初中数学 05 整式：乘法公式
1. 平方差公式
公式内容：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。
根据多项式乘法法则，将\((a + b)(a - b)\)展开，得到\(a\times a - a\times b + a\times b - b\times b\)。
式子中\(-ab\)和\(ab\)相互抵消，最终结果为\(a^2 - b^2\)。
计算\((3x + 2y)(3x - 2y)\)。
在这里，\(a = 3x\)，\(b = 2y\)，根据平方差公式可得：\((3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)。
用于简便计算，如计算\(99\times101\)。
可将其转化为\((100 - 1)(100 + 1)\)，此时\(a = 100\)，\(b = 1\)，根据公式得到\(100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999\)。
2. 完全平方公式
公式内容：
\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。
\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
推导过程（以\((a + b)^2\)为例）：
根据多项式乘法法则，\((a + b)^2=(a + b)(a + b)=a\times a + a\times b + a\times b + b\times b=a^2 + 2ab + b^2\)。
计算\((2x + 3y)^2\)。
这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据公式\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)可得：\((2x)^2 + 2\times(2x)\times(3y)+(3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2\)。
用于因式分解，如\(x^2 + 6x + 9\)。
可以发现它符合\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)的形式，其中\(a = x\)，\(b = 3\)，所以\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。
3. 立方和与立方差公式
公式内容：
立方和公式：\((a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3\)。
立方差公式：\((a - b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3\)。
推导过程（以立方和公式为例）：
根据多项式乘法法则展开\((a + b)(a^2 - ab + b^2)\)，得到\(a\times a^2 - a\times ab + a\times b^2 + b\times a^2 - b\times ab + b\times b^2\)。
整理可得\(a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3\)，中间项相互抵消后，结果为\(a^3 + b^3\)。
计算\((x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)。
这里\(a = x\)，\(b = 2\)，根据立方和公式可得：\(x^3 + 2^3 = x^3 + 8\)。
用于化简式子，如\(8x^3 + 27\)。
可以写成\((2x)^3 + 3^3\)，根据立方和公式，进一步变形为\((2x + 3)((2x)^2 - 2x\times3 + 3^2)=(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)\)。
4. 完全立方公式
公式内容：
\((a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。
\((a - b)^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)。
推导过程（以\((a + b)^3\)为例）：
\((a + b)^3=(a + b)(a + b)(a + b)\)，先计算\((a + b)(a + b)=a^2 + 2ab + b^2\)，然后再乘以\((a + b)\)，即\((a^2 + 2ab + b^2)(a + b)\)。
根据多项式乘法法则展开得到\(a^3 + 2a^2b + a b^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\)，整理后为\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。
计算\((3x + 1)^3\)。
这里\(a = 3x\)，\(b = 1\)，根据公式可得：\((3x)^3 + 3\times(3x)^2\times1 + 3\times(3x)\times1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1\)。
在解方程中有应用，如\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\)。
可发现左边式子符合\((a - b)^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)的形式，其中\(a = x\)，\(b = 1\)，即\((x - 1)^3 = 0\)，解得\(x = 1\)。
