初中数学 02 平方根
一、平方根的定义
平方根，又叫二次方根。如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的平方根。
例如，因为\((±2)^{2} = 4\)，所以\(±2\)是\(4\)的平方根。
二、平方根的表示方法
一个正数\(a\)的平方根用符号“\(\pm\sqrt{a}\)”表示，读作“正负根号\(a\)”。
其中\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的正平方根（也叫算术平方根），\(-\sqrt{a}\)表示\(a\)的负平方根。
例如，\(9\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{9}=\pm3\)。
三、平方根的性质
正数有两个平方根，它们互为相反数。例如\(16\)的平方根是\(\pm4\)，\(4\)和\(-4\)互为相反数。
零的平方根是零。因为\(0^{2}=0\)，所以\(0\)的平方根只有一个，就是它本身\(0\)。
负数没有平方根。
因为任何实数的平方都是非负数，所以在实数范围内，负数不能开平方。
例如，在实数范围内\(-4\)没有平方根。
四、求平方根的方法
对于一些完全平方数，可以通过记忆平方数来求平方根。
例如，要找\(25\)的平方根，因为\(5^{2}=25\)，\(( - 5)^{2}=25\)，所以\(25\)的平方根是\(\pm5\)。
对于非完全平方数，可以使用计算器等工具来近似计算平方根。
例如，求\(7\)的平方根，\(\sqrt{7}\approx2.646\)（精确到三位小数），它还有一个负平方根\(-\sqrt{7}\approx - 2.646\)。
五、平方根在实际生活中的应用
1. 建筑施工
在建造正方形或长方形的建筑物基础时，若已知面积求边长需要用到平方根。
例如，一个正方形仓库地面面积是400平方米，设边长为\(x\)米，由\(x^{2}=400\)，可得\(x = \pm\sqrt{400}=\pm20\)，边长不能为负，所以边长是20米。
计算建筑材料的对角线长度。
比如一块正方形地砖边长为0.5米，其对角线长度\(d\)满足\(d^{2}=0.5^{2}+0.5^{2}\)，则\(d=\sqrt{0.5^{2}\times2}=\sqrt{0.5}\approx0.707\)米，这在铺设地砖规划图案等情况时很有用。
2. 制造业
机械加工中，设计圆形零件时，已知圆的面积求半径会用到平方根。因为圆的面积公式\(S=\pi r^{2}\)，若\(S = 25\pi\)平方厘米，那么\(r^{2}=25\)，\(r=\pm\sqrt{25}=\pm5\)，半径取正值\(r = 5\)厘米。
在制造正方体形状的盒子时，已知盒子的表面积求棱长。设正方体盒子表面积为\(S = 6a^{2}\)（\(a\)为棱长），若\(S = 216\)平方厘米，那么\(a^{2}=36\)，\(a=\pm\sqrt{36}=\pm6\)，棱长\(a = 6\)厘米。
3. 电子设备屏幕尺寸计算
手机、电视等电子设备屏幕尺寸是指屏幕对角线的长度。对于矩形屏幕，已知屏幕的长和宽，计算对角线长度就会用到平方根。
例如，屏幕长为\(a = 16\)厘米，宽为\(b = 9\)厘米，对角线\(d\)满足\(d^{2}=a^{2}+b^{2}\)，即\(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16^{2}+9^{2}}=\sqrt{256 + 81}=\sqrt{337}\approx18.36\)厘米。
4. 农业
计算圆形灌溉区域的半径。
若灌溉区域的面积为\(100\pi\)平方米，根据圆的面积公式\(S=\pi r^{2}\)，可得\(r^{2}=100\)，\(r=\pm\sqrt{100}=\pm10\)，半径取\(r = 10\)米，这样可以确定灌溉喷头的安装位置和覆盖范围。
规划正方形农田的边长。
例如一块正方形农田面积为900平方米，设边长为\(x\)米，由\(x^{2}=900\)，可得\(x=\pm\sqrt{900}=\pm30\)，边长取\(x = 30\)米，用于安排种植作物的布局。
5. 金融领域
在计算投资组合的波动率时会用到平方根。
例如，一些金融模型中，资产价格的波动率与方差有关，而标准差（方差的平方根）是衡量风险的一个重要指标。如果一个投资组合的方差为\(0.04\)，那么其标准差为\(\sqrt{0.04}=0.2\)，这有助于投资者评估风险。
计算利率的复利增长。
在连续复利的情况下，若终值\(A\)、本金\(P\)、年利率\(r\)和时间\(t\)满足关系\(A = P\times e^{rt}\)，在某些近似计算或者简单模型中，若给定\(A\)、\(P\)和\(t\)求\(r\)可能会涉及到类似平方根的运算，来反推利率。
6. 物理学
在运动学中，计算物体做匀变速直线运动的位移。
若初速度\(v_{0}=0\)，加速度\(a\)，位移\(x=\frac{1}{2}at^{2}\)，当已知位移\(x\)和加速度\(a\)求时间\(t\)时，\(t=\sqrt{\frac{2x}{a}}\)。例如，一个物体在加速度为\(5m/s^{2}\)的作用下，位移了\(40\)米，那么\(t=\sqrt{\frac{2\times40}{5}}=\sqrt{16}=4\)秒。
计算电场强度和电势差的关系。
在均匀电场中，电势差\(U = Ed\)（\(E\)为电场强度，\(d\)为沿电场方向的距离），若已知电势差\(U\)和电场强度\(E\)求距离\(d\)，\(d=\frac{U}{E}\)，在一些复杂的电场模型中，当\(E\)是通过平方关系得到的物理量时，可能会出现求平方根来得到距离的情况。
7. 计算机图形学
在二维图形的缩放和旋转操作中，计算图形顶点坐标的变化。
例如，将一个以原点为中心的正方形进行缩放，若边长原来是\(a\)，缩放比例为\(k\)，新边长\(a^{\prime}\)满足\(a^{\prime 2}=k^{2}a^{2}\)，那么\(a^{\prime}=\vert k\vert a\)，这里涉及到平方和开平方的运算，用于图形的变形处理。
计算三维模型中两点之间的距离。
对于空间中两点\((x_{1},y_{1},z_{1})\)和\((x_{2},y_{2},z_{2})\)，它们之间的距离\(d\)满足\(d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}\)，\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}\)，用于碰撞检测等操作。
8. 地理学和地图绘制
计算地球上两点之间的大圆距离（球面上两点间最短距离）。在球面几何中，根据两点的经纬度计算距离公式中会涉及平方根运算，用于航空、航海等领域的路线规划。
制作地图比例尺时，若已知实际区域的边长和地图上表示该区域的边长，计算比例尺会用到平方根。
例如，实际正方形区域边长为\(100\)千米，地图上表示的边长为\(10\)厘米，先将单位统一为厘米（\(100\)千米\( = 100\times1000\times100\)厘米），设比例尺为\(1:k\)，则\(k^{2}=\frac{100\times1000\times100}{10}\)，\(k=\sqrt{\frac{100\times1000\times100}{10}}\)，从而确定比例尺。
