一、增函数与减函数的定义

增函数：在函数\(f(x)\)的定义域\(I\)的某个区间\(D\)内的任意两个值\(x_{1}<x_{2}\)，都有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，就说函数\(y = f(x)\)在区间\(D\)上是增函数，或者称\(f(x)\)在区间\(D\)上单调增加，D为\(f(x)\)的一个单调区间。

例如，函数\(y = x^{2}\)在区间\([0,+\infty)\)上是增函数。

当\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=2\)（\(1 < 2\)）时，\(f(1)=1^{2}=1\)，\(f(2)=2^{2}=4\)，满足\(f(1)<f(2)\)。

减函数：在函数\(f(x)\)的定义域\(I\)的某个区间\(D\)内的任意两个值\(x_{1}<x_{2}\)，都有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，就说函数\(y = f(x)\)在区间\(D\)上是减函数，或者称\(f(x)\)在区间\(D\)上单调减少，D为\(f(x)\)的一个单调区间。

例如，函数\(y=-x\)在\((-\infty,+\infty)\)上是减函数。

当\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=2\)（\(1 < 2\)）时，\(f(1)=-1\)，\(f(2)=-2\)，满足\(f(1)>f(2)\)。

二、增函数与减函数的图像特征

增函数：其图像在相应区间上→是从左向右上升↗的。

比如\(y = 2x + 1\)的图像是一条直线，斜率\(k = 2>0\)，它在\((-\infty,+\infty)\)上是增函数，图像从左向右呈上升趋势。

减函数：其图像在相应区间上→是从左向右下降↘的。

例如\(y=-3x + 2\)，斜率\(k=-3 < 0\)，它在\((-\infty,+\infty)\)上是减函数，图像从左向右呈下降趋势。

三、增函数与减函数的判断方法

1、定义法：判断函数单调性

设\(x_{1}\)，\(x_{2}\)是给定区间上的任意两个自变量的值，且\(x_{1}<x_{2}\)，计算\(f(x_{2})-f(x_{1})\)。

（1）若\(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)，则函数在该区间是增函数；

（2）若\(f(x_{2})-f(x_{1})<0\)，则函数在该区间是减函数。

例如，对于函数\(f(x)=x^{2}-2x\)，在区间\([1,+\infty)\)上，设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in[1,+\infty)\)且\(x_{1}<x_{2}\)。

\(f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}^{2}-2x_{2})-(x_{1}^{2}-2x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1}-2)\)

因为\(x_{1}<x_{2}\)，所以\(x_{2}-x_{1}>0\)，又\(x_{1}\geqslant1,x_{2}\geqslant1\)，

所以\(x_{2}+x_{1}-2\geqslant0\)，所以\(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)，函数\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上是增函数。

2、导数法（如果函数可导）：判断函数单调性

对函数\(y = f(x)\)求导，得到\(f^{\prime}(x)\)。

（1）若\(f^{\prime}(x)>0\)在某个区间上恒成立，则函数\(y = f(x)\)在该区间是增函数；

（2）若\(f^{\prime}(x)<0\)在某个区间上恒成立，则函数\(y = f(x)\)在该区间是减函数。

例如，对于函数\(y = x^{3}-3x\)，求导得\(y^{\prime}=3x^{2}-3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。

当\(x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数是增函数；当\(x\in(-1,1)\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数是减函数。

四、增函数与减函数的运算性质

1、增函数+增函数=增函数

设\(f(x)\)和\(g(x)\)是区间\(I\)上两个增函数，对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)且\(g(x_{1})<g(x_{2})\)。

那么\((f + g)(x_{1})=f(x_{1})+g(x_{1})<f(x_{2})+g(x_{2})=(f + g)(x_{2})\)，所以\(f + g\)是区间\(I\)上增函数。

例如，设\(f(x)=x\)，\(g(x)=2x\)，它们在\(R\)上都是增函数。对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)（\(x_{1},x_{2}\in R\)），有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，即\(x_{1}<x_{2}\)，\(g(x_{1})<g(x_{2})\)，即\(2x_{1}<2x_{2}\)。

那么\(y = f(x)+g(x)=x + 2x=3x\)，对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)，\(y_{1}=3x_{1}\)，\(y_{2}=3x_{2}\)，且\(y_{1}<y_{2}\)，所以\(y = f(x)+g(x)\)是增函数。

2、减函数+减函数=减函数

设\(f(x)\)和\(g(x)\)是区间\(I\)上两个减函数，对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)且\(g(x_{1})>g(x_{2})\)。

那么\((f + g)(x_{1})=f(x_{1})+g(x_{1})>f(x_{2})+g(x_{2})=(f + g)(x_{2})\)，所以\(f + g\)是区间\(I\)上减函数。

例如，设\(f(x)= - x\)，\(g(x)=-2x\)，它们在\(R\)上都是减函数。对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)（\(x_{1},x_{2}\in R\)），有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，即\(-x_{1}>-x_{2}\)，\(g(x_{1})>g(x_{2})\)，即\(- 2x_{1}>-2x_{2}\)。

那么\(y = f(x)+g(x)=-x-2x=-3x\)，对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)，\(y_{1}=-3x_{1}\)，\(y_{2}=-3x_{2}\)，且\(y_{1}>y_{2}\)，所以\(y = f(x)+g(x)\)是减函数。

3、增函数+减函数=单调性不确定

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，函数\(y = g(x)\)是区间\(I\)上的减函数，则函数\(y = f(x)+g(x)\)的单调性不确定。

例如，设\(f(x)=x\)是\(R\)上的增函数，\(g(x)=-x\)是\(R\)上的减函数，\(y = f(x)+g(x)=x+( - x)=0\)，它是一个常函数，没有单调性。又例如，设\(f(x)=2x\)是\(R\)上的增函数，\(g(x)=-x\)是\(R\)上的减函数，\(y = f(x)+g(x)=2x - x=x\)是\(R\)上的增函数。

