函数 03 二次函数在闭区间[a,b]上的最值

一、二次函数的定义

一般地，形如\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数）的函数，叫做二次函数，其中\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数.

二次函数的表达式形式

一般式：\(y = ax^{2}+bx + c\)，适用于已知函数图像上的三个点的坐标等条件来确定函数解析式.

顶点式：\(y = a(x - h)^{2}+k\)，其中\((h,k)\)为抛物线的顶点坐标。当已知抛物线的顶点坐标和另一个点的坐标时，用顶点式来求解函数解析式较为简便.

交点式：\(y = a(x - x_{1})(x - x_{2})\)，\(x_{1}\)、\(x_{2}\)为二次函数与\(x\)轴的两交点的横坐标，即一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)的两个根。当已知抛物线与\(x\)轴的两个交点坐标和另一个点的坐标时，可使用交点式来确定函数解析式.

二、二次函数的性质

图像形状与开口方向：

二次函数的图像是一条抛物线。二次项系数\(a\)决定抛物线的开口方向和大小，当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。\(\vert a\vert\)越大，抛物线的开口越小；\(\vert a\vert\)越小，抛物线的开口越大。

对称轴与顶点坐标：

对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。一次项系数\(b\)和二次项系数\(a\)共同决定对称轴的位置，当\(a\)与\(b\)同号时（即\(ab\gt0\)），对称轴在\(y\)轴左侧；当\(a\)与\(b\)异号时（即\(ab\lt0\)），对称轴在\(y\)轴右侧；当\(b = 0\)时，抛物线的对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)）。

顶点坐标为\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})\)。当\(-\frac{b}{2a}=0\)，即\(b = 0\)时，顶点在\(y\)轴上；当\(\Delta=b^{2}-4ac = 0\)时，顶点在\(x\)轴上。

与坐标轴的交点：

与\(y\)轴的交点：抛物线与\(y\)轴交于\((0, c)\)。当\(c = 0\)时，图像过原点；当\(c\gt0\)时，图像与\(y\)轴正半轴相交；当\(c\lt0\)时，图像与\(y\)轴负半轴相交。

与\(x\)轴的交点：由判别式\(\Delta = b^{2}-4ac\)决定，当\(\Delta\gt0\)时，抛物线与\(x\)轴有\(2\)个交点，交点坐标为\((\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0)\)和\((\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0)\)；当\(\Delta = 0\)时，抛物线与\(x\)轴有\(1\)个交点，交点坐标为\((-\frac{b}{2a},0)\)；当\(\Delta\lt0\)时，抛物线与\(x\)轴没有交点。

函数的增减性：

当\(a\gt0\)时，在对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)左侧，即\(x\lt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，即\(x\gt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。

当\(a\lt0\)时，在对称轴左侧，即\(x\lt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，即\(x\gt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。

函数的最值：

当\(a\gt0\)时，函数在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，此时函数的值域是\(\left\{y\vert y\geq\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right\}\)。

当\(a\lt0\)时，函数在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，此时函数的值域是\(\left\{y\vert y\leq\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right\}\) 。

奇偶性：当\(b = 0\)时，二次函数\(y = ax^{2}+c\)是偶函数，其图像关于\(y\)轴对称；当\(b\neq0\)时，二次函数是非奇非偶函数.

三、二次函数在闭区间上的最值-定轴定区间（1）

1. 当\(a > 0\)时（开口向上的情况）：

对称轴在闭区间左侧（即\(-\frac{b}{2a} \leq m\)，设闭区间为\([m,n]\)）：

此时函数在闭区间\([m,n]\)上单调递增，所以最小值为\(f(m)\)，最大值为\(f(n)\)。

例如，对于二次函数\(y = x^{2} - 2x + 3\)，在闭区间\([1,3]\)上，\(a = 1\)，\(b = -2\)，对称轴\(x = -\frac{-2}{2\times1} = 1\)，刚好在闭区间\([1,3]\)的左侧，函数在该区间单调递增，则\(y_{min}=f(1)=1^{2} - 2\times1 + 3 = 2\)，\(y_{max}=f(3)=3^{2} - 2\times3 + 3 = 6\)。

对称轴在闭区间内（即\(m < -\frac{b}{2a} < n\)）：

函数在对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(f(-\frac{b}{2a})\)，然后比较区间端点\(f(m)\)与\(f(n)\)的大小，较大者为最大值。

比如，二次函数\(y = 2x^{2} - 4x + 1\)在闭区间\([0,2]\)上，\(a = 2\)，\(b = -4\)，对称轴\(x = -\frac{-4}{2\times2} = 1\)在区间\([0,2]\)内，\(f(1)=2\times1^{2} - 4\times1 + 1 = -1\)，\(f(0)=2\times0^{2} - 4\times0 + 1 = 1\)，\(f(2)=2\times2^{2} - 4\times2 + 1 = 1\)，所以\(y_{min} = -1\)，\(y_{max} = 1\)。

