极限 15 函数极限的性质
函数极限的性质1. 唯一性
性质描述：如果\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)\)存在，那么这个极限是唯一的。
证明思路（反证法）：假设\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)且\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=B\)（\(A\neq B\)），不妨设\(\varepsilon=\frac{\vert A - B\vert}{2}\)。因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，所以存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \varepsilon\)；又因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=B\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-B\vert < \varepsilon\)。
举例说明：取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert A - B\vert=\vert A - f(x)+f(x)-B\vert\leqslant\vert A - f(x)\vert+\vert f(x)-B\vert < 2\varepsilon=\vert A - B\vert\)，产生矛盾，所以极限唯一。例如函数\(y = x + 1\)，当\(x\to2\)时，极限是唯一的为\(3\)。
函数极限的性质2. 局部有界性
性质描述：如果\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，那么存在常数\(M>0\)和\(\delta>0\)，使得当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)\vert\leqslant M\)。
证明思路：因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于\(\varepsilon = 1\)，存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)-A\vert < 1\)，即\(\vert f(x)\vert=\vert f(x)-A + A\vert\leqslant\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert < 1+\vert A\vert\)，取\(M = 1+\vert A\vert\)即可。
举例说明：例如\(f(x)=2x - 1\)，当\(x\to1\)时，极限为\(1\)。对于\(\varepsilon = 1\)，存在\(\delta\)（这里\(\delta = 1\)就行），当\(0 < \vert x - 1\vert < 1\)时，\(1 - 1 < 2x - 1 < 3\)，即\(\vert f(x)\vert < 3\)，满足局部有界性。
函数极限的性质3. 局部保号性
性质描述：如果\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，且\(A>0\)（或\(A < 0\)），那么存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）。
证明思路（以\(A>0\)为例）：因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，取\(\varepsilon=\frac{A}{2}\)，存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \varepsilon=\frac{A}{2}\)，所以\(f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0\)。
举例说明：对于函数\(f(x)=3x - 1\)，当\(x\to1\)时，\(\lim_{x \to 1}f(x)=2>0\)。取\(\delta=\frac{1}{3}\)，当\(0 < \vert x - 1\vert < \delta\)时，\(f(x)=3x - 1>0\)。
4. 函数极限与数列极限的关系（海涅定理）
性质描述：\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)的充分必要条件是：对于任意以\(x_{0}\)为极限的数列\(\{x_{n}\}\)（\(x_{n}\neq x_{0}\)），都有\(\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A\)。
证明思路（必要性）：若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \varepsilon\)。因为\(\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}\)且\(x_{n}\neq x_{0}\)，所以对于这个\(\delta\)，存在\(N\)，当\(n > N\)时，\(0 < \vert x_{n}-x_{0}\vert < \delta\)，从而\(\vert f(x_{n})-A\vert < \varepsilon\)，即\(\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A\)。
举例说明：设\(f(x)=x^{2}\)，\(x_{0}=2\)，对于数列\(x_{n}=2+\frac{1}{n}\)（\(n = 1,2,\cdots\)），\(\lim_{n \to \infty}x_{n}=2\)，且\(x_{n}\neq2\)。\(\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=\lim_{n \to \infty}(2 + \frac{1}{n})^{2}=4\)，这与\(\lim_{x \to 2}x^{2}=4\)是相符的，体现了函数极限和数列极限的这种关系。