4、增函数-增函数=单调性不确定

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，函数\(y = g(x)\)是区间\(I\)上的增函数，则函数\(y = f(x)-g(x)\)的单调性不确定。

例如，设\(f(x)=2x\)，\(g(x)=x\)，它们在\(R\)上都是增函数。\(y = f(x)-g(x)=2x - x=x\)是\(R\)上的增函数。但如果\(f(x)=x\)，\(g(x)=2x\)，\(y = f(x)-g(x)=x - 2x=-x\)是\(R\)上的减函数。

5、减函数-减函数=单调性不确定

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的减函数，函数\(y = g(x)\)是区间\(I\)上的减函数，则函数\(y = f(x)-g(x)\)的单调性不确定。

例如，设\(f(x)=-2x\)，\(g(x)=-x\)，它们在\(R\)上都是减函数。\(y = f(x)-g(x)=-2x-(-x)=-x\)是\(R\)上的减函数。但如果\(f(x)=-x\)，\(g(x)=-2x\)，\(y = f(x)-g(x)=-x - (-2x)=x\)是\(R\)上的增函数。

6、增函数-减函数=增函数

设\(f(x)\)是增函数，\(g(x)\)是减函数，对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)且\(g(x_{1})>g(x_{2})\)。那么\((f - g)(x_{1})=f(x_{1})-g(x_{1})<f(x_{2})-g(x_{2})=(f - g)(x_{2})\)，所以\(f - g\)是增函数。

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，函数\(y = g(x)\)是区间\(I\)上的减函数，则函数\(y = f(x)-g(x)\)是区间\(I\)上的增函数。

例如，设\(f(x)=x\)是\(R\)上的增函数，\(g(x)=-x\)是\(R\)上的减函数，\(y = f(x)-g(x)=x-(-x)=2x\)是\(R\)上的增函数。

7、减函数-增函数=减函数

设\(f(x)\)是区间\(I\)上的减函数，\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数，对于任意的\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)且\(g(x_{1})<g(x_{2})\)。那么\((f - g)(x_{1})=f(x_{1})-g(x_{1})>f(x_{2})-g(x_{2})=(f - g)(x_{2})\)，所以\(f - g\)是区间\(I\)上的减函数。

例如，设\(f(x)=-x\)是\(R\)上的减函数，\(g(x)=x\)是\(R\)上的增函数，\(y = f(x)-g(x)=-x - x=-2x\)是\(R\)上的减函数。

8、增函数×正增函数=增函数

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，当\(y = g(x)>0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y = f(x)g(x)\)是区间\(I\)上的增函数。

例如，设\(f(x)=x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数，\(g(x)=2x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数且\(g(x)>0\)，\(y = f(x)g(x)=x\cdot2x = 2x^{2}\)，对于任意的\(0<x_{1}<x_{2}\)，\(y_{1}=2x_{1}^{2}\)，\(y_{2}=2x_{2}^{2}\)，且\(y_{1}<y_{2}\)，所以\(y = f(x)g(x)\)是增函数。

9、增函数×负增函数=减函数

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，当\(y = g(x)<0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y = f(x)g(x)\)是区间\(I\)上的减函数。

例如，设\(f(x)=x\)在\(( - \infty,0)\)上是增函数，\(g(x)= - 2x\)在\((-\infty,0)\)上是增函数且\(g(x)<0\)，\(y = f(x)g(x)=x\cdot(-2x)=-2x^{2}\)，对于任意的\(x_{1}<x_{2}<0\)，\(y_{1}=-2x_{1}^{2}\)，\(y_{2}=-2x_{2}^{2}\)，且\(y_{1}>y_{2}\)，所以\(y = f(x)g(x)\)是减函数。

10、减函数×正增函数=减函数

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的减函数，当\(y = g(x)>0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y = f(x)g(x)\)是区间\(I\)上的减函数。

例如，设\(f(x)=-x\)在\((0,+\infty)\)上是减函数，\(g(x)=2x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数且\(g(x)>0\)，\(y = f(x)g(x)=-x\cdot2x=-2x^{2}\)，对于任意的\(0<x_{1}<x_{2}\)，\(y_{1}=-2x_{1}^{2}\)，\(y_{2}=-2x_{2}^{2}\)，且\(y_{1}>y_{2}\)，所以\(y = f(x)g(x)\)是减函数。

11、减函数×负增函数=增函数

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的减函数，当\(y = g(x)<0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y = f(x)g(x)\)是区间\(I\)上的增函数。

例如，设\(f(x)=-x\)在\((-\infty,0)\)上是减函数，\(g(x)=-2x\)在\((-\infty,0)\)上是增函数且\(g(x)<0\)，\(y = f(x)g(x)=-x\cdot(-2x)=2x^{2}\)，对于任意的\(x_{1}<x_{2}<0\)，\(y_{1}=2x_{1}^{2}\)，\(y_{2}=2x_{2}^{2}\)，且\(y_{1}<y_{2}\)，所以\(y = f(x)g(x)\)是增函数。

12、增函数÷正增函数=单调性不确定

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，当\(y = g(x)>0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)的单调性不确定。

例如，设\(f(x)=x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数，\(g(x)=x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数且\(g(x)>0\)，\(y=\frac{f(x)}{g(x)} = 1\)是常函数。又例如，设\(f(x)=2x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数，\(g(x)=x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数且\(g(x)>0\)，\(y=\frac{f(x)}{g(x)} = 2\)是常函数。

13、增函数÷负增函数=单调性不确定

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的增函数，当\(y = g(x)<0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)的单调性不确定。

