初中数学 05 整式：因式分解
一、提公因式法
原理：公因式是多项式各项都含有的公共的因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
步骤：
找出多项式各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式\(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy^3\)，系数\(6\)、\(-9\)、\(3\)的最大公因数是\(3\)。
确定各项中相同字母的最低次幂。在上述多项式中，\(x\)的最低次幂是\(x\)，\(y\)的最低次幂是\(y\)。
提取公因式。该多项式的公因式是\(3xy\)，提取后得到\(3xy(2x^2-3xy + y^2)\)。
应用场景：这是最基本的因式分解方法，当多项式各项有明显的公因式时优先使用。
例如，在化简式子\(4a^3b - 6a^2b^2\)或者解方程\(3x(x - 1)+2(x - 1)=0\)（可先提取公因式\((x - 1)\)）时会用到。
二、公式法
平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)
应用条件：当多项式是两项式，且这两项可以写成平方的形式，符号相反时适用。
示例：分解因式\(9x^2 - 16y^2\)，这里\(a = 3x\)，\(b = 4y\)，根据平方差公式可得\((3x + 4y)(3x - 4y)\)。
完全平方公式：\(a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2\)
应用条件：当多项式是三项式，其中两项是平方项（系数为正），且另一项是这两个平方项底数乘积的\(2\)倍（符号可正可负）时适用。
示例：
对于\(x^2 + 6x + 9\)，其中\(a = x\)，\(b = 3\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)的形式，所以\((x + 3)^2\)。
对于\(4x^2 - 12x + 9\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3\)，符合\(a^2-2ab + b^2\)的形式，分解为\((2x - 3)^2\)。
立方和公式：\((a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3\)
立方差公式：\((a - b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3\)
应用条件：当多项式是两项式，且这两项是立方的形式时考虑使用。
示例：
分解因式\(8x^3 + 27y^3\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据立方和公式可得\((2x + 3y)(4x^2-6xy + 9y^2)\)。
对于\(x^3 - 8\)，其中\(a = x\)，\(b = 2\)，根据立方差公式分解为\((x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)。
完全立方公式：
\((a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a - b)^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
应用条件：当多项式是四项式，且各项系数和次数符合完全立方公式的形式时使用。
示例：分解因式\(x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3\)，这里\(a = x\)，\(b = 2y\)，根据完全立方公式可得\((x + 2y)^3\)。
三、分组分解法
原理：通过将多项式适当分组，使每组都有公因式或者可以利用公式进行分解，然后再对整体进行分解。
步骤：
观察多项式的项数和各项的特点进行分组。
例如，对于多项式\(ax + ay + bx + by\)，可以分为两组\((ax + ay)\)和\((bx + by)\)。
对每组分别进行因式分解。\(ax + ay=a(x + y)\)，\(bx + by=b(x + y)\)。
提取组间公因式。得到\((a + b)(x + y)\)。
应用场景：当多项式的项数较多（一般大于三项），且直接提取公因式或用公式法不方便时使用。
例如，分解因式\(a^2 - ab + ac - bc\)，分组为\((a^2 - ab)+(ac - bc)=a(a - b)+c(a - b)=(a + c)(a - b)\)。
四、十字相乘法
二次三项式十字相乘法：
原理：对于二次三项式\(ax^2+bx + c\)（\(a\neq0\)），如果能找到两个数\(m\)、\(n\)，使得\(m + n = b\)，\(mn = ac\)，那么\(ax^2 + bx + c=(x + m)(x + n)\)。
步骤：
分解二次项系数\(a\)和常数项\(c\)。例如，对于\(2x^2 + 5x + 3\)，分解二次项系数\(2 = 1\times2\)，常数项\(3 = 1\times3\)。
尝试不同的组合，使得交叉相乘再相加的结果等于一次项系数。\(\begin{array}{c|c}1 & 1\\\hline2 & 3\end{array}\)，\(1\times3+2\times1 = 5\)，所以\(2x^2 + 5x + 3=(x + 1)(2x + 3)\)。
双十字相乘法（用于二元二次多项式）：
原理：对于形如\(ax^2 + bxy+cy^2+dx + ey + f\)的多项式，通过两次十字相乘来分解因式。
步骤（以\(x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y + 3\)为例）：
先将含\(x\)的项和含\(y\)的二次项进行十字相乘。对于\(x^2 + 3xy + 2y^2\)，可分解为\((x + 2y)(x + y)\)。
然后将得到的式子与常数项以及含\(x\)、\(y\)的一次项进行第二次十字相乘。假设\((x + 2y + m)(x + y + n)\)，通过展开并对比系数来确定\(m\)和\(n\)的值，最终得到\((x + 2y + 1)(x + y + 3)\)。
应用场景：十字相乘法在分解二次三项式时非常高效，是初中数学中常用的方法之一，尤其在解方程（如一元二次方程）和化简代数式时经常用到。
五、添项、拆项法
原理：根据多项式的特点，在多项式中添加某些项或者将某些项拆开，使其能够利用已有的因式分解方法进行分解。
示例：分解因式\(x^4 + 4\)，可以添加\(4x^2\)和减去\(4x^2\)，得到\(x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2=(x^2 + 2)^2-(2x)^2\)，然后利用平方差公式分解为\((x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)\)。
应用场景：当多项式的形式比较特殊，无法直接用其他方法分解时可以尝试添项、拆项法。
六、待定系数法
原理：当我们知道一个多项式可以分解成某种形式，但不确定其中的系数时，可以先设出分解后的形式，然后通过比较系数来确定这些系数的值。
示例：已知多项式\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)可以分解为\((x - a)(x - b)(x - c)\)的形式，将其展开得到\(x^3-(a + b + c)x^2+(ab + ac + bc)x - abc\)。通过比较系数，\(a + b + c = 2\)，\(ab + ac + bc=-5\)，\(abc=-6\)，通过尝试不同的整数组合，可发现\(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = 3\)，所以\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6=(x - 1)(x + 2)(x - 3)\)。
应用场景：在分解一些复杂的多项式或者确定多项式分解后的具体形式时使用。
