函数 03 求函数的解析式

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一、待定系数法 - 求函数的解析式

1. 适用情况：当已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等）时，可使用待定系数法。根据函数类型设出相应的表达式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程或方程组，进而求解出系数，确定函数解析式。

2. 示例：

已知二次函数\(f(x)\)满足\(f(0)=3\)，\(f(1)=4\)，\(f(-1)=6\)，求\(f(x)\)的解析式。

设二次函数的解析式为\(f(x)=ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）。

步骤一：代入已知条件列方程

将\(f(0)=3\)代入可得：\(c = 3\)。

把\(f(1)=4\)代入\(f(x)=ax^2 + bx + c\)，得到\(a + b + c = 4\)。

将\(f(-1)=6\)代入，有\(a - b + c = 6\)。

步骤二：解方程组求系数

此时得到方程组\(\begin{cases}c = 3\\a + b + c = 4\\a - b + c = 6\end{cases}\)，把\(c = 3\)代入后面两个方程，可得\(\begin{cases}a + b = 1\\a - b = 3\end{cases}\)。

两式相加可得\(2a = 4\)，解得\(a = 2\)，将\(a = 2\)代入\(a + b = 1\)，得\(b = -1\)。

步骤三：得出函数解析式

所以\(f(x)=2x^2 - x + 3\)。

二、换元法 - 求函数的解析式

1. 适用情况：当函数表达式中自变量的形式较为复杂，通过换元可将其转化为更简单的形式来求解解析式时，可采用换元法。常用于已知复合函数的表达式求外层函数解析式的情况。

2. 示例：

已知\(f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式。

步骤一：设换元变量

设\(t = \sqrt{x} + 1\)（\(t\geq1\)，因为\(\sqrt{x}\geq0\)，所以\(\sqrt{x} + 1\geq1\)），则可通过该等式用\(t\)表示\(x\)，即\(\sqrt{x} = t - 1\)，那么\(x = (t - 1)^2\)。

步骤二：代入原式并化简

将\(x = (t - 1)^2\)和\(\sqrt{x} = t - 1\)代入\(f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}\)中，得到\(f(t)=(t - 1)^2 + 2(t - 1)\)。

化简\(f(t)\)：

\[\begin{align*}f(t)&=(t^2 - 2t + 1) + 2t - 2\\&=t^2 - 1\end{align*}\]

步骤三：还原变量得到解析式

把\(t\)换为\(x\)，可得\(f(x)=x^2 - 1\)（\(x\geq1\)），注意要根据\(t\)的取值范围确定\(x\)的取值范围。

三、配凑法 - 求函数的解析式

1. 适用情况：观察已知函数表达式的结构特点，能够通过适当的变形、配凑，使其呈现出便于直接得出函数解析式的形式时，使用配凑法。通常也是针对复合函数相关的情况。

2. 示例：

已知\(f(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)，求\(f(x)\)的解析式。

步骤一：分析式子进行配凑

观察到\(x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 - 2\)，所以原函数\(f(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)可变形为\(f(x + \frac{1}{x})=(x + \frac{1}{x})^2 - 2\)。

步骤二：得出解析式并确定范围

直接令\(t = x + \frac{1}{x}\)，则\(f(t)=t^2 - 2\)，进而得到\(f(x)=x^2 - 2\)。

这里要注意\(t = x + \frac{1}{x}\)的值域，根据均值不等式\(|x + \frac{1}{x}| \geq 2\)（当且仅当\(x = \pm1\)时取等号），所以\(x\)的取值范围是\(|x| \geq 2\)或\(|x| \leq -2\)，那么\(f(x)=x^2 - 2\)（\(|x| \geq 2\)或\(|x| \leq -2\)）。

四、解方程组法 - 求函数的解析式

1. 适用情况：当已知函数满足多个等式关系，且通过变量替换等方式能够构造方程组来消去多余变量，从而求出函数解析式时，运用解方程组法。常见于抽象函数中自变量存在不同相关表达式的情况。

2. 示例：

已知\(f(x)\)满足\(f(x) + 2f(-x) = 3x - 2\)，求\(f(x)\)的解析式。

步骤一：构造方程组

将\(x\)换为\(-x\)，则可得\(f(-x) + 2f(x) = -3x - 2\)。

这样就得到了方程组\(\begin{cases}f(x) + 2f(-x) = 3x - 2 \\ f(-x) + 2f(x) = -3x - 2\end{cases}\)。

步骤二：解方程组消元求解析式

为了消去\(f(-x)\)，可以将第二个方程两边同时乘以\(2\)，得到\(2f(-x) + 4f(x) = -6x - 4\)。

用这个式子减去第一个方程\(f(x) + 2f(-x) = 3x - 2\)可得：

\[\begin{align*}(2f(-x) + 4f(x)) - (f(x) + 2f(-x))&=(-6x - 4) - (3x - 2)\\2f(-x) + 4f(x) - f(x) - 2f(-x)&=-6x - 4 - 3x + 2\\3f(x)&=-9x - 2\\f(x)&=-3x - \frac{2}{3}\end{align*}\]

五、实际问题建模法 - 求函数的解析式

1. 适用情况：从实际问题出发，根据问题中变量之间的数量关系，建立函数模型来确定函数解析式。

2. 示例：

某工厂生产一种产品，每件产品的成本是\(50\)元，若以每件\(x\)元的价格销售（\(x \geq 60\)），每日的销售量为\(y\)件，且销售量\(y\)与销售价格\(x\)之间满足关系\(y = 200 - 10(x - 60)\)，求利润\(L\)关于销售价格\(x\)的函数解析式。

步骤一：分析实际问题中的数量关系

利润等于每件产品的利润乘以销售量，每件产品的利润为\((x - 50)\)元，销售量为\(y = 200 - 10(x - 60)\)件。

步骤二：建立函数解析式

则利润\(L\)关于销售价格\(x\)的函数解析式为：

\[\begin{align*}L(x)&=(x - 50)y\\&=(x - 50)(200 - 10(x - 60))\\&=(x - 50)(200 - 10x + 600)\\&=(x - 50)(800 - 10x)\\&=800x - 10x^2 - 40000 + 500x\\&=-10x^2 + 1300x - 40000\end{align*}\]

其中\(x \geq 60\)，这就是根据实际问题建立的函数解析式以及其定义域。