例如，设\(f(x)=x\)在\((-\infty,0)\)上是增函数，\(g(x)=-x\)在\((-\infty,0)\)上是增函数且\(g(x)<0\)，\(y=\frac{f(x)}{g(x)}=-1\)是常函数。

14、减函数÷正增函数=减函数

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的减函数，当\(y = g(x)>0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)是区间\(I\)上的减函数。

例如，设\(f(x)=-x\)在\((0,+\infty)\)上是减函数，\(g(x)=x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数且\(g(x)>0\)，\(y=\frac{f(x)}{g(x)}=-1\)是减函数。

15、减函数÷负增函数=增函数

设函数\(y = f(x)\)是区间\(I\)上的减函数，当\(y = g(x)<0\)且\(g(x)\)是区间\(I\)上的增函数时，函数\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)是区间\(I\)上的增函数。

例如，设\(f(x)=-x\)在\((-\infty,0)\)上是减函数，\(g(x)=-x\)在\((-\infty,0)\)上是增函数且\(g(x)<0\)，\(y=\frac{f(x)}{g(x)} = 1\)是增函数。

五、复合函数单调性

1. 复合函数的定义

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，当\(x\)在\(u = g(x)\)的定义域\(D_{g}\)中取值时，\(u = g(x)\)的值域为\(R_{g}\)，若\(R_{g}\subseteq D_{f}\)（\(D_{f}\)是\(y = f(u)\)的定义域），则\(y = f(g(x))\)是由\(y = f(u)\)和\(u = g(x)\)复合而成的复合函数，其中\(u\)称为中间变量。

2. 复合函数单调性的判断方法 - 同增异减原则

“同增”情况：增（增）=增、减（减）=增

当内层函数\(u = g(x)\)在区间\(I\)上是增函数，外层函数\(y = f(u)\)在区间\(J\)（\(J\)是\(u = g(x)\)的值域对应的区间）上是增函数时，复合函数\(y = f(g(x))\)在区间\(I\)上是增函数。

例如，设\(y = u^{2}\)，\(u = x + 1\)（\(x\in R\)）。对于\(u = x + 1\)，它在\(R\)上是增函数。对于\(y = u^{2}\)，当\(u\in[0,+\infty)\)时是增函数。当\(x\geqslant - 1\)时，\(u=x + 1\geqslant0\)，此时随着\(x\)的增大，\(u\)增大，\(y\)也增大，所以复合函数\(y=(x + 1)^{2}\)在\([-1,+\infty)\)上是增函数。

当内层函数\(u = g(x)\)在区间\(I\)上是减函数，外层函数\(y = f(u)\)在区间\(J\)（\(J\)是\(u = g(x)\)的值域对应的区间）上是减函数时，复合函数\(y = f(g(x))\)在区间\(I\)上是增函数。

例如，设\(y=-u^{2}\)，\(u=-x + 1\)（\(x\in R\)）。\(u=-x + 1\)在\(R\)上是减函数，\(y=-u^{2}\)在\([0,+\infty)\)上是减函数。当\(x\leqslant1\)时，\(u=-x + 1\geqslant0\)，随着\(x\)的增大，\(u\)减小，\(y\)增大，所以复合函数\(y=-(-x + 1)^{2}\)在\((-\infty,1]\)上是增函数。

“异减”情况：增（减）=减、减（增）=减

当内层函数\(u = g(x)\)在区间\(I\)上是增函数，外层函数\(y = f(u)\)在区间\(J\)（\(J\)是\(u = g(x)\)的值域对应的区间）上是减函数时，复合函数\(y = f(g(x))\)在区间\(I\)上是减函数。

例如，设\(y=-u^{2}\)，\(u = x + 1\)（\(x\in R\)）。\(u = x + 1\)在\(R\)上是增函数，\(y=-u^{2}\)在\([0,+\infty)\)上是减函数。当\(x\geqslant - 1\)时，\(u=x + 1\geqslant0\)，此时随着\(x\)的增大，\(u\)增大，而\(y\)减小，所以复合函数\(y=-(x + 1)^{2}\)在\([-1,+\infty)\)上是减函数。

当内层函数\(u = g(x)\)在区间\(I\)上是减函数，外层函数\(y = f(u)\)在区间\(J\)（\(J\)是\(u = g(x)\)的值域对应的区间）上是增函数时，复合函数\(y = f(g(x))\)在区间\(I\)上是减函数。

例如，设\(y = u^{2}\)，\(u=-x + 1\)（\(x\in R\)）。\(u=-x + 1\)在\(R\)上是减函数，\(y = u^{2}\)在\([0,+\infty)\)上是增函数。当\(x\leqslant1\)时，\(u=-x + 1\geqslant0\)，随着\(x\)的增大，\(u\)减小，\(y\)也减小，所以复合函数\(y=(-x + 1)^{2}\)在\((-\infty,1]\)上是减函数。

3. 确定复合函数单调区间的步骤

首先，确定复合函数的构成，即找出内层函数\(u = g(x)\)和外层函数\(y = f(u)\)。

其次，分别求出内层函数\(u = g(x)\)的单调区间\(I_{1},I_{2},\cdots\)和外层函数\(y = f(u)\)的单调区间\(J_{1},J_{2},\cdots\)。

然后，根据\(u = g(x)\)的值域与\(y = f(u)\)的定义域的关系，以及“同增异减”原则，确定复合函数\(y = f(g(x))\)在各个区间上的单调性。

例如，求复合函数\(y=\log_{2}(x^{2}-1)\)的单调区间。

设\(u = x^{2}-1\)，则\(y=\log_{2}u\)。

对于\(u = x^{2}-1\)，其定义域为\(x\neq\pm1\)，对称轴为\(x = 0\)，在\((-\infty,-1)\)上是增函数，在\((-1,0)\)上是减函数，在\((0,1)\)上是减函数，在\((1,+\infty)\)上是增函数。

