平面向量 06 向量减法、相反向量

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相反向量：

定义与基本性质

相反向量的定义：长度相等且方向相反的向量互为相反向量。

若向量\(\vec{a}\)的相反向量为\(\vec{b}\)，则\(\vec{a}=-\vec{b}\)，\(\vec{b}=-\vec{a}\)，且\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\).

零向量的相反向量：零向量的相反向量仍是零向量.

几何性质

平行关系：互为相反向量的两个向量一定平行，即若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)互为相反向量，则\(\vec{a}\parallel\vec{b}\).

模长关系：互为相反向量的两个向量模长相等，即若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)互为相反向量，则\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert\).

运算性质

向量加法：一个向量与其相反向量相加等于零向量，即\(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\).

向量减法：向量减法可以转化为加法运算，即\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\).

数乘向量：若\(\vec{a}\)的相反向量为\(-\vec{a}\)，则\(k\vec{a}\)的相反向量为\(-k\vec{a}\)，其中\(k\)为实数。

坐标表示

若向量\(\vec{a}=(x,y)\)，则其相反向量\(-\vec{a}=(-x,-y)\).

数量积性质

两个相反向量的数量积等于它们模长的平方的相反数。

即若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)互为相反向量，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\vert\vec{a}\vert^{2}=-\vert\vec{b}\vert^{2}\) ，因为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos180^{\circ}=-\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\)，又\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\vert\vec{a}\vert^{2}=-\vert\vec{b}\vert^{2}\).

向量减法

1. 向量减法的定义

向量减法是向量加法的逆运算。

对于两个向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，向量\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)定义为\(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\)，其中\(-\overrightarrow{b}\)是\(\overrightarrow{b}\)的相反向量，即与\(\overrightarrow{b}\)长度相等但方向相反的向量。

2. 向量减法的几何意义

三角形法则：

设向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)有相同的起点\(O\)，则\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)的结果是从\(\overrightarrow{b}\)的终点指向\(\overrightarrow{a}\)的终点的向量。

例如，\(\overrightarrow{a}\)表示从点\(O\)到点\(A\)的向量，\(\overrightarrow{b}\)表示从点\(O\)到点\(B\)的向量，那么

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)就是从点\(B\)到点\(A\)的向量\(\overrightarrow{BA}\)。

举例：在平面直角坐标系中，\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，\(-\overrightarrow{b}=(-1,-2)\)，

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})=(3 - 1,4 - 2)=(2,2)\)。

从几何上看，若把\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)的起点都放在原点，\(\overrightarrow{a}\)的终点是\((3,4)\)，\(\overrightarrow{b}\)的终点是\((1,2)\)，

那么\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)对应的向量就是从\((1,2)\)指向\((3,4)\)的向量。

3. 向量减法的运算律

结合律：

对于向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)和\(\overrightarrow{c}\)，\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。

证明：设\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)，\(\overrightarrow{c}=(x_{3},y_{3})\)。

左边\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})-\overrightarrow{c}\)

\(=((x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})-(x_{3},y_{3}))=(x_{1}-x_{2}-x_{3},y_{1}-y_{2}-y_{3})\)。

右边\(\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)

\(=(x_{1},y_{1})-((x_{2}+x_{3},y_{2}+y_{3}))\)

\(=(x_{1}-(x_{2}+x_{3}),y_{1}-(y_{2}+y_{3}))\)

\(=(x_{1}-x_{2}-x_{3},y_{1}-y_{2}-y_{3})\)。

所以左边等于右边，结合律成立。

与加法的关系运算律：

\(\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)。

证明：设\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)，\(\overrightarrow{c}=(x_{3},y_{3})\)。

左边\(\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\)

\(=(x_{1},y_{1})-((x_{2}-x_{3},y_{2}-y_{3}))\)

\(=(x_{1}-(x_{2}-x_{3}),y_{1}-(y_{2}-y_{3}))\)

\(=(x_{1}-x_{2}+x_{3},y_{1}-y_{2}+y_{3})\)。

右边\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

\(=((x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})+(x_{3},y_{3}))\)

\(=(x_{1}-x_{2}+x_{3},y_{1}-y_{2}+y_{3})\)。

所以左边等于右边，该运算律成立。

4. 向量减法在实际问题中的应用

物理应用 - 速度和位移的相对变化：

例如，在一条河流中，船相对于水的速度为\(\overrightarrow{v}_{船对水}\)，水的流速为\(\overrightarrow{v}_{水}\)，那么船相对于岸的速度

\(\overrightarrow{v}_{船对岸}=\overrightarrow{v}_{船对水}-\overrightarrow{v}_{水}\)。

从几何角度理解，如果把\(\overrightarrow{v}_{船对水}\)和\(\overrightarrow{v}_{水}\)的起点放在同一点，\(\overrightarrow{v}_{船对岸}\)就是从\(\overrightarrow{v}_{水}\)的终点指向\(\overrightarrow{v}_{船对水}\)的终点的向量。

在位移方面，若一个物体先有位移\(\overrightarrow{s}_{1}\)，然后反向位移\(\overrightarrow{s}_{2}\)，那么物体的实际位移就是\(\overrightarrow{s}_{1}-\overrightarrow{s}_{2}\)，这可以帮助我们分析物体最终的位置变化。