解析几何 12 两条平行线间的距离
1. 两条平行线间的距离
两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长度。因为平行线间的距离处处相等，所以我们可以在其中一条直线上任取一点，计算这个点到另一条直线的距离，这个距离就是两条平行线间的距离。
2. 两条平行线间的距离公式推导
设两条平行线\(l_1:Ax + By + C_1 = 0\)和\(l_2:Ax + By + C_2 = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）。
根据点到直线的距离公式，在直线\(l_1\)上任取一点\(P(x_0,y_0)\)，点\(P\)到直线\(l_2\)的距离\(d\)就是两条平行线间的距离。
由点到直线的距离公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。
又因为点\(P(x_0,y_0)\)在直线\(l_1\)上，所以\(Ax_0 + By_0+ C_1 = 0\)，即\(Ax_0 + By_0=-C_1\)。
将\(Ax_0 + By_0=-C_1\)代入上式可得\(d = \frac{\vert C_2 - C_1\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。
3. 应用场景和优势
几何图形中的应用：在平面几何中，当需要计算平行四边形（其对边平行）的高或者梯形（一组对边平行）的高时，如果已知两条平行边所在直线的方程，就可以利用这个公式计算高的长度。例如，在计算一个底边长已知，两平行边所在直线方程已知的梯形面积时，先求出高（即两条平行线间的距离），再根据梯形面积公式求解。
解析几何问题中的应用：在解析几何综合问题中，当判断两条平行直线与其他几何图形（如圆、椭圆等）的位置关系时，两条平行线间的距离是一个重要的参考量。比如，判断一个圆是否夹在两条平行直线之间，或者与其中一条直线相切等情况，就需要计算圆的半径与两条平行线间距离的关系。
4. 特殊情况说明
当\(A = 0\)时，两条平行线方程为\(By + C_1 = 0\)和\(By + C_2 = 0\)（即\(y = -\frac{C_1}{B}\)和\(y = -\frac{C_2}{B}\)），此时两条平行线间的距离\(d=\vert\frac{C_2 - C_1}{B}\vert\)。
当\(B = 0\)时，两条平行线方程为\(Ax + C_1 = 0\)和\(Ax + C_2 = 0\)（即\(x = -\frac{C_1}{A}\)和\(x = -\frac{C_2}{A}\)），此时两条平行线间的距离\(d=\vert\frac{C_2 - C_1}{A}\vert\)。