对于\(y=\log_{2}u\)，其定义域为\(u>0\)，在\((0,+\infty)\)上是增函数。

由\(u = x^{2}-1>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-1\)。

根据“同增异减”原则，复合函数\(y=\log_{2}(x^{2}-1)\)在\((-\infty,-1)\)上是增函数，在\((1,+\infty)\)上是增函数。

六、反函数单调性

1. 反函数的定义

设函数\(y = f(x)\)，\(x\in A\)，\(y\in B\)。如果对于\(y\)在\(B\)中的每一个值，在\(A\)中都有唯一的\(x\)值与之对应，使得\(y = f(x)\)，那么就可以得到一个以\(y\)为自变量，\(x\)为因变量的新函数\(x = f^{-1}(y)\)，这个新函数就称为函数\(y = f(x)\)的反函数。习惯上，我们用\(x\)表示自变量，\(y\)表示因变量，所以\(y = f(x)\)的反函数通常写成\(y = f^{-1}(x)\)。

例如，函数\(y = 2x\)，\(x\in R\)，它的反函数是\(y=\frac{1}{2}x\)，\(x\in R\)。

2. 反函数单调性的性质

原函数\(y = f(x)\)与它的反函数\(y = f^{-1}(x)\)在相应的定义域和值域内，单调性是一致的。

证明：

设原函数\(y = f(x)\)是定义在区间\(A\)上的增函数，其值域为\(B\)。对于任意的\(x_{1},x_{2}\in A\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)。

因为反函数\(y = f^{-1}(x)\)满足\(x = f(y)\)，设\(y_{1}=f(x_{1})\)，\(y_{2}=f(x_{2})\)，则\(x_{1}=f^{-1}(y_{1})\)，\(x_{2}=f^{-1}(y_{2})\)。

当\(y_{1}<y_{2}\)时，因为原函数是增函数，由\(y_{1}=f(x_{1})\)，\(y_{2}=f(x_{2})\)可得\(x_{1}<x_{2}\)，即\(f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})\)，所以反函数\(y = f^{-1}(x)\)也是增函数。

同理可证，当原函数\(y = f(x)\)是减函数时，其反函数\(y = f^{-1}(x)\)也是减函数。

示例：

考虑函数\(y = e^{x}\)，\(x\in R\)，它是增函数，其值域是\((0,+\infty)\)。

它的反函数是\(y=\ln x\)，\(x\in(0,+\infty)\)，\(\ln x\)也是增函数。

再如函数\(y=-x\)，\(x\in R\)，它是减函数，其反函数\(y=-x\)，\(x\in R\)也是减函数。

七、抽象函数的单调性

1、正比例函数型抽象函数：\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

单调性证明：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in R\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(x_{2}-x_{1}>0\)。

已知当\(x>0\)时，\(f(x)>0\)，所以\(f(x_{2}-x_{1})>0\)。

\(f(x_{2})=f(x_{1}+(x_{2}-x_{1}))=f(x_{1})+f(x_{2}-x_{1})\)，即\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}-x_{1})>0\)，所以\(f(x)\)在\(R\)上是增函数.

2、对数函数型抽象函数：\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；\(f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)\).

单调性证明：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in(0,+\infty)\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(\frac{x_{2}}{x_{1}}>1\)。

已知当\(x>1\)时，\(f(x)>0\)，所以\(f(\frac{x_{2}}{x_{1}})>0\)。

\(f(x_{2})=f(x_{1}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}})=f(x_{1})+f(\frac{x_{2}}{x_{1}})\)，即\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(\frac{x_{2}}{x_{1}})>0\)，所以\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上是增函数 。

3、指数函数型抽象函数：\(f(x+y)=f(x)f(y)\)

单调性证明：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in R\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(x_{2}-x_{1}>0\)。

令\(f(x_{2})=f((x_{2}-x_{1})+x_{1})=f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})\)。

已知当\(x>0\)时，\(f(x)>1\)，所以\(f(x_{2}-x_{1})>1\)，且\(f(x_{1})>0\)，则\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{1})[f(x_{2}-x_{1})-1]>0\)，所以\(f(x)\)在\(R\)上是增函数 。

4、三角函数型抽象函数：如\(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\) 等

单调性分析：以\(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\)为例，设\(0<x_{1}<x_{2}<\frac{\pi}{2}\)，

\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}-x_{1}+x_{1})-f(x_{1})=\frac{f(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})}{1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}-f(x_{1})\)

\(=\frac{f(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})-f(x_{1})+f(x_{2}-x_{1})f^{2}(x_{1})}{1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}\)

\(=\frac{f(x_{2}-x_{1})[1+f^{2}(x_{1})]}{1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}\) 

若已知当\(0<x<\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)>0\)，且\(f(x)\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上满足\(f(x_{2}-x_{1})>0\)，\(1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})>0\)，则\(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)，所以\(f(x)\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上是增函数 。

八、函数的单调性与单调区间

1. 函数单调性的定义

函数的单调性是函数的一个重要局部性质，它描述了函数在某个区间内的变化趋势。如前面所述，函数在某个区间上单调递增（是增函数）是指对于该区间内的任意两个自变量的值\(x_{1}\)、\(x_{2}\)，当\(x_{1}<x_{2}\)时，都有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)；函数在某个区间上单调递减（是减函数）是指当\(x_{1}<x_{2}\)时，都有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)。

例如，函数\(y = 3x - 1\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的。任取\(x_{1}<x_{2}\)，则\(f(x_{1})=3x_{1}-1\)，\(f(x_{2})=3x_{2}-1\)，\(f(x_{2})-f(x_{1})=(3x_{2}-1)-(3x_{1}-1)=3(x_{2}-x_{1})>0\)，所以它是增函数。

