极限 15 极限运算法则

1. 极限的四则运算法则

加法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)+g(x)] = A + B\)。

证明：对于任意\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；

同理，因\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert g(x)-B\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，

\(\vert[f(x)+g(x)]-(A + B)\vert=\vert[f(x)-A]+[g(x)-B]\vert\leqslant\vert f(x)-A\vert+\vert g(x)-B\vert < \varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 2}(3x + \frac{1}{x})=\lim_{x \to 2}3x+\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=6+\frac{1}{2}=\frac{13}{2}\)。

减法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)-g(x)] = A - B\)。

证明类似加法法则。

例如，\(\lim_{x \to 1}(2x - x^{2})=\lim_{x \to 1}2x-\lim_{x \to 1}x^{2}=2 - 1 = 1\)。

乘法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)\cdot g(x)] = A\cdot B\)。

证明：因为\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert g(x)\vert\leqslant M\)。

又\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)g(x)-AB\vert\)

\(=\vert f(x)g(x)-Ag(x)+Ag(x)-AB\vert\)

\(=\vert g(x)[f(x)-A]+A[g(x)-B]\vert\leqslant\vert g(x)\vert\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert\vert g(x)-B\vert < \varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 3}(x^{2}\cdot\sin x)=\lim_{x \to 3}x^{2}\cdot\lim_{x \to 3}\sin x = 9\cdot\sin 3\)。这里\(\sin x\)是有界函数，\(\lim_{x \to 3}x^{2}=9\)，利用乘法法则计算。

除法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\neq0\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)。

证明：因为\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\neq0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert g(x)-B\vert < \frac{\vert B\vert}{2}\)，此时\(\vert g(x)\vert>\frac{\vert B\vert}{2}\)。

又\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\vert B\vert}{2}\cdot\varepsilon\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}\right|=\left|\frac{Bf(x)-Ag(x)}{Bg(x)}\right|=\left|\frac{B[f(x)-A]-A[g(x)-B]}{Bg(x)}\right|\leqslant\frac{\vert B\vert\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert\vert g(x)-B\vert}{\vert B\vert\vert g(x)\vert}<\varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x^{2}+2x + 4)}{x - 2}=\lim_{x \to 2}(x^{2}+2x + 4)=12\)。

2. 复合函数的极限运算法则

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，若\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=u_{0}\)，\(\lim_{u \to u_{0}}f(u)=A\)，且在\(x_{0}\)的某去心邻域内\(g(x)\neq u_{0}\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}f[g(x)] = A\)。

例如，设\(f(u)=\sqrt{u}\)，\(g(x)=x^{2}+1\)，求\(\lim_{x \to 1}f[g(x)]\)。

首先\(\lim_{x \to 1}g(x)=\lim_{x \to 1}(x^{2}+1)=2\)，然后\(\lim_{u \to 2}f(u)=\lim_{u \to 2}\sqrt{u}=\sqrt{2}\)，所以\(\lim_{x \to 1}f[g(x)]=\sqrt{2}\)。

3. 无穷小的运算法则与极限计算结合

有限个无穷小的和是无穷小：

设\(\alpha(x)\)，\(\beta(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0\)，\(\lim_{x \to x_{0}}\beta(x)=0\)。

令\(\gamma(x)=\alpha(x)+\beta(x)\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)+\beta(x)\vert\leqslant\vert\alpha(x)\vert+\vert\beta(x)\vert < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}\gamma(x)=0\)。

有界函数与无穷小的乘积是无穷小：

设函数\(u(x)\)在\(x \to x_{0}\)的某邻域内有界，即存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert u(x)\vert\leqslant M\)。

设\(\alpha(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0\)。对于任意\(\varepsilon>0\)，

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert u(x)\alpha(x)\vert=\vert u(x)\vert\vert\alpha(x)\vert\leqslant M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}u(x)\alpha(x)=0\)。

例如，\(\lim_{x \to 0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，因为\(\sin\frac{1}{x}\)是有界函数，\(x\)是当\(x \to 0\)时的无穷小。

有限个无穷小的乘积是无穷小：

设\(\alpha(x)\)、\(\beta(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，令\(\gamma(x)=\alpha(x)\beta(x)\)。

对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)；

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)\beta(x)\vert=\vert\alpha(x)\vert\vert\beta(x)\vert < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}\gamma(x)=0\)。