对称轴在闭区间右侧（即\(n \leq -\frac{b}{2a}\)）：

函数在闭区间\([m,n]\)上单调递减，所以最小值为\(f(n)\)，最大值为\(f(m)\)。

例如，对于二次函数\(y = -x^{2} + 4x - 3\)（这里\(a = -1\)，取其相反数使其满足\(a > 0\)便于对比说明，实际解题按原函数分析即可）在闭区间\([3,4]\)上，对称轴\(x = -\frac{4}{2\times(-1)} = 2\)在闭区间右侧，函数在该区间单调递减，则\(y_{min}=f(4)=-4^{2} + 4\times4 - 3 = -3\)，\(y_{max}=f(3)=-3^{2} + 4\times3 - 3 = 0\)。

2. 当\(a < 0\)时（开口向下的情况）：

对称轴在闭区间左侧（即\(-\frac{b}{2a} \leq m\)，设闭区间为\([m,n]\)）：

函数在闭区间\([m,n]\)上单调递减，所以最大值为\(f(m)\)，最小值为\(f(n)\)。

例如，对于二次函数\(y = -2x^{2} + 3x - 1\)在闭区间\([0,1]\)上，\(a = -2\)，\(b = 3\)，对称轴\(x = -\frac{3}{2\times(-2)}=\frac{3}{4}\)在闭区间左侧，函数在该区间单调递减，则\(y_{max}=f(0)=-2\times0^{2} + 3\times0 - 1 = -1\)，\(y_{min}=f(1)=-2\times1^{2} + 3\times1 - 1 = 0\)。

对称轴在闭区间内（即\(m < -\frac{b}{2a} < n\)）：

函数在对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(f(-\frac{b}{2a})\)，然后比较区间端点\(f(m)\)与\(f(n)\)的大小，较小者为最小值。

比如，二次函数\(y = -3x^{2} + 6x + 2\)在闭区间\([-1,2]\)上，\(a = -3\)，\(b = 6\)，对称轴\(x = -\frac{6}{2\times(-3)} = 1\)在区间\([-1,2]\)内，\(f(1)=-3\times1^{2} + 6\times1 + 2 = 5\)，\(f(-1)=-3\times(-1)^{2} + 6\times(-1) + 2 = -7\)，\(f(2)=-3\times2^{2} + 6\times2 + 2 = 2\)，所以\(y_{max} = 5\)，\(y_{min} = -7\)。

对称轴在闭区间右侧（即\(n \leq -\frac{b}{2a}\)）：

函数在闭区间\([m,n]\)上单调递增，所以最大值为\(f(n)\)，最小值为\(f(m)\)。

例如，对于二次函数\(y = -x^{2} - 2x + 4\)在闭区间\([-2,-1]\)上，\(a = -1\)，\(b = -2\)，对称轴\(x = -\frac{-2}{2\times(-1)} = -1\)在闭区间右侧，函数在该区间单调递增，则\(y_{max}=f(-1)=-(-1)^{2} - 2\times(-1) + 4 = 5\)，\(y_{min}=f(-2)=-(-2)^{2} - 2\times(-2) + 4 = 4\)。

四、二次函数在闭区间上的最值-定轴定区间（2）

原理：对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，当对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)是固定的，给定的区间\([m,n]\)也是固定的，根据对称轴与区间的位置关系来确定函数的最值。

情况一：对称轴在区间左侧（\(-\frac{b}{2a}<m\)）

此时函数在区间\([m,n]\)上的单调性是确定的。因为\(a\)的正负决定函数的开口方向，当\(a>0\)时，函数开口向上，在区间\([m,n]\)上单调递增，所以最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)；当\(a<0\)时，函数开口向下，在区间\([m,n]\)上单调递减，所以最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况二：对称轴在区间右侧（\(-\frac{b}{2a}>n\)）

同样，根据函数单调性确定最值。当\(a>0\)时，函数在区间\([m,n]\)上单调递减，最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)；当\(a<0\)时，函数在区间\([m,n]\)上单调递增，最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况三：对称轴在区间内（\(m\leq-\frac{b}{2a}\leq n\)）

当\(a>0\)时，函数开口向上，在对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。然后比较区间端点值\(y(m)\)和\(y(n)\)的大小，较大者为最大值。当\(a<0\)时，函数开口向下，在对称轴处取得最大值\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，比较\(y(m)\)和\(y(n)\)的大小，较小者为最小值。

举例：求函数\(y = 2x^{2}-4x - 3\)在区间\([-1,3]\)上的最值。对称轴为\(x =-\frac{-4}{2\times2}=1\)，\(a = 2>0\)，开口向上，对称轴在区间\([-1,3]\)内。最小值为\(y(1)=2\times1^{2}-4\times1 - 3=-5\)，\(y(-1)=2\times(-1)^{2}-4\times(-1)-3 = 3\)，\(y(3)=2\times3^{2}-4\times3 - 3 = 3\)，最大值为\(3\)。