2. 单调区间的定义

单调区间是函数定义域的一个子区间，在这个子区间上函数具有单调性。如果函数\(y = f(x)\)在区间\(D\)上是增函数或减函数，那么就说函数\(y = f(x)\)在这一区间\(D\)上具有单调性，区间\(D\)叫做\(y = f(x)\)的单调区间。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，它的定义域是\((-\infty,+\infty)\)。它的单调递减区间是\((-\infty,0]\)，在这个区间内，对于任意\(x_{1}<x_{2}\leqslant0\)，有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)；它的单调递增区间是\([0,+\infty)\)，在这个区间内，对于任意\(0\leqslant x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)。

九、求函数单调区间的方法

1. 定义法：求函数的单调区间

设函数\(y = f(x)\)，在定义域内任取\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，计算\(f(x_{2})-f(x_{1})\)。

若\(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)，则函数在区间\((x_{1},x_{2})\)上是增函数；

若\(f(x_{2})-f(x_{1})<0\)，则函数在区间\((x_{1},x_{2})\)上是减函数。

求函数\(f(x)=x^{2}\)的单调区间。

设\(x_{1}<x_{2}\)，\(f(x_{2}) - f(x_{1})=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})\)。

当\(x_{1}<x_{2}<0\)时，\(x_{2}-x_{1}>0\)，\(x_{2}+x_{1}<0\)，所以\(f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})<0\)，函数\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上是减函数。

当\(0<x_{1}<x_{2}\)时，\(x_{2}-x_{1}>0\)，\(x_{2}+x_{1}>0\)，所以\(f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})>0\)，函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上是增函数。

2. 导数法：求函数的单调区间

对函数\(y = f(x)\)求导，得到\(f^{\prime}(x)\)。

令\(f^{\prime}(x)>0\)，解不等式得到的区间就是函数的增区间；

令\(f^{\prime}(x)<0\)，解不等式得到的区间就是函数的减区间。

求函数\(y = x^{3}-3x\)的单调区间。

对\(y\)求导，\(y^{\prime}=3x^{2}-3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。

令\(y^{\prime}>0\)，即\(3(x + 1)(x - 1)>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-1\)，所以函数的增区间是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)。

令\(y^{\prime}<0\)，即\(3(x + 1)(x - 1)<0\)，解得\(-1<x<1\)，所以函数的减区间是\((-1,1)\)。

3. 图像法：求函数的单调区间

画出函数\(y = f(x)\)的图像。

根据图像的上升和下降趋势来确定单调区间。

图像上升的区间是增区间，图像下降的区间是减区间。

对于函数\(y = |x|\)，其图像是\(y=\left\{\begin{array}{l}x,x\geqslant0\\ -x,x<0\end{array}\right.\)。

从图像可以看出，在\((-\infty,0)\)上图像是下降的，所以函数在\((-\infty,0)\)上是减函数；

在\((0,+\infty)\)上图像是上升的，所以函数在\((0,+\infty)\)上是增函数。

4. 复合函数法：求函数的单调区间

对于复合函数\(y = f(g(x))\)，先确定内层函数\(u = g(x)\)和外层函数\(y = f(u)\)。

分别求出内层函数和外层函数的单调区间。

根据“同增异减”原则来确定复合函数的单调区间。即

当内层函数和外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；

当内层函数和外层函数的单调性不同时，复合函数为减函数。

求函数\(y=(x^{2}-1)^{2}\)的单调区间。

令\(u = x^{2}-1\)，则\(y = u^{2}\)。

对于\(u=x^{2}-1\)，其对称轴为\(x = 0\)，在\((-\infty,0)\)上是减函数，在\((0,+\infty)\)上是增函数。

对于\(y = u^{2}\)，在\((-\infty,0)\)上是减函数，在\((0,+\infty)\)上是增函数。

根据“同增异减”原则，当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(u\)是增函数，\(y\)是增函数，所以复合函数是增函数；当\(x\in(-1,0)\)时，\(u\)是减函数，\(y\)是增函数，所以复合函数是减函数；当\(x\in(0,1)\)时，\(u\)是增函数，\(y\)是减函数，所以复合函数是减函数；当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(u\)是增函数，\(y\)是增函数，所以复合函数是增函数。

十、函数单调性的深度理解

1. 从函数图像角度理解单调性

函数的单调性直观地体现在其图像上。对于增函数，其图像就像一个“爬坡”的过程，随着自变量\(x\)从左向右增大，函数值\(y\)也在不断增大。例如，一次函数\(y = 3x+2\)的图像是一条直线，斜率为\(3\gt0\)，它在整个定义域\((-\infty,+\infty)\)上是增函数，图像是从左向右上升的。

对于减函数，其图像是一个“下坡”的过程。比如，函数\(y=-2x + 1\)，斜率为\(- 2\lt0\)，在定义域\((-\infty,+\infty)\)上是减函数，图像从左向右下降。

而且，通过观察函数图像的上升和下降区间，可以直接确定函数的单调区间。例如，对于二次函数\(y=x^{2}-1\)，其图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为\(y\)轴（\(x = 0\)）。在对称轴左侧，即\((-\infty,0]\)上，图像下降，函数是减函数；在对称轴右侧，即\([0,+\infty)\)上，图像上升，函数是增函数。

2. 从变化率角度理解单调性

函数的单调性实际上也反映了函数的变化率。对于增函数，其变化率（也就是导数，若函数可导）是大于零的。变化率表示函数在某一点处的瞬时变化快慢。以速度函数为例，如果速度是时间的增函数，那就意味着随着时间的推移，速度在不断增加。

