“两个图形的关系”，“轴对称图形”是“一个图形的性质”，二者本质均围绕“对称轴”的反射关系。

（二）性质

1. 对应点的性质：对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。即任意一组对应点（如点A与点A'），对称轴l垂直于AA'，且l平分AA'（即AA'的中点在l上）。

2. 对应线段与对应角的性质：变换前后的对应线段相等、对应角相等（因属于全等变换，形状和大小不变）。例如△ABC与△A'B'C'关于l对称，则AB=A'B'、∠A=∠A'。

3. 对称轴的“不变性”：若图形上某点在对称轴上，则该点的对应点是其本身（称为“不动点”）。例如等腰三角形的顶点在对称轴（底边的高）上，顶点的对应点就是自身。

4. 图形的“对称性”：轴对称图形的对称轴两侧，所有对应线段、对应角均对称分布，且图形的周长、面积与原图形相等。

（三）作图步骤（作一个图形关于某直线的对称图形）

以“作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'”为例：

1. 找对应点：过点A作直线l的垂线，垂足为O，延长AO至A'，使OA'=OA，得到点A的对称点A'；同理，分别作出点B、C的对称点B'、C'（若点在l上，直接取自身为对称点）。

2. 连对应点：顺次连接A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为△ABC关于l的对称图形。

（四）典型示例

等腰三角形：底边的高（或底边的中线、顶角的平分线）是对称轴，两腰关于对称轴对称，两底角相等。

矩形：有2条对称轴（过对边中点的直线），对边关于对称轴对称，对角线关于对称轴对称。

圆：有无数条对称轴（过圆心的任意直线），任意一条直径所在直线都是对称轴。

二、平移（平移变换）

平移是图形沿某一方向“平行移动”的变换，核心是“方向固定、距离相等”，变换后图形与原图形“同向、全等”。

（一）概念

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做平移。其中，“某个方向”称为平移方向（通常用射线表示），“一定的距离”称为平移距离（对应点连线的长度）。

平移的本质是“图形中所有点沿同一方向移动相同距离”，不存在旋转或翻转。

（二）性质

1. 对应点的性质：任意一组对应点（如点P与点P'）的连线平行且相等，且连线方向与平移方向一致、长度等于平移距离。例如△ABC平移至△A'B'C'，则AA'∥BB'∥CC'，且AA'=BB'=CC'=平移距离。

2. 对应线段与对应角的性质：对应线段平行且相等，对应角相等。例如AB∥A'B'且AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'。

3. 图形的“同向性”：平移前后图形的“朝向”不变（即图形的旋转角度为0°）。例如字母“F”平移后，仍保持原有的上下、左右朝向，不会颠倒或翻转。

4. 周长与面积不变：因属于全等变换，平移后图形的周长、面积与原图形完全相等。

（三）作图步骤（作一个图形沿某方向的平移图形）

以“将△ABC沿射线OM方向平移5cm，得到△A'B'C'”为例：

1. 定方向与距离：明确平移方向为射线OM，平移距离为5cm。

2. 作对应点：过点A作射线AA'∥OM，在AA'上截取AA'=5cm，得到A的对应点A'；同理，分别作出B、C的对应点B'、C'。

3. 连对应点：顺次连接A'、B'、C'，得到平移后的△A'B'C'。

（四）典型示例

电梯上下运行：电梯的每个点沿竖直方向平移，平移方向为竖直方向，平移距离为楼层高度差。

传送带上的物体：物体的每个点沿传送带运动方向平移，对应点连线平行且相等，物体形状、大小不变。

平行四边形的形成：将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DC，连接BC即形成平行四边形ABCD（因AB∥DC且AB=DC）。

三、旋转（旋转变换）

旋转是图形绕某一固定点“圆周转动”的变换，核心是“固定旋转中心、旋转方向和旋转角度”，变换后图形与原图形“绕中心对称”。

（一）概念

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转。其中，“定点”称为旋转中心，“某个方向”分为顺时针和逆时针（未说明时默认逆时针），“一个角度”称为旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角）。

若旋转角为180°，则旋转可视为“中心对称”的特殊情况（后续会详细说明二者关系）。

（二）性质

1. 对应点的性质：任意一组对应点（如点Q与点Q'）到旋转中心O的距离相等（即OQ=OQ'，对应点在以旋转中心为圆心的同一圆上）；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角（即∠QOQ'=旋转角）。

2. 对应线段与对应角的性质：对应线段相等、对应角相等（全等变换的核心性质）。例如△DEF绕O旋转至△D'E'F'，则DE=D'E'、∠EDF=∠E'D'F'。

3. 旋转中心的“不动性”：旋转中心O的对应点是其本身（唯一不动点），图形上其他点均绕O转动。

4. 图形的“全等性”：旋转前后图形的形状、大小不变，周长、面积与原图形相等；但图形的朝向可能改变（如旋转角≠360°时，“F”旋转后朝向会变化）。

（三）作图步骤（作一个图形绕某点的旋转图形）

以“将△DEF绕点O逆时针旋转90°，得到△D'E'F'”为例：

1. 连中心与顶点：连接OD、OE、OF（将图形的关键点与旋转中心相连）。

2. 作旋转角与对应点：以OD为一边，按逆时针方向作∠DO D'=90°，在射线OD'上截取OD'=OD，得到D的对应点D'；同理，分别作出E、F的对应点E'、F'。

