指数函数 04 无理数指数幂

1. 无理数指数幂的定义

对于无理数指数幂\(a^{\alpha}\)（\(a>0\)，\(\alpha\)是无理数），它是通过有理数指数幂来逼近定义的。例如，\(\sqrt{2}\)是无理数，考虑\(a^{\sqrt{2}}\)的定义。

我们知道\(\sqrt{2}\)可以用有理数序列来逼近，如\(1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots\)这些有理数逐渐逼近\(\sqrt{2}\)。

那么\(a^{\sqrt{2}}\)就定义为当\(r_n\)（\(r_n\)是逼近\(\sqrt{2}\)的有理数序列）趋近于\(\sqrt{2}\)时，\(a^{r_n}\)的极限。即\(a^{\sqrt{2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}\)。

2. 无理数指数幂的运算性质

无理数指数幂的运算性质和有理数指数幂的运算性质相似。

对于\(a>0\)，\(b>0\)，\(\alpha\)，\(\beta\)是无理数：

\(a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}\)。例如，\(2^{\sqrt{3}}2^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)。这个性质可以通过有理数指数幂逼近的极限性质来证明。当用有理数序列\(r_{n1}\)逼近\(\alpha\)，\(r_{n2}\)逼近\(\beta\)时，\(a^{r_{n1}}a^{r_{n2}}=a^{r_{n1}+r_{n2}}\)，取极限后就得到\(a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}\)。

\((a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}\)。比如\((3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{2}\times\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{6}}\)。同样可以利用有理数逼近和极限的运算来证明，当\(r_{n1}\)逼近\(\alpha\)，\(r_{n2}\)逼近\(\beta\)时，\((a^{r_{n1}})^{r_{n2}}=a^{r_{n1}r_{n2}}\)，取极限得到\((a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}\)。

\((ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\)。例如\((2\times3)^{\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5}}\times3^{\sqrt{5}}\)。证明方法也是通过有理数逼近，设\(r_n\)逼近\(\alpha\)，\((ab)^{r_n}=a^{r_n}b^{r_n}\)，取极限得到\((ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\)。

3. 函数性质（以\(y = a^{x}\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)为例，\(x\)为实数包括无理数）

单调性：

当\(a>1\)时，函数\(y = a^{x}\)在\(R\)上单调递增。例如，\(y = 2^{x}\)，对于任意两个实数\(x_1<x_2\)，包括无理数，都有\(2^{x_1}<2^{x_2}\)。如果\(x_1=\sqrt{2}\)，\(x_2=\sqrt{3}\)，因为\(\sqrt{2}<\sqrt{3}\)，所以\(2^{\sqrt{2}}<2^{\sqrt{3}}\)。

当\(0<a<1\)时，函数\(y = a^{x}\)在\(R\)上单调递减。比如\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)，对于任意\(x_1<x_2\)，有\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}>\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)。

值域：

函数\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的值域是\((0,+\infty)\)。因为对于任意实数\(x\)（包括无理数），\(a^{x}>0\)。例如，\(a = 3\)，不管\(x\)是有理数还是无理数，\(3^{x}\)的值始终大于\(0\)。

连续性：

指数函数\(y = a^{x}\)在\(R\)上是连续的。这意味着当\(x\)的值在实数范围内（包括无理数）连续变化时，函数值\(y = a^{x}\)也连续变化。例如，当\(x\)从一个有理数趋近于一个无理数时，函数\(y = a^{x}\)的极限值等于该无理数对应的函数值。

如何证明无理数指数幂的连续性？

1. 回顾连续性的定义

函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处连续的定义是：\(\lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)=f(x_0)\)

对于指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），我们要证明它在整个实数域上连续，包括无理数点。

2. 利用有理数指数幂逼近无理数指数幂

设\(\alpha\)是一个无理数，我们可以用一个有理数序列\(\{r_n\}\)来逼近\(\alpha\)，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha\)。

对于指数函数\(y = a^{x}\)，考虑\(\lim_{x\rightarrow\alpha}a^{x}\)。因为\(\{r_n\}\)逼近\(\alpha\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}=a^{\alpha}\)（这是无理数指数幂的定义方式）。

3. 证明左右极限相等且等于函数值（以\(a > 1\)为例）

左极限：

设\(x\)从左侧趋近于\(\alpha\)，即\(x\rightarrow\alpha^{-}\)。我们可以构造一个单调递增的有理数序列\(\{r_n\}\)，使得\(r_n<\alpha\)且\(\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha\)。

对于指数函数\(y = a^{x}\)，由于\(a > 1\)且\(r_n\)单调递增趋近于\(\alpha\)，根据有理数指数幂的单调性（当\(a > 1\)，\(m < n\)时，\(a^{m}<a^{n}\)），\(\{a^{r_n}\}\)是一个单调递增的序列。

由单调有界定理可知，单调递增有上界的序列必有极限。因为\(a^{r_n}<a^{\alpha}\)（因为\(r_n<\alpha\)），所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}\)存在，且\(\lim_{x\rightarrow\alpha^{-}}a^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}=a^{\alpha}\)。

右极限：

设\(x\)从右侧趋近于\(\alpha\)，即\(x\rightarrow\alpha^{+}\)。构造一个单调递减的有理数序列\(\{s_n\}\)，使得\(s_n>\alpha\)且\(\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=\alpha\)。

由于\(a > 1\)且\(s_n\)单调递减趋近于\(\alpha\)，根据有理数指数幂的单调性，\(\{a^{s_n}\}\)是一个单调递减的序列。

同样由单调有界定理，\(\{a^{s_n}\}\)有极限。因为\(a^{s_n}>a^{\alpha}\)（因为\(s_n>\alpha\)），所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{s_n}\)存在，且\(\lim_{x\rightarrow\alpha^{+}}a^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{s_n}=a^{\alpha}\)。