不等式 02 不等关系与不等式
1. 不等关系的概念
在现实生活和数学问题中，存在着大量的不等关系。例如，两个人的身高不同、两个物体的重量不一样、两个数的大小有差别等。不等关系是通过比较两个量而产生的，用符号“\(>\)”（大于）、“\(<\)”（小于）、“\(\geq\)”（大于或等于）、“\(\leq\)”（小于或等于）来表示。
比如，小明的身高是\(180cm\)，小红的身高是\(165cm\)，那么就可以表示为小明的身高\(>\)小红的身高。
2. 不等式的定义和表示
定义：用不等号（\(>\)、\(<\)、\(\geq\)、\(\leq\)、\(\neq\)）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。
例如，\(3x + 2>5\)，\(x^{2}-1\leq0\)，\(a + b\neq c\)等都是不等式。不等式中的数或字母代表的数是有一定取值范围的，这个取值范围叫做不等式的解集。
不等式的解与解集：
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如，对于不等式\(x - 1>0\)，\(x = 2\)是它的一个解，因为当\(x = 2\)时，\(2 - 1 = 1>0\)，不等式成立。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式\(x - 1>0\)的解集是\(x>1\)，这意味着所有大于\(1\)的数都是这个不等式的解。
3. 不等式的基本性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用字母表示为：如果\(a>b\)，那么\(a + c>b + c\)；\(a - c>b - c\)。例如，已知\(5>3\)，那么\(5+2>3 + 2\)（即\(7>5\)），\(5-1>3 - 1\)（即\(4>2\)）。
性质2：不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变。
用字母表示为：如果\(a>b\)，\(c>0\)，那么\(ac>bc\)；\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)。例如，已知\(4>2\)，当\(c = 2\)时，\(4\times2>2\times2\)（即\(8>4\)），\(\frac{4}{2}>\frac{2}{2}\)（即\(2>1\)）。
性质3：不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变。
用字母表示为：如果\(a>b\)，\(c<0\)，那么\(ac<bc\)；\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)。例如，已知\(4>2\)，当\(c=-2\)时，\(4\times(-2)<2\times(-2)\)（即\(-8 < - 4\)），\(\frac{4}{-2}<\frac{2}{-2}\)（即\(-2 < - 1\)）。
4. 比较两个数或式子的大小
作差法：
基本原理是：若\(a - b>0\)，则\(a>b\)；若\(a - b = 0\)，则\(a = b\)；若\(a - b<0\)，则\(a<b\)。例如，比较\(x^{2}+1\)和\(2x\)的大小，可以作差\((x^{2}+1)-2x=(x - 1)^{2}\)。因为\((x - 1)^{2}\geq0\)，所以\(x^{2}+1\geq2x\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号。
作商法：
当\(a\)、\(b\)同号（同为正或同为负）时，若\(\frac{a}{b}>1\)，则\(a>b\)；若\(\frac{a}{b}=1\)，则\(a = b\)；若\(\frac{a}{b}<1\)，则\(a<b\)。例如，比较\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{5}{7}\)的大小，\(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{21}{20}>1\)，所以\(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\)。
5. 不等式在实际生活中的应用
例如，在购物时，有不同的套餐选择。某超市有两种购物卡，A卡充值\(100\)元送\(10\)元，B卡充值\(150\)元送\(30\)元。设购物金额为\(x\)元，使用A卡后的实际花费为\(y_{A}=100 +(x - 110)\)（当\(x>110\)时），使用B卡后的实际花费为\(y_{B}=150+(x - 180)\)（当\(x>180\)时）。要比较哪种卡更划算，就可以通过比较\(y_{A}\)和\(y_{B}\)的大小来确定，这就需要用到不等式的知识。通过解不等式\(y_{A}<y_{B}\)，可以得到在一定购物金额范围内哪种卡更实惠。