例如，对于自由落体运动的位移函数\(y=\frac{1}{2}gt^{2}\)（\(g\)是重力加速度），对其求导得到速度函数\(v = gt\)，速度\(v\)是时间\(t\)的增函数，这表示随着时间的增加，物体下落的速度越来越快，其变化率\(g\)是一个大于零的常数。

对于减函数，其变化率是小于零的。比如，一个物体在做匀减速直线运动时，其速度函数是时间的减函数，速度随着时间的增加而减小，其变化率（加速度）是小于零的。

3. 单调性与函数运算的关系

当我们对函数进行加、减、乘、除等运算时，函数的单调性会发生相应的变化。如前面提到的，两个增函数相加得到的函数仍然是增函数。从实际意义理解，假设\(y_{1}=f(x)\)和\(y_{2}=g(x)\)是两个增函数，\(y_{1}\)表示某商店某种商品的成本随时间的增加而增加，\(y_{2}\)表示该商品的运输费用随时间的增加而增加，那么总费用\(y = y_{1}+y_{2}\)也会随时间的增加而增加，即\(y\)是增函数。

一个增函数减去一个减函数是增函数。例如，设\(y_{1}=f(x)\)是增函数，\(y_{2}=g(x)\)是减函数。可以想象\(y_{1}\)表示一个容器中液体的注入速度（越来越快），\(y_{2}\)表示液体的泄漏速度（越来越慢），那么净注入速度\(y = y_{1}-y_{2}\)就会越来越快，即\(y\)是增函数。

4. 单调性在实际问题中的应用

在经济领域，函数单调性可以用来分析成本函数、利润函数等。例如，某产品的成本函数\(C(x)\)是产量\(x\)的增函数，这意味着随着产量的增加，成本也在增加。如果利润函数\(P(x)=R(x)-C(x)\)（其中\(R(x)\)是收入函数），要使利润最大，就需要分析收入函数和成本函数的单调性等性质，找到合适的产量使得利润最大。

在物理领域，如前面提到的运动学问题，通过分析位移函数、速度函数等的单调性，可以了解物体的运动状态是加速还是减速。在工程领域，函数单调性也有助于优化设计，例如分析结构强度函数随某个设计参数的变化情况，找到使结构强度最优的参数范围。

十一、没有单调性的函数

1. 常函数

常函数是指函数值不随自变量的变化而变化的函数，例如\(y = c\)（\(c\)为常数）。对于任意的\(x_{1}\)和\(x_{2}\)，都有\(f(x_{1})=f(x_{2}) = c\)，它不满足增函数（当\(x_{1}<x_{2}\)时，\(f(x_{1})<f(x_{2})\)）和减函数（当\(x_{1}<x_{2}\)时，\(f(x_{1})>f(x_{2})\)）的定义，所以没有单调性。

比如\(y = 5\)这个函数，无论\(x\)取何值，\(y\)的值始终是\(5\)。它的图像是一条平行于\(x\)轴的直线，不存在上升或者下降的区间。

2. 周期函数（部分情况）

一些周期函数在整个定义域内没有单调性。例如，三角函数\(y = \sin x\)，它的定义域是\((-\infty,+\infty)\)，周期是\(2\pi\)。

在区间\([0,2\pi]\)内，它从\(0\)开始先上升到\(1\)（在\(x=\frac{\pi}{2}\)处），然后下降到\(- 1\)（在\(x=\frac{3\pi}{2}\)处），接着又上升到\(0\)（在\(x = 2\pi\)处）。所以在整个定义域\((-\infty,+\infty)\)内，它不是单调递增或单调递减的。

不过，周期函数在某些特定区间内可以有单调性。比如\(y = \sin x\)在区间\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上是单调递增的，在区间\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上是单调递减的。

3. 分段函数（复杂情况）

某些复杂的分段函数在整个定义域内没有单调性。例如，设函数\(y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \geq 0\\ -x,x < 0\end{array}\right.\)。

当\(x_{1}=-1\)，\(x_{2}=1\)时，\(f(x_{1})=-(-1) = 1\)，\(f(x_{2})=1\)，\(f(x_{1})=f(x_{2})\)；当\(x_{1}=-2\)，\(x_{2}=1\)时，\(f(x_{1})=-(-2)=2\)，\(f(x_{2})=1\)，\(f(x_{1})>f(x_{2})\)；当\(x_{1} = 0\)，\(x_{2}=1\)时，\(f(x_{1})=0\)，\(f(x_{2})=1\)，\(f(x_{1})<f(x_{2})\)。所以在整个定义域\((-\infty,+\infty)\)内，它不是单调函数。

但是，分段函数在其各个分段区间内可以有单调性。如上述函数，在区间\((-\infty,0)\)上是单调递减的（\(y=-x\)，斜率\(-1 < 0\)），在区间\([0,+\infty)\)上是单调递增的（\(y = x\)，斜率\(1>0\)）。

知道函数的单调性后能做什么？

1. 函数最值的求解

对于单调函数，求其最值是比较方便的。如果函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，那么\(f(x)\)在\(x = a\)处取得最小值\(f(a)\)，在\(x = b\)处取得最大值\(f(b)\)。

例如，函数\(y = 2x+1\)在区间\([1,3]\)上单调递增。当\(x = 1\)时，\(y_{min}=2\times1 + 1=3\)；当\(x = 3\)时，\(y_{max}=2\times3+1 = 7\)。

反之，若函数在区间上单调递减，最小值和最大值的位置则相反。比如函数\(y=-3x + 5\)在区间\([0,2]\)上单调递减，\(x = 0\)时，\(y_{max}= - 3\times0+5 = 5\)；\(x = 2\)时，\(y_{min}=-3\times2 + 5=-1\)。

