函数 03 反函数：\(y = f^{-1}(x)\)
一. 反函数的定义
设函数\(y = f(x)(x\in A)\)的值域为\(C\)，若对于\(C\)中的每一个\(y\)值，在\(A\)中都有唯一的\(x\)值与之对应，使得\(y = f(x)\)，则这样的函数\(x=\varphi(y)(y\in C)\)叫做函数\(y = f(x)(x\in A)\)的反函数，记作\(x = f^{-1}(y)\)。
习惯上，我们一般用\(x\)表示自变量，\(y\)表示因变量，所以\(y = f(x)\)的反函数通常写成\(y = f^{-1}(x)\)。
二. 反函数的存在条件
一个函数存在反函数的充分必要条件是它是一一映射。
也就是说，对于定义域内任意两个不同的自变量\(x_{1}\)和\(x_{2}\)，都有\(f(x_{1})\neq f(x_{2})\)；
并且对于值域中的任意一个\(y\)，都能在定义域中找到唯一的\(x\)与之对应。
例如，函数\(y = x^{2}\)在定义域\(R\)上没有反函数，因为当\(y = 4\)时，\(x = 2\)或\(x=-2\)，不满足一一映射。
但如果把定义域限定为\([0,+\infty)\)，那么\(y = x^{2}\)在这个定义域上是单调递增的，是一一映射，就存在反函数\(y=\sqrt{x}\)。
三. 反函数的求法
代数法：从\(y = f(x)\)中解出\(x\)关于\(y\)的表达式。
例如，对于函数\(y=\frac{3x - 1}{2}\)，先通过移项和化简得到\(2y = 3x - 1\)，进一步解得\(x=\frac{2y + 1}{3}\)，所以反函数为\(y=\frac{2x + 1}{3}\)。
反函数与原函数的图像关系：函数\(y = f(x)\)与其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的图像关于直线\(y = x\)对称。
例如，\(y = 2^{x}\)的反函数是\(y=\log_{2}x\)，它们的图像关于直线\(y = x\)对称。
如果点\((a,b)\)在函数\(y = f(x)\)的图像上，那么点\((b,a)\)就在其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的图像上。
四. 求反函数的步骤
步骤一：判断函数是否存在反函数
一个函数存在反函数的充要条件是它是一一映射，即对于定义域内任意两个不同的自变量\(x_1\)和\(x_2\)，都有\(f(x_1)\neq f(x_2)\)。例如，函数\(y = x^2\)在\((-\infty,+\infty)\)上不存在反函数，因为当\(y = 4\)时，\(x = 2\)或\(x=-2\)，不满足一一映射；但在\([0,+\infty)\)上，\(y = x^2\)是单调递增的，是一一映射，存在反函数。
步骤二：求解关于\(x\)的表达式
若函数\(y = f(x)\)存在反函数，将\(y = f(x)\)看作关于\(x\)的方程，解出\(x\)关于\(y\)的表达式。例如，对于函数\(y = 2x + 1\)，我们可以通过移项来求解\(x\)，由\(y = 2x+1\)得\(2x=y - 1\)，即\(x=\frac{y - 1}{2}\)。
步骤三：交换\(x\)与\(y\)的变量名
把上一步得到的表达式中的\(x\)与\(y\)互换，得到反函数的表达式。对于前面求出的\(x=\frac{y - 1}{2}\)，交换\(x\)与\(y\)后，得到\(y=\frac{x - 1}{2}\)，这就是\(y = 2x + 1\)的反函数。
例1：求\(y = 3x - 2\)的反函数
首先，\(y = 3x-2\)是一个一次函数，它是单调递增的，是一一映射，存在反函数。
然后，求解\(x\)关于\(y\)的表达式，由\(y = 3x - 2\)得\(3x=y + 2\)，即\(x=\frac{y + 2}{3}\)。
最后，交换\(x\)与\(y\)的变量名，得到反函数为\(y=\frac{x + 2}{3}\)。
例2：求\(y=\sqrt{x}(x\geq0)\)的反函数
函数\(y = \sqrt{x}(x\geq0)\)是单调递增的，存在反函数。
由\(y=\sqrt{x}\)，两边平方得\(x = y^2(y\geq0)\)。
交换\(x\)与\(y\)的变量名，得到反函数为\(y = x^2(x\geq0)\)。
五. 反函数的性质
1. 互为反函数的两个函数的图象关系
函数\(y = f(x)\)与其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的图象关于直线\(y = x\)对称。
例如，函数\(y = 2x + 1\)，其反函数是\(y=\frac{1}{2}(x - 1)\)。
在平面直角坐标系中分别画出它们的图象，可以发现它们的图象就像镜子一样，以直线\(y = x\)为对称轴相互对称。
当点\((a,b)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上时，那么点\((b,a)\)一定在其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的图象上。
2. 定义域和值域的互换性
原函数\(y = f(x)\)的定义域是其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的值域，
原函数\(y = f(x)\)的值域是其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的定义域。
例如，对于函数\(y=\sqrt{x}(x\geq0)\)，它的值域是\(y\geq0\)。
其反函数\(y = x^{2}(x\geq0)\)，定义域是\(x\geq0\)。这里就体现了原函数的值域和反函数的定义域之间的互换关系。
3. 复合函数的性质
若函数\(y = f(x)\)存在反函数\(y = f^{-1}(x)\)，则
\(f(f^{-1}(x))=x\)，其定义域为反函数\(y = f^{-1}(x)\)的定义域；
\(f^{-1}(f(x))=x\)，其定义域为原函数\(y = f(x)\)的定义域。
例如，设\(y = 2x + 1\)的反函数是\(y=\frac{1}{2}(x - 1)\)。那么
\(f(f^{-1}(x)) = 2\times[\frac{1}{2}(x - 1)]+1=x - 1 + 1=x\)
\(f^{-1}(f(x))=\frac{1}{2}[(2x + 1)-1]=x\)
这一性质在验证反函数是否正确等情况时非常有用。
4. 单调性一致
如果原函数\(y = f(x)\)是单调函数，那么它的反函数\(y = f^{-1}(x)\)也是单调函数，并且它们的单调性相同。
例如，函数\(y = e^{x}\)是单调递增函数，其反函数\(y=\ln x\)也是单调递增函数。
这是因为原函数的单调性保证了一一映射的性质，从而使得反函数也具有相同的单调性来满足对应的关系。
