初中数学 31 概率（事件\(A\)发生的概率\(P(A)=\frac{m}{n}\)）
事件的分类
必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，其发生的概率为\(1\)。
例如，太阳从东方升起是必然事件。
不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，其发生的概率为\(0\)。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现\(7\)点就是不可能事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，其发生的概率介于\(0\)和\(1\)之间。
例如，掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率的定义
一般地，对于一个随机事件\(A\)，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件\(A\)发生的概率，记作\(P(A)\)。
如果在一次试验中，有\(n\)种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件\(A\)包含其中的\(m\)种结果，那么
事件\(A\)发生的概率\(P(A)=\frac{m}{n}\)。
列举法求概率
直接列举法：当试验的结果较少时，可以直接列举出所有可能的结果，再找出事件\(A\)包含的结果数，进而求出概率。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，共有\(6\)种等可能的结果，掷出偶数点的结果有\(3\)种，所以掷出偶数点的概率：
\(P(掷出偶数点)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。
列表法：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
例如，同时掷两枚质地均匀的骰子，第一枚骰子的结果有\(6\)种，第二枚骰子的结果也有\(6\)种，通过列表可以得到所有\(36\)种等可能的结果，进而求出诸如“两枚骰子点数之和为\(7\)”等事件的概率。
树状图法：当一次试验涉及三个或更多因素时，列表法就不方便了，这时可以用树状图法来求概率。树状图法可以清晰地展示所有可能的结果及其层次关系。
例如，一个袋子中装有\(2\)个红球和\(1\)个白球，从中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，通过树状图可以列出所有\(6\)种等可能的结果，从而求出两次都摸到红球等事件的概率。
用频率估计概率
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过大量重复的试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。在大量重复试验下，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该随机事件发生的概率。
例如，抛一枚质地不均匀的硬币，抛\(10\)次可能正面朝上\(7\)次，但随着抛的次数越来越多，正面朝上的频率会逐渐稳定在一个值附近，这个值就是抛这枚硬币正面朝上的概率。
概率的应用
游戏公平性的判断：在游戏中，如果双方获胜的概率相等，那么游戏是公平的；否则，游戏是不公平的。
例如，甲、乙两人玩掷骰子的游戏，规定掷出奇数点甲胜，掷出偶数点乙胜，由于掷出奇数点和偶数点的概率都是\(\frac{1}{2}\)，所以这个游戏是公平的。
决策问题：通过计算不同方案下事件发生的概率，来帮助我们做出更合理的决策。
例如，某种抽奖活动中，有不同的奖项设置和中奖概率，我们可以根据自己的需求和对概率的分析来决定是否参与抽奖。
概率是初中数学中一个重要的内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活息息相关，通过对概率的学习，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的不确定性事件。
例题：基础概率（小初）
1. 一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
答案：取出红球的概率 = 红球的个数 / 总球数 = 5 / (5 + 3) = 5/8
2. 掷一枚均匀的骰子，求掷出偶数点的概率。
答案：骰子的点数有 1, 2, 3, 4, 5, 6，其中偶数点有 2, 4, 6，共 3 种情况，所以掷出偶数点的概率 = 3 / 6 = 1/2
例题：组合概率（高中）
1. 从一副扑克牌（除去大小王共 52 张）中随机抽取 5 张牌，求这 5 张牌中恰好有 2 张 A 的概率。
答案：从 4 张 A 中选 2 张的组合数为\(C_{4}^2\)，从剩下 48 张非 A 牌中选 3 张的组合数为\(C_{48}^3\)，总的从 52 张牌中选 5 张的组合数为\(C_{52}^5\)。则概率为\(\frac{C_{4}^2\times C_{48}^3}{C_{52}^5}\)。
2. 一个班级有 10 名男生和 15 名女生，要选 3 人参加比赛，求选出的 3 人中至少有 1 名男生的概率。
答案：先求选出的 3 人都是女生的概率，即\(\frac{C_{15}^3}{C_{25}^3}\)，那么至少有 1 名男生的概率 = \(1-\frac{C_{15}^3}{C_{25}^3}\)
例题：条件概率（高中）
1. 已知某种疾病的发病率为 0.05，在患有该疾病的情况下，检测呈阳性的概率为 0.9，在未患有该疾病的情况下，检测误呈阳性的概率为 0.02。现在一个人检测呈阳性，求他真正患有该疾病的概率。
答案：设事件 A 表示“患有疾病”，事件 B 表示“检测呈阳性”。
\(P(A)=0.05\)，\(P(B|A)=0.9\)，\(P(B|\overline{A}) = 0.02\)。
根据贝叶斯公式 \(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}\)，\(P(\overline{A}) = 1 - 0.05 = 0.95\)，代入计算可得：
\(P(A|B)=\frac{0.9\times0.05}{0.9\times0.05 + 0.02\times0.95}\)
2. 盒子里有 3 个红球和 2 个白球，第一次取出一个球后不放回，第二次再取一个球，已知第一次取到红球，求第二次取到白球的概率。
答案：第一次取到红球后，盒子里剩下 2 个红球和 2 个白球，所以第二次取到白球的概率 = 2 / 4 = 1/2
市面上主流彩票中奖概率：
双色球
基本规则：双色球由红球和蓝球两部分组成，红球从1-33中选6个不同号码，蓝球从1-16中选1个号码组成一注彩票。
一等奖中奖概率：计算方式为\(C_{33}^6\times C_{16}^1\)分之一，即\(\frac{1}{17721088}\)。
大乐透
基本规则：前区从1-35中选5个不同号码，后区从1-12中选2个不同号码组成一注。
一等奖中奖概率：其计算为\(C_{35}^5\times C_{12}^2\)分之一，约为\(\frac{1}{21425712}\)。
福彩3D
基本规则：从000-999的数字中选取1个3位数字作为一注彩票。
直选中奖概率：因为每个数位都有0-9共10种可能，所以直选的中奖概率为\(\frac{1}{1000}\)。
组选3中奖概率：组选3是有两个数字相同的情况，计算较为复杂，中奖概率为\(\frac{3}{1000}\)，即\(\frac{1}{333.33}\) 。
组选6中奖概率：组选6是三个不同数字的组合，中奖概率为\(\frac{6}{1000}\)，即\(\frac{1}{166.67}\) 。
体彩排列3
基本规则：与福彩3D类似，从000-999中选一个3位数字为一注。
直选中奖概率：同样为\(\frac{1}{1000}\)。
组选3中奖概率：也是\(\frac{3}{1000}\)，即\(\frac{1}{333.33}\) 。
组选6中奖概率：同样是\(\frac{6}{1000}\)，即\(\frac{1}{166.67}\) 。
体彩排列5
基本规则：从00000-99999中选取1个5位数字作为一注彩票。
中奖概率：其一等奖中奖概率为\(\frac{1}{100000}\)。
彩票中奖概率极低，购买彩票应当是基于娱乐目的，而并非一种可靠的投资方式，建议理性对待彩票，不要过度依赖和盲目相信所谓的“幸运”。
