不等式 02 利用不等式的性质求代数式的取值范围

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一、基本原理

不等式的性质是解决此类问题的关键依据，主要有以下三条常见性质：

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

即若\(a > b\)，则\(a + c > b + c\)，\(a - c > b - c\)。

性质2：不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变。

即若\(a > b\)，\(c > 0\)，则\(ac > bc\)，\(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)。

性质3：不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变。

即若\(a > b\)，\(c < 0\)，则\(ac < bc\)，\(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)。

通过对已知不等式进行合理的变形、运算，运用这些性质逐步推导出目标代数式的取值范围。

二、常见题型及解法

（一）已知一个不等式，求另一个相关代数式的取值范围

例1：已知\(2 < x < 5\)，求\(3x + 1\)的取值范围。

解题步骤：

首先，根据不等式性质2，对不等式\(2 < x < 5\)两边同时乘以\(3\)，可得：\(2×3 < 3x < 5×3\)，即\(6 < 3x < 15\)。

然后，再根据不等式性质1，对\(6 < 3x < 15\)两边同时加\(1\)，得到：\(6 + 1 < 3x + 1 < 15 + 1\)，也就是\(7 < 3x + 1 < 16\)。

所以\(3x + 1\)的取值范围是\(7 < 3x + 1 < 16\)。

例2：已知\(-3 \leq y \leq 2\)，求\(2 - 4y\)的取值范围。

解题步骤：

第一步，先根据不等式性质2和3，对不等式\(-3 \leq y \leq 2\)两边同时乘以\(-4\)，因为乘以负数，不等号方向改变，所以可得：\((-3)×(-4) \geq -4y \geq 2×(-4)\)，即\(12 \geq -4y \geq -8\)。

第二步，再根据不等式性质1，对\(12 \geq -4y \geq -8\)两边同时加\(2\)，得到：\(12 + 2 \geq 2 - 4y \geq -8 + 2\)，也就是\(14 \geq 2 - 4y \geq -6\)。

所以\(2 - 4y\)的取值范围是\(-6 \leq 2 - 4y \leq 14\)。

（二）已知多个不等式，求由它们组成的代数式的取值范围

例3：已知\(\begin{cases}1 < x < 3 \\ 2 < y < 4\end{cases}\)，求\(x + y\)的取值范围。

解题步骤：

把两个不等式相加来求\(x + y\)的范围，根据不等式性质1，对于\(1 < x < 3\)和\(2 < y < 4\)，将它们对应相加可得：\((1 + 2) < x + y < (3 + 4)\)，即\(3 < x + y < 7\)。

所以\(x + y\)的取值范围是\(3 < x + y < 7\)。

例4：已知\(\begin{cases}-1 \leq a \leq 2 \\ 3 \leq b \leq 5\end{cases}\)，求\(2a - b\)的取值范围。

解题步骤：

先分别求出\(2a\)的取值范围，根据不等式性质2，对\(-1 \leq a \leq 2\)两边同时乘以\(2\)，可得：\(-1×2 \leq 2a \leq 2×2\)，即\(-2 \leq 2a \leq 4\)。

然后求\(2a - b\)的取值范围，对于\(-2 \leq 2a \leq 4\)和\(3 \leq b \leq 5\)，根据不等式性质1和3，将\(-2 \leq 2a \leq 4\)中的各项减去\(3 \leq b \leq 5\)中的对应项（相当于两边同时减去\(b\)，但要注意不等号方向变化情况），可得：\((-2 - 5) \leq 2a - b \leq (4 - 3)\)，即\(-7 \leq 2a - b \leq 1\)。

所以\(2a - b\)的取值范围是\(-7 \leq 2a - b \leq 1\)。

（三）已知两个代数式取值范围求新代数式取值范围

例5：已知\(\begin{cases}-4 \leq x-y \leq -1 \\ -1 \leq 4x-y \leq 5\end{cases}\)，求\(9x - y\)的取值范围。

本题考查利用已知不等式组中代数式的取值范围来求另一个代数式的取值范围，我们可以通过将已知代数式进行合理变形、组合，再运用不等式的性质来求解，以下是具体步骤：

步骤一：设未知数，构建等式关系

设\(9x - y = m(x - y) + n(4x - y)\)，将其展开可得：

\[\begin{align*}9x - y &= m(x - y) + n(4x - y)\\&= mx - my + 4nx - ny\\&=(m + 4n)x + (-m - n)y\end{align*}\]

则可得到方程组\(\begin{cases}m + 4n = 9\\ -m - n = -1\end{cases}\)

步骤二：解方程组

将上述两个方程相加来消去\(m\)，可得：

\(\begin{align*}(m + 4n) + (-m - n) &= 9 + (-1)\\m + 4n - m - n &= 8\\3n &= 8\\n &= \frac{8}{3}\end{align*}\)

把\(n = \frac{8}{3}\)代入\(-m - n = -1\)，可得：

\(\begin{align*}-m - \frac{8}{3} &= -1\\-m &= -1 + \frac{8}{3}\\-m &= \frac{5}{3}\\m &= -\frac{5}{3}\end{align*}\)

所以\(9x - y = -\frac{5}{3}(x - y) + \frac{8}{3}(4x - y)\)。

步骤三：根据已知不等式组求取值范围

因为\(-4 \leq x - y \leq -1\)，根据不等式性质，两边同时乘以\(-\frac{5}{3}\)，不等号方向改变，可得：

\(\begin{align*}(-1)×\left(-\frac{5}{3}\right) &\leq -\frac{5}{3}(x - y) \leq (-4)×\left(-\frac{5}{3}\right)\\\frac{5}{3} &\leq -\frac{5}{3}(x - y) \leq \frac{20}{3}\end{align*}\)

又因为\(-1 \leq 4x - y \leq 5\)，两边同时乘以\(\frac{8}{3}\)，不等号方向不变，可得：

\(\begin{align*}(-1)×\frac{8}{3} &\leq \frac{8}{3}(4x - y) \leq 5×\frac{8}{3}\\-\frac{8}{3} &\leq \frac{8}{3}(4x - y) \leq \frac{40}{3}\end{align*}\)