2. 函数零点个数的判断

利用函数单调性和函数值的变化趋势可以帮助判断函数零点的个数。如果函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增（或递减），且\(f(a)\)与\(f(b)\)异号，那么函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内有且仅有一个零点。

例如，对于函数\(y=x^{3}-x - 1\)，对其求导可得\(y^{\prime}=3x^{2}-1\)。令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

当\(x\in(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增；当\(x\in(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减；当\(x\in(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

通过计算\(f(-1)=-1 + 1-1=-1\)，\(f(1)=1 - 1-1=-1\)，\(f(2)=8 - 2-1 = 5\)，可以发现\(f(1)\)与\(f(2)\)异号，所以函数在区间\((1,2)\)内有一个零点。

3. 不等式的求解

当我们知道函数的单调性后，可以利用它来求解不等式。例如，已知函数\(y = f(x)\)在区间\([m,n]\)上单调递增，且\(f(a)>f(b)\)，那么可以得出\(a > b\)（前提是\(a,b\in[m,n]\)）。

比如，对于函数\(y=\ln x\)，它在区间\((0,+\infty)\)上单调递增。若\(\ln x_{1}>\ln x_{2}\)，则可以直接得出\(x_{1}>x_{2}>0\)。

对于单调递减函数则相反。如函数\(y = \frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减，若\(\frac{1}{x_{1}}>\frac{1}{x_{2}}\)（\(x_{1},x_{2}>0\)），则\(x_{1}<x_{2}\)。

4. 函数图像的绘制

单调性是绘制函数图像的重要依据之一。知道函数在哪些区间单调递增，哪些区间单调递减，可以帮助我们更准确地勾勒出函数的大致形状。

例如，对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，当\(a>0\)时，函数图像开口向上，对称轴为\(x = -\frac{b}{2a}\)，在区间\((-\infty,-\frac{b}{2a})\)上单调递减，在区间\((-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递增。根据这些信息，我们就可以先确定顶点位置和单调性，然后画出函数的草图。

1. 判断函数单调性并证明

例1：判断函数\(y = 2x + 1\)在\((-\infty,+\infty)\)上的单调性并证明。

解：设\(x_{1}<x_{2}\)，\(x_{1},x_{2}\in(-\infty,+\infty)\)。

则\(y_{1}=2x_{1}+1\)，\(y_{2}=2x_{2}+1\)。

\(y_{2}-y_{1}=(2x_{2}+1)-(2x_{1}+1)=2(x_{2}-x_{1})\)。

因为\(x_{1}<x_{2}\)，所以\(x_{2}-x_{1}>0\)，则\(y_{2}-y_{1}>0\)，即\(y_{2}>y_{1}\)。

所以函数\(y = 2x + 1\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。

例2：判断函数\(y=-3x + 2\)在\((-\infty,+\infty)\)上的单调性并证明。

解：设\(x_{1}<x_{2}\)，\(x_{1},x_{2}\in(-\infty,+\infty)\)。

则\(y_{1}=-3x_{1}+2\)，\(y_{2}=-3x_{2}+2\)。

\(y_{2}-y_{1}=(-3x_{2}+2)-(-3x_{1}+2)= - 3(x_{2}-x_{1})\)。

因为\(x_{1}<x_{2}\)，所以\(x_{2}-x_{1}>0\)，则\(y_{2}-y_{1}<0\)，即\(y_{2}<y_{1}\)。

所以函数\(y=-3x + 2\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递减。

例3：证明函数\(y = x^{2}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

解：设\(0<x_{1}<x_{2}\)。

则\(y_{1}=x_{1}^{2}\)，\(y_{2}=x_{2}^{2}\)。

\(y_{2}-y_{1}=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=(x_{2}+x_{1})(x_{2}-x_{1})\)。

因为\(0<x_{1}<x_{2}\)，所以\(x_{2}+x_{1}>0\)，\(x_{2}-x_{1}>0\)。

所以\(y_{2}-y_{1}>0\)，即函数\(y = x^{2}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

2. 求函数单调区间

例4：求函数\(y = x^{2}-4x + 3\)的单调区间。

解：对函数\(y = x^{2}-4x + 3\)求导得\(y^{\prime}=2x - 4\)。

令\(y^{\prime}=0\)，即\(2x - 4 = 0\)，解得\(x = 2\)。

当\(x<2\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减；当\(x>2\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

所以函数的单调递减区间是\((-\infty,2)\)，单调递增区间是\((2,+\infty)\)。

例5：求函数\(y=\frac{1}{x - 1}\)的单调区间。

解：函数\(y=\frac{1}{x - 1}\)的定义域为\(\{x|x\neq1\}\)。

对函数求导得\(y^{\prime}=-\frac{1}{(x - 1)^{2}}\)。

当\(x<1\)或\(x>1\)时，\(y^{\prime}<0\)。

所以函数\(y=\frac{1}{x - 1}\)在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递减。

例6：求函数\(y = \sin x - \cos x\)在\([0,2\pi]\)上的单调区间。

解：\(y = \sin x - \cos x=\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})\)。

令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant x - \frac{\pi}{4}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)。

解得\(2k\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant2k\pi+\frac{3\pi}{4},k\in Z\)。

当\(k = 0\)时，在\([0,2\pi]\)内，单调递增区间是\([0,\frac{3\pi}{4}]\)和\([\frac{7\pi}{4},2\pi]\)。

令\(2k\pi+\frac{\pi}{2}\leqslant x - \frac{\pi}{4}\leqslant2k\pi+\frac{3\pi}{2},k\in Z\)。

解得\(2k\pi+\frac{3\pi}{4}\leqslant x\leqslant2k\pi+\frac{7\pi}{4},k\in Z\)。

当\(k = 0\)时，在\([0,2\pi]\)内，单调递减区间是\([\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}]\)。

