直接证明法

综合法：从已知条件出发，依据已有的定义、定理、公理等，通过一系列的逻辑推理，逐步推导出所要证明的结论。

例如，已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，要证明\(a + b\geqslant2\sqrt{ab}\)，可根据完全平方差公式\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant0\)展开得到\(a - 2\sqrt{ab}+b\geqslant0\)，进而推导出\(a + b\geqslant2\sqrt{ab}\)。

分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

比如要证明\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\gt\sqrt{5}\)，可先将不等式两边同时平方，得到\((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\gt(\sqrt{5})^2\)，即\(5 + 2\sqrt{6}\gt5\)，进一步得到\(2\sqrt{6}\gt0\)，而\(2\sqrt{6}\gt0\)是明显成立的。

间接证明法

反证法：先假设要证明的命题不成立，即假设结论的反面成立，然后依据假设进行推理，直至推出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、与假设本身矛盾等，从而说明假设不成立，进而证明原命题成立。

例如，证明“三角形内角和为\(180^{\circ}\)”，假设三角形内角和不等于\(180^{\circ}\)，接着通过推导得出与三角形内角和定理相矛盾的结果，从而证明原命题正确。

同一法：当一个命题的条件和结论所指的概念是唯一存在的，且通过直接证明比较困难时，可以采用同一法。先作出一个满足结论的图形或对象，然后证明这个图形或对象与满足条件的图形或对象是同一个，从而证明命题成立。比如证明等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，可先作底边上的高，再证明这条高也是中线和顶角平分线，即证明所作的高与中线、顶角平分线是同一条直线。

构造法

根据命题的特点，构造出一个合适的数学对象，如函数、数列、图形等，然后通过对所构造对象的性质研究来证明命题。

比如证明“存在两个无理数\(a\)和\(b\)，使得\(a^b\)是有理数”，可构造\(a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)，\(b=\sqrt{2}\)，若\(a\)是有理数，则已得证；若\(a\)是无理数，则\(a^b=(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2\)是有理数，从而证明了命题。

比较法

作差比较法：要证明\(A\gt B\)，只需证明\(A - B\gt0\)；要证明\(A\geqslant B\)，只需证明\(A - B\geqslant0\)。

例如，比较\(x^2 + 3x + 1\)与\(2x^2 + x - 1\)的大小，可作差\((x^2 + 3x + 1)-(2x^2 + x - 1)=-x^2 + 2x + 2=-(x - 1)^2 + 3\)，然后根据\(-(x - 1)^2 + 3\)的正负性来判断大小。

作商比较法：当\(A\)和\(B\)都为正数时，要证明\(A\gt B\)，只需证明\(\frac{A}{B}\gt1\)；要证明\(A\geqslant B\)，只需证明\(\frac{A}{B}\geqslant1\)。比如已知\(a\)、\(b\)为正数，比较\(a^3 + b^3\)与\(a^2b + ab^2\)的大小，可作商\(\frac{a^3 + b^3}{a^2b + ab^2}\)，通过化简和分析商与\(1\)的大小关系来比较。

放缩法

通过对命题中的某些式子进行适当的放大或缩小，使问题简化，从而达到证明的目的。常用于证明不等式。

例如，证明\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\lt2\)，可将每一项\(\frac{1}{k^2}\)放缩为\(\frac{1}{k(k - 1)}=\frac{1}{k - 1}-\frac{1}{k}\)，然后进行裂项相消求和，得到放缩后的结果小于\(2\)。

数学归纳法

主要用于证明与自然数\(n\)有关的命题。证明过程分为两步：

基础步骤：先验证当\(n\)取第一个值\(n_0\)（通常为\(1\)或\(0\)等）时，命题成立。

归纳步骤：假设当\(n = k\)（\(k\geqslant n_0\)，\(k\)为自然数）时命题成立，然后在此基础上证明当\(n = k + 1\)时命题也成立。

例1：证明\(1 + 2 + 3 + \cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}\)

基础步骤：当\(n = 1\)时，左边\(=1\)，右边\(=\frac{1\times(1 + 1)}{2}=1\)，等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)时，等式\(1 + 2 + 3 + \cdots + k=\frac{k(k + 1)}{2}\)成立。

归纳步骤：当\(n=k + 1\)时，\(1+2+3+\cdots+k+(k + 1)=\frac{k(k + 1)}{2}+(k + 1)=\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\)，即当\(n = k + 1\)时等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，该等式都成立。

例2：证明\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)

基础步骤：当\(n = 1\)时，左边\(=1^2 = 1\)，右边\(=\frac{1\times(1 + 1)\times(2\times1 + 1)}{6}=1\)，等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)时，等式\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，

\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k + 1)^2\)

\(=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}+(k + 1)^2\)

\(=\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\)，即当\(n = k + 1\)时等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，该等式都成立。

例3：证明\(1\times2 + 2\times3 + 3\times4 + \cdots + n(n + 1)=\frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\)

基础步骤：当\(n = 1\)时，左边\(=1\times2 = 2\)，右边\(=\frac{1\times(1 + 1)\times(1 + 2)}{3}=2\)，等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)时，等式\(1\times2 + 2\times3 + 3\times4 + \cdots + k(k + 1)=\frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，

