1. 函数连续性的定义

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)连续。

例如，对于函数\(y = x^2\)，在任意一点\(x_0\)处，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}(x^{2})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}(x^{2}) = x_{0}^{2}\)，所以\(y = x^2\)在其定义域\((-\infty,+\infty)\)内处处连续。

从增量的角度来看，函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)连续的充要条件是\(\lim_{\Delta x\rightarrow0}\Delta y = 0\)，其中\(\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)。

2. 函数在区间上的连续性

如果函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内的每一点都连续，就称函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内连续。

如果函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内连续，且\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\)，\(\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)\)，则称函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续。

3. 间断点的定义与分类

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某去心邻域内有定义，如果函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处不连续，则称点\(x_0\)为函数\(y = f(x)\)的间断点。

第一类间断点：可去间断点、跳跃间断点

可去间断点：\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=A\)，但\(f(x_{0})\)不存在或者\(f(x_{0})\neq A\)。

例如，函数\(y=\frac{x^{2}-1}{x - 1}\)在\(x = 1\)处，\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\lim_{x\rightarrow1}(x + 1)=2\)，但函数在\(x = 1\)处无定义，所以\(x = 1\)是可去间断点。

跳跃间断点：\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=A\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=B\)，且\(A\neq B\)。

例如，函数\(y=\left\{\begin{array}{ll}x + 1, & x<0\\x - 1, & x\geq0\end{array}\right.\)在\(x = 0\)处，\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}(x + 1)=1\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}(x - 1)= - 1\)，\(1\neq - 1\)，所以\(x = 0\)是跳跃间断点。

第二类间断点：除第一类间断点外的。常见的有无穷间断点和振荡间断点。

无穷间断点：\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\pm\infty\)或\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\pm\infty\)。

例如，函数\(y=\frac{1}{x}\)在\(x = 0\)处，\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty\)，所以\(x = 0\)是无穷间断点。

振荡间断点：函数在\(x_0\)的极限不存在，且函数值在某两个值之间无限次振荡。

例如，\(y=\sin\frac{1}{x}\)在\(x = 0\)处，当\(x\rightarrow0\)时，\(\sin\frac{1}{x}\)的值在\([- 1,1]\)之间无限次振荡，\(\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}\)不存在，所以\(x = 0\)是振荡间断点。

例1：判断函数连续性

已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin\frac{1}{x}, & x\neq0\\0, & x = 0\end{array}\right.\)，判断函数在\(x = 0\)处的连续性。

解：计算\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}\)，因为\(\sin\frac{1}{x}\)是有界函数，\(x\)在\(x\rightarrow0\)时为无穷小，根据无穷小乘以有界函数的极限为\(0\)，可得\(\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，且\(f(0) = 0\)，所以\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)=f(0)\)，函数\(f(x)\)在\(x = 0\)处连续。

例2：判断间断点类型（1）

研究函数\(y=\frac{x^{2}-1}{x - 1}\)的间断点及其类型。

解：函数\(y=\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}\)，当\(x = 1\)时，函数无定义。计算\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\lim_{x\rightarrow1}(x + 1)=2\)，因为\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=2\)，所以\(x = 1\)是可去间断点。

例3：判断间断点类型（2）

分析函数\(y=\left\{\begin{array}{ll}2x - 1, & x\leq1\\x^{2}, & x>1\end{array}\right.\)在\(x = 1\)处的间断点类型。

解：计算\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}(2x - 1)=1\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{+}}x^{2}=1\)，且\(f(1)=2\times1 - 1 = 1\)，因为\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=f(1)\)，所以函数在\(x = 1\)处连续，不存在间断点。

例4：判断间断点类型（3）

考虑函数\(y=\frac{1}{x - 2}\)的间断点及其类型。

解：当\(x = 2\)时，函数无定义。\(\lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{1}{x - 2}=-\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{1}{x - 2}=+\infty\)，所以\(x = 2\)是无穷间断点，属于第二类间断点。

例5：判断间断点类型（4）

研究函数\(y = e^{\frac{1}{x}}\)在\(x = 0\)处的间断点类型。

解：\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=+\infty\)，左右极限不相等，且右极限为无穷大，所以\(x = 0\)是第二类间断点（无穷间断点）。

例6：复杂函数间断点判断

设函数\(f(x)=\frac{\ln\left|x\right|}{x^{2}-1}\)，求函数的间断点并判断类型。

解：函数的定义域为\(x\neq0\)且\(x\neq\pm1\)。

当\(x = 1\)时，\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln\left|x\right|}{x^{2}-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln x}{(x + 1)(x - 1)}\)，使用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\frac{1}{2}\)，所以\(x = 1\)是可去间断点。

当\(x=-1\)时，\(\lim_{x\rightarrow - 1}\frac{\ln\left|x\right|}{x^{2}-1}\)，\(\lim_{x\rightarrow - 1}\frac{\ln(-x)}{(x + 1)(x - 1)}\)，分母趋近于\(0\)，分子趋近于\(\ln1 = 0\)，通过洛必达法则可得\(\lim_{x\rightarrow - 1}\frac{\frac{-1}{x}}{2x}=-\frac{1}{2}\)，所以\(x=-1\)是可去间断点。

当\(x = 0\)时，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left|x\right|}{x^{2}-1}\)，\(\lim_{x\rightarrow0}\ln\left|x\right|=-\infty\)，所以\(x = 0\)是无穷间断点，属于第二类间断点。

例7：利用连续性求参数

已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}ax + b, & x<1\\x^{2}, & x\geq1\end{array}\right.\)在\(x = 1\)处连续，求\(a\)和\(b\)的值。

解：因为函数在\(x = 1\)处连续，所以\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}(ax + b)=a + b\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{+}}x^{2}=1\)，且\(f(1)=1\)，则\(a + b = 1\)。

例8：函数连续性的区间判断

确定函数\(y=\sqrt{x^{2}-1}\)的连续区间。

解：要使函数有意义，\(x^{2}-1\geq0\)，即\((x + 1)(x - 1)\geq0\)，解得\(x\leq - 1\)或\(x\geq1\)。所以函数的连续区间为\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)。

例9：判断间断点类型（5）

分析函数\(y=\sin\frac{1}{x - 1}\)在\(x = 1\)处的间断点类型。

解：当\(x\rightarrow1\)时，\(\frac{1}{x - 1}\rightarrow\infty\)，\(\sin\frac{1}{x - 1}\)的值在\([-1,1]\)之间无限次振荡，\(\lim_{x\rightarrow1}\sin\frac{1}{x - 1}\)不存在，所以\(x = 1\)是振荡间断点，属于第二类间断点。

例10：综合判断函数连续性与间断点

设函数\(f(x)=\frac{x^{3}-1}{x - 1}\cdot e^{\frac{1}{x - 1}}\)，判断函数的连续性和间断点类型。

解：首先化简\(f(x)=(x^{2}+x + 1)e^{\frac{1}{x - 1}}\)，当\(x = 1\)时，\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}(x^{2}+x + 1)e^{\frac{1}{x - 1}}\)，因为\(x^{2}+x + 1\rightarrow3\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}e^{\frac{1}{x - 1}}\rightarrow0\)，所以\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=0\)；\(\lim_{x\rightarrow1^{+}}(x^{2}+x + 1)e^{\frac{1}{x - 1}}\)，\(x^{2}+x + 1\rightarrow3\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{+}}e^{\frac{1}{x - 1}}\rightarrow+\infty\)，所以\(x = 1\)是无穷间断点，属于第二类间断点，函数在\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)上连续。

数学基础 - 中初数学、高中数学