3. 连对应点：顺次连接D'、E'、F'，得到旋转后的△D'E'F'。

（四）典型示例

钟表指针的转动：指针绕钟表中心（旋转中心）顺时针旋转，旋转角=6°/分钟（因分针每分钟转360°/60=6°），指针长度（对应点到中心的距离）不变。

正三角形的旋转对称：正三角形绕其中心旋转120°（360°/3）后，能与自身重合，旋转角为120°、240°、360°时均满足“旋转重合”。

风车的转动：风车叶片绕中心旋转，每个叶片的对应点到中心距离相等，旋转角随转动速度变化，叶片形状、大小不变。

四、中心对称（中心反射变换）

中心对称是图形绕某一固定点“旋转180°后重合”的变换，核心是“对称中心，对应点连线过中心且被中心平分”，可视为“旋转角为180°的特殊旋转”。

（一）概念

如果一个图形绕某一个定点旋转180°后，能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称（简称“中心对称”），这个定点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点。

若一个图形绕某点旋转180°后，能与自身完全重合，则这个图形叫做中心对称图形（如平行四边形、矩形、圆）——与轴对称类似，“中心对称”是“两个图形的关系”，“中心对称图形”是“一个图形的性质”。

（二）性质

1. 对应点的性质：对称中心是对应点所连线段的中点。即任意一组对应点（如点M与点M'），M、O、M'三点共线（O为对称中心），且OM=OM'（O平分MM'）。

2. 对应线段与对应角的性质：对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等（全等变换性质）。例如四边形ABCD与A'B'C'D'关于O中心对称，则AB∥A'B'且AB=A'B'，∠A=∠A'。

3. 对称中心的“不动性”：若图形上某点在对称中心O上，则该点的对应点是其本身（不动点）。

4. 与旋转的关联性：中心对称是“旋转角为180°的旋转”，因此旋转的所有性质（如对应线段相等、面积不变）均适用于中心对称，但中心对称额外要求“旋转角固定为180°”。

（三）作图步骤（作一个图形关于某点的中心对称图形）

以“作四边形ABCD关于点O的中心对称图形A'B'C'D'”为例：

1. 连中心与顶点：连接OA、OB、OC、OD（将关键点与对称中心相连）。

2. 作对应点：延长OA至A'，使OA'=OA，得到A的对应点A'（因旋转180°，延长线方向即为对应点方向）；同理，分别作出B、C、D的对应点B'、C'、D'。

3. 连对应点：顺次连接A'、B'、C'、D'，得到中心对称图形A'B'C'D'。

（四）典型示例

平行四边形：对角线的交点是对称中心，绕该点旋转180°后，对边重合、对角重合，因此平行四边形是中心对称图形（但非轴对称图形，除非是矩形、菱形等特殊平行四边形）。

圆：圆心是对称中心，绕圆心旋转180°后与自身重合，同时圆也是轴对称图形（无数条对称轴）。

扑克牌中的“方块”图案：图案绕中心旋转180°后，花色、形状完全重合，属于中心对称图形。

五、四种变换的核心区别与关联

（一）核心区别

1. 变换依据不同：

轴对称：依据“直线（对称轴）”，变换方式是“反射（折叠）”；

平移：依据“方向+距离”，变换方式是“平行移动”；

旋转：依据“旋转中心+方向+角度”，变换方式是“圆周转动”；

中心对称：依据“点（对称中心）”，变换方式是“旋转180°”。

2. 对应点关系不同：

轴对称：对应点连线被对称轴垂直平分；

平移：对应点连线平行且相等；

旋转：对应点连线到旋转中心距离相等，夹角为旋转角；

中心对称：对应点连线过对称中心，且被中心平分。

3. 图形朝向不同：

平移、中心对称（旋转180°）：平移后图形朝向不变，中心对称后图形朝向颠倒（如“b”中心对称后为“d”）；

轴对称：图形朝向可能颠倒（如“b”关于竖直轴对称后为“d”）；

旋转（非180°、360°）：图形朝向随旋转角变化（如“b”逆时针旋转90°后为“p”）。

（二）核心关联

1. 均为全等变换：四种变换前后，图形的形状、大小不变，仅位置改变，因此对应线段、对应角均相等，周长、面积均不变。

2. 特殊包含关系：

中心对称是“旋转角为180°的旋转”，属于旋转的特殊情况；

部分图形同时满足多种变换性质（如正方形：是轴对称图形（4条对称轴）、中心对称图形（对称中心为对角线交点），也可通过平移、旋转与自身重合）。

3. 变换的组合性：复杂图形的变换可由多种基本变换组合而成（如“先平移再旋转”“先轴对称再中心对称”），最终仍为全等变换。

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