\(1\times2+2\times3+3\times4+\cdots+k(k + 1)+(k + 1)(k + 2)\)

\(=\frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}+(k + 1)(k + 2)=\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}\)，即当\(n = k + 1\)时等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，该等式都成立。

例4：证明\(n^3 - n\)能被\(3\)整除

基础步骤：当\(n = 1\)时，\(1^3 - 1 = 0\)，能被\(3\)整除，等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)时，\(k^3 - k\)能被\(3\)整除。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，\((k + 1)^3-(k + 1)=(k^3 + 3k^2 + 3k + 1)-(k + 1)=k^3 + 3k^2 + 3k - k=(k^3 - k)+3k^2 + 3k\)，因为\(k^3 - k\)能被\(3\)整除，\(3k^2 + 3k\)也能被\(3\)整除，所以\((k + 1)^3-(k + 1)\)能被\(3\)整除，即当\(n = k + 1\)时等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，\(n^3 - n\)能被\(3\)整除。

例5：证明\(2^n>n^2\)（\(n\geq5\)）

基础步骤：当\(n = 5\)时，\(2^5 = 32\)，\(5^2 = 25\)，\(32>25\)，不等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)（\(k\geq5\)）时，\(2^k>k^2\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，\(2^{k + 1}=2\times2^k>2k^2\)，而\((k + 1)^2=k^2 + 2k + 1\)，当\(k\geq5\)时，\(2k^2-(k^2 + 2k + 1)=k^2 - 2k - 1=(k - 1)^2 - 2>0\)，即\(2k^2>(k + 1)^2\)，所以\(2^{k + 1}>(k + 1)^2\)，即当\(n = k + 1\)时不等式也成立。所以，当\(n\geq5\)时，\(2^n>n^2\)。

例6：证明\(3^n\geq2n + 1\)（\(n\in N\)）

基础步骤：当\(n = 0\)时，\(3^0 = 1\)，\(2\times0 + 1 = 1\)，\(3^0\geq2\times0 + 1\)，不等式成立；当\(n = 1\)时，\(3^1 = 3\)，\(2\times1 + 1 = 3\)，\(3^1\geq2\times1 + 1\)，不等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)（\(k\geq1\)）时，\(3^k\geq2k + 1\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，\(3^{k + 1}=3\times3^k\geq3(2k + 1)=6k + 3\)，而\(2(k + 1)+ 1=2k + 3\)，因为\(6k + 3-(2k + 3)=4k\geq0\)，所以\(3^{k + 1}\geq2(k + 1)+ 1\)，即当\(n = k + 1\)时不等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，\(3^n\geq2n + 1\)。

例7：证明\(n!\gt2^n\)（\(n\geq4\)）

基础步骤：当\(n = 4\)时，\(4!=24\)，\(2^4 = 16\)，\(24>16\)，不等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)（\(k\geq4\)）时，\(k!\gt2^k\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，\((k + 1)!=(k + 1)\times k!\gt(k + 1)\times2^k\)，因为\(k\geq4\)，所以\(k + 1>2\)，则\((k + 1)\times2^k>2\times2^k=2^{k + 1}\)，即\((k + 1)!\gt2^{k + 1}\)，所以当\(n = k + 1\)时不等式也成立。所以，当\(n\geq4\)时，\(n!\gt2^n\)。

例8：证明\(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)=n^2\)

基础步骤：当\(n = 1\)时，左边\(=1\)，右边\(=1^2 = 1\)，等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)时，等式\(1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1)=k^2\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，\(1+3+5+\cdots+(2k - 1)+(2(k + 1)- 1)=k^2+2k + 1=(k + 1)^2\)，即当\(n = k + 1\)时等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，该等式都成立。

例9：证明\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{n}{n + 1}\)

基础步骤：当\(n = 1\)时，左边\(=\frac{1}{1\times2}=\frac{1}{2}\)，右边\(=\frac{1}{1 + 1}=\frac{1}{2}\)，等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)时，等式\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{k(k + 1)}=\frac{k}{k + 1}\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，

\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{k(k + 1)}+\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}\)

\(=\frac{k}{k + 1}+\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}=\frac{k(k + 2)+1}{(k + 1)(k + 2)}\)

\(=\frac{(k + 1)^2}{(k + 1)(k + 2)}=\frac{k + 1}{k + 2}\)，即当\(n = k + 1\)时等式也成立。所以，对任意正整数\(n\)，该等式都成立。

例10：证明\(n^2<2^n\)（\(n\geq5\)）

基础步骤：当\(n = 5\)时，\(5^2 = 25\)，\(2^5 = 32\)，\(25<32\)，不等式成立。

归纳假设：假设当\(n = k\)（\(k\geq5\)）时，\(k^2<2^k\)成立。

归纳步骤：当\(n = k + 1\)时，\((k + 1)^2=k^2 + 2k + 1\)，\(2^{k + 1}=2\times2^k\)，由归纳假设\(k^2<2^k\)，且当\(k\geq5\)时，\(2k + 1<2^k\)，所以\(k^2 + 2k + 1<2\times2^k\)，即\((k + 1)^2<2^{k + 1}\)，所以当\(n = k + 1\)时不等式也成立。所以，当\(n\geq5\)时，\(n^2<2^n\)。

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