3. 利用单调性比较函数值大小

例7：已知函数\(y = f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，且\(f(1)=2\)，\(f(3)=4\)，比较\(f(2)\)与\(3\)的大小。

解：因为函数\(y = f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，\(f(1)=2\)，\(f(3)=4\)。

所以\(f(1)<f(2)<f(3)\)，即\(2<f(2)<4\)，所以\(f(2)>3\)。

例8：已知函数\(y = \ln x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，比较\(\ln 2\)与\(\ln\sqrt{e}\)的大小。

解：因为函数\(y = \ln x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，且\(2>\sqrt{e}\)。

所以\(\ln 2>\ln\sqrt{e}\)。

4. 利用单调性求函数最值

例9：求函数\(y = -x^{2}+2x + 3\)在\([-1,2]\)上的最大值和最小值。

解：对函数\(y = -x^{2}+2x + 3\)求导得\(y^{\prime}=-2x + 2\)。

令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)。

当\(x\in[-1,1)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增；当\(x\in(1,2]\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

计算\(y(-1)= - 1 - 2 + 3 = 0\)，\(y(1)= - 1 + 2 + 3 = 4\)，\(y(2)= - 4 + 4 + 3 = 3\)。

所以最大值是\(4\)，最小值是\(0\)。

例10：求函数\(y=\frac{x^{2}+1}{x}\)在\([\frac{1}{2},2]\)上的最值。

解：\(y = x+\frac{1}{x}\)，对其求导得\(y^{\prime}=1-\frac{1}{x^{2}}\)。

令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)或\(x=-1\)（舍去）。

当\(x\in[\frac{1}{2},1)\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减；当\(x\in(1,2]\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

计算\(y(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)，\(y(1)=2\)，\(y(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)。

所以最小值是\(2\)，最大值是\(\frac{5}{2}\)。

5. 复合函数单调性

例11：判断函数\(y=(x^{2}-1)^{3}\)的单调性。

解：令\(u = x^{2}-1\)，则\(y = u^{3}\)。

函数\(u = x^{2}-1\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

函数\(y = u^{3}\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。

根据复合函数“同增异减”的原则，当\(x\in(-\infty,0)\)时，函数\(y=(x^{2}-1)^{3}\)单调递减；当\(x\in(0,+\infty)\)时，函数\(y=(x^{2}-1)^{3}\)单调递增。

例12：已知函数\(y = f(u)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，\(u = g(x)= - x^{2}+2x\)，求函数\(y = f(g(x))\)的单调区间。

解：对于\(u = g(x)= - x^{2}+2x\)，其对称轴为\(x = 1\)，在\((-\infty,1)\)上单调递增，在\((1,+\infty)\)上单调递减。

因为\(y = f(u)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。

根据复合函数“同增异减”的原则，函数\(y = f(g(x))\)在\((-\infty,1)\)上单调递增，在\((1,+\infty)\)上单调递减。

6. 函数单调性与不等式

例13：已知函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增，且\(f(a)=1\)，\(f(b)=3\)，解不等式\(1<f(x)<3\)。

解：因为函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增，\(f(a)=1\)，\(f(b)=3\)。

所以不等式\(1<f(x)<3\)的解集为\((a,b)\)。

例14：已知函数\(y = \ln x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，解不等式\(\ln(x - 1)<\ln 3\)。

解：因为函数\(y = \ln x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

所以\(\left\{\begin{array}{l}x - 1>0\\x - 1<3\end{array}\right.\)，解得\(1<x<4\)。

7. 抽象函数单调性

例15：设函数\(y = f(x)\)对任意的\(x_{1},x_{2}\in R\)，当\(x_{1}<x_{2}\)时，有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，且\(f(0)=0\)，判断函数\(y = f(x)\)的单调性并证明。

解：函数\(y = f(x)\)在\(R\)上单调递增。

证明：设\(x_{1}<x_{2}\)，\(x_{1},x_{2}\in R\)。

已知当\(x_{1}<x_{2}\)时，有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，所以函数\(y = f(x)\)在\(R\)上单调递增。

例16：已知函数\(y = f(x)\)的定义域为\((0,+\infty)\)，且对任意的\(x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)\)，都有\(f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})\)，当\(x>1\)时，\(f(x)>0\)，判断函数\(y = f(x)\)的单调性并证明。

解：函数\(y = f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

证明：设\(x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(\frac{x_{2}}{x_{1}}>1\)。

因为当\(x>1\)时，\(f(x)>0\)，所以\(f(\frac{x_{2}}{x_{1}})>0\)。

\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{1}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}})-f(x_{1})=f(x_{1})+f(\frac{x_{2}}{x_{1}})-f(x_{1})=f(\frac{x_{2}}{x_{1}})>0\)。

所以\(f(x_{2})>f(x_{1})\)，函数\(y = f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

8. 函数单调性的综合应用

例17：已知函数\(y = f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，函数\(y = g(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递减，判断函数\(y = f(x)+g(x)\)的单调性。

解：设\(x_{1}<x_{2}\)，\(x_{1},x_{2}\in(-\infty,+\infty)\)。

则\([f(x_{2})+g(x_{2})]-[f(x_{1})+g(x_{1})]=[f(x_{2})-f(x_{1})]+[g(x_{2})-g(x_{1})]\)。

因为\(y = f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，所以\(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)；\(y = g(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递减，所以\(g(x_{2})-g(x_{1})<0\)。

但是\([f(x_{2})-f(x_{1})]+[g(x_{2})-g(x_{1})]\)的正负不确定。

所以函数\(y = f(x)+g(x)\)的单调性不确定。

数学基础 - 中初数学、高中数学