圆锥曲线 13 比较圆锥曲线的第三定义

1. 椭圆的第三定义

定义内容：平面内的动点到两定点（椭圆的两个端点）连线的斜率之积为定值（该定值为负数且不等于 - 1）的点的轨迹是椭圆。

数学表达式：设\(A(-a,0)\)，\(B(a,0)\)是椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)的左右顶点，\(P(x,y)\)是椭圆上任意一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y}{x + a}\cdot\frac{y}{x - a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)（定值）。

曲线特征体现：这个定义从斜率的角度刻画了椭圆的形状。它表明椭圆上任意一点与长轴两个端点连线的斜率乘积是一个固定的负数，反映了椭圆的弯曲程度和形状特点。

举例：对于椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，\(a = 3\)，\(b = 2\)，左右顶点为\((- 3,0)\)和\((3,0)\)，设\(P(x,y)\)是椭圆上一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{4}{9}\)。

2. 双曲线的第三定义

定义内容：平面内的动点到两定点（双曲线的两个端点）连线的斜率之积为定值（该定值为正数）的点的轨迹是双曲线。

数学表达式：设\(A(-a,0)\)，\(B(a,0)\)是双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > 0,b > 0)\)的左右顶点，\(P(x,y)\)是双曲线上任意一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y}{x + a}\cdot\frac{y}{x - a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\)（定值）。

曲线特征体现：通过双曲线上一点与顶点连线斜率之积为定值来定义双曲线，体现了双曲线两支向外无限延伸的特征。这个定值为正，与双曲线的开口方向和渐近线等性质相关联，反映了双曲线的形状变化规律。

举例：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1\)，\(a = 2\)，\(b = 3\)，左右顶点为\((-2,0)\)和\((2,0)\)，设\(P(x,y)\)是双曲线上一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{9}{4}\)。

3. 抛物线的第三定义（较特殊）

定义内容（一种表述）：平面内到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离相等的点的轨迹是抛物线。从另一个角度看，抛物线上一点与某一定点连线的斜率和它到准线垂直的直线斜率之积为 - 1（这可以看作一种特殊的“斜率关系”来体现抛物线的特性）。

数学表达式（以\(y^{2}=2px(p>0)\)为例）：设焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，准线\(x = -\frac{p}{2}\)，\(P(x,y)\)是抛物线上一点，过\(P\)作准线的垂线，垂足为\(H\)，则\(k_{PF}\cdot k_{PH}=- 1\)（\(k_{PH}\)趋近于无穷大时，可从极限角度理解）。

曲线特征体现：抛物线的这种“斜率关系”体现了它的轴对称性和开口特性。因为抛物线是到定点和定直线距离相等的点的轨迹，所以这种斜率关系反映了其在几何上的独特性质，即所有平行于对称轴的光线经抛物线反射后都会汇聚于焦点（或从焦点发出的光线经反射后平行于对称轴）。

举例：对于抛物线\(y^{2}=4x\)，焦点\(F(1,0)\)，准线\(x = - 1\)，设\(P(x,y)\)是抛物线上一点，过\(P\)作准线的垂线，垂足为\(H\)，当\(P\)点变化时，\(k_{PF}\cdot k_{PH}=-1\)的关系始终成立，这体现了抛物线的反射特性。

4. 比较

斜率乘积的性质

椭圆的斜率乘积是负数且不等于 - 1，这使得椭圆的轨迹是封闭的曲线，其形状是向内部弯曲的。双曲线的斜率乘积是正数，导致双曲线的轨迹是两支向外无限延伸的曲线。抛物线的“斜率关系”相对特殊，更侧重于体现其到定点和定直线距离相等的性质以及反射特性。

曲线形状与斜率关系的联系

椭圆的第三定义通过斜率乘积体现了其作为封闭曲线的特性，其形状是由长轴和短轴决定的，斜率乘积反映了椭圆上点相对于长轴端点的位置变化规律。双曲线的第三定义中的斜率乘积体现了其两支曲线的开放性和渐近线的性质，随着点向无穷远处移动，斜率乘积保持不变，与双曲线的渐近线方向有关。抛物线的“斜率关系”紧密联系着它的对称轴和开口方向，反映了其反射性质和单支无限延伸的特点。