不等式 02 实数大小比较的依据
1. 数轴法
依据：实数与数轴上的点一一对应。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
示例：例如，要比较\(3\)和\(-2\)的大小，在数轴上，\(3\)对应的点在\(-2\)对应的点的右边，所以\(3 > - 2\)。同样，对于任意两个实数\(a\)和\(b\)，如果\(a\)对应的点在数轴上位于\(b\)对应的点的右边，那么\(a > b\)；反之，如果\(a\)对应的点在\(b\)对应的点的左边，那么\(a < b\)。
2. 作差法
依据：设\(a\)、\(b\)是两个实数，则\(a - b\)的值与\(0\)的大小关系可以确定\(a\)和\(b\)的大小关系。
具体规则：
若\(a - b>0\)，则\(a>b\)。例如，比较\(5\)和\(3\)，\(5-3 = 2>0\)，所以\(5>3\)。
若\(a - b = 0\)，则\(a = b\)。比如，对于\(4\)和\(4\)，\(4 - 4 = 0\)，所以\(4 = 4\)。
若\(a - b<0\)，则\(a<b\)。例如，比较\(2\)和\(4\)，\(2 - 4=-2 < 0\)，所以\(2<4\)。
应用场景：这种方法适用于比较两个代数式的大小。例如，比较\(x^{2}+1\)和\(2x\)的大小，可作差\((x^{2}+1)-2x=(x - 1)^{2}\)。因为\((x - 1)^{2}\geq0\)，所以\(x^{2}+1\geq2x\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号。
3. 作商法
依据：当\(a\)、\(b\)是两个同号（同为正或同为负）的实数时，\(\frac{a}{b}\)的值与\(1\)的大小关系可以确定\(a\)和\(b\)的大小关系。
具体规则：
若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}>1\)时，\(a>b\)。例如，比较\(4\)和\(3\)，\(\frac{4}{3}>1\)，且\(4\)和\(3\)都是正数，所以\(4>3\)。
若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}=1\)时，\(a = b\)。比如，对于\(5\)和\(5\)，\(\frac{5}{5}=1\)，所以\(5 = 5\)。
若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}<1\)时，\(a<b\)。例如，比较\(3\)和\(4\)，\(\frac{3}{4}<1\)，且\(3\)和\(4\)都是正数，所以\(3<4\)。
若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}>1\)时，\(a<b\)。例如，比较\(-3\)和\(-4\)，\(\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}<1\)，但因为\(-3\)和\(-4\)都是负数，所以\(-3>-4\)。
若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}=1\)时，\(a = b\)。比如，对于\(-6\)和\(-6\)，\(\frac{-6}{-6}=1\)，所以\(-6=-6\)。
若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}<1\)时，\(a>b\)。例如，比较\(-4\)和\(-5\)，\(\frac{-4}{-5}=\frac{4}{5}<1\)，且\(-4\)和\(-5\)都是负数，所以\(-4>-5\)。
应用场景：作商法常用于比较两个正数的大小，尤其是当两个数是分数或者含有幂运算等形式时比较方便。例如，比较\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{5}{7}\)的大小，\(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{21}{20}>1\)，所以\(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\)。
4. 绝对值比较法
依据：对于两个实数\(a\)和\(b\)，\(\vert a\vert\)表示\(a\)到原点的距离，\(\vert b\vert\)表示\(b\)到原点的距离。
具体规则：
当\(\vert a\vert>\vert b\vert\)时，如果\(a\)是正数，\(b\)是正数，那么\(a>b\)；如果\(a\)是负数，\(b\)是负数，那么\(a < b\)。例如，比较\(5\)和\(3\)，\(\vert5\vert = 5\)，\(\vert3\vert = 3\)，\(\vert5\vert>\vert3\vert\)且\(5\)和\(3\)都是正数，所以\(5>3\)；比较\(-5\)和\(-3\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert - 3\vert = 3\)，\(\vert - 5\vert>\vert - 3\vert\)且\(-5\)和\(-3\)都是负数，所以\(-5 < - 3\)。
当\(\vert a\vert=\vert b\vert\)时，\(a = b\)或\(a = - b\)。例如，\(\vert4\vert=\vert - 4\vert = 4\)。
当\(\vert a\vert<\vert b\vert\)时，如果\(a\)是正数，\(b\)是正数，那么\(a<b\)；如果\(a\)是负数，\(b\)是负数，那么\(a>b\)。例如，比较\(3\)和\(5\)，\(\vert3\vert = 3\)，\(\vert5\vert = 5\)，\(\vert3\vert<\vert5\vert\)且\(3\)和\(5\)都是正数，所以\(3<5\)；比较\(-3\)和\(-5\)，\(\vert - 3\vert = 3\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert - 3\vert<\vert - 5\vert\)且\(-3\)和\(-5\)都是负数，所以\(-3>-5\)。
