解析几何 12 点到直线的距离
1. 点到直线的距离
点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，这个点与垂足之间的线段长度。例如，给定一点\(P(x_0,y_0)\)和直线\(Ax + By+ C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），点\(P\)到直线的距离就是点\(P\)到直线上距离它最近的点（垂足）的距离。
2. 点到直线的距离公式推导（向量法）
设直线\(l:Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），点\(P(x_0,y_0)\)。
在直线\(l\)上任取一点\(Q(x,y)\)，向量\(\overrightarrow{PQ}=(x - x_0,y - y_0)\)。
直线\(l\)的法向量（与直线垂直的向量）为\(\vec{n}=(A,B)\)。
根据向量点积的几何定义，\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=\vert\overrightarrow{PQ}\vert\vert\vec{n}\vert\cos\theta\)，其中\(\theta\)是\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\vec{n}\)的夹角。
当\(\theta = 0\)或\(\pi\)（即\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\vec{n}\)平行）时，\(\vert\overrightarrow{PQ}\vert\cos\theta\)的绝对值就是点\(P\)到直线\(l\)的距离\(d\)。
计算\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=A(x - x_0)+B(y - y_0)=Ax + By - Ax_0 - By_0\)，又因为\(Ax + By=-C\)（直线方程），所以\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=- Ax_0 - By_0 - C\)。
而\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\)，则\(d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。
3. 点到直线的距离公式的应用场景和优势
判断点与直线的位置关系：通过计算点到直线的距离可以判断点在直线的哪一侧。如果距离\(d>0\)，说明点在直线的一侧；如果\(d = 0\)，则点在直线上。例如，在计算机图形学中，判断一个像素点是否在某条绘制的直线的内部或外部区域时可以用到。
求解几何最值问题：在一些几何问题中，要求某点到某直线的最短距离相关的最值。例如，在平面几何中，求一个动点到一条定直线的距离的最小值，就可以直接使用这个公式。
在解析几何综合问题中的应用：当涉及到直线与曲线（如圆，椭圆等）的位置关系时，点到直线的距离公式可以帮助判断曲线与直线是否相切等情况。比如对于圆\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，圆心\((a,b)\)到直线\(Ax + By + C = 0\)的距离\(d=\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，当\(d = r\)时，圆与直线相切。
4. 特殊情况说明
当\(A = 0\)时，直线方程变为\(By + C = 0\)（即\(y=-\frac{C}{B}\)），此时点\((x_0,y_0)\)到直线的距离\(d=\vert y_0+\frac{C}{B}\vert\)。
当\(B = 0\)时，直线方程变为\(Ax + C = 0\)（即\(x = -\frac{C}{A}\)），此时点\((x_0,y_0)\)到直线的距离\(d=\vert x_0+\frac{C}{A}\vert\)。
