函数 03 幂函数：判断一个幂函数的基本特征
1. 观察函数表达式形式
首先确定函数是否为幂函数的标准形式\(y = x^{\alpha}\)，其中\(\alpha\)是常数。
例如，\(y = 3x^{2}\)是幂函数\(y = x^{2}\)的变形（系数不为\(1\)），本质上还是幂函数类型；
例如，\(y = 2^{x}\)不是幂函数，它是指数函数。
2. 判断定义域
当\(\alpha\)为正整数时：定义域一般为\(R\)（全体实数）。
例如，\(y = x^{3}\)，对于任何实数\(x\)，\(x^{3}\)都有定义。
当\(\alpha\)为负整数时：定义域是\(\{x|x\neq0\}\)。
例如，如\(y = x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\)，\(x = 0\)会使函数无意义。
当\(\alpha\)为分数（分母为偶数）：定义域为\(\{x|x\geq0\}\)。
例如，\(y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，因为负数不能开偶次方根，所以\(x\)必须非负。
当\(\alpha\)为分数（分母为奇数）：定义域为\(R\)。
例如，\(y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\)，任何实数都能开立方。
3. 分析值域
当\(\alpha\)为正整数或正分数（分母为奇数）且定义域为\(R\)时：
若\(\alpha\)为偶数，值域为\([0,+\infty)\)（当\(x = 0\)时\(y = 0\)，且函数图象开口向上），如\(y = x^{2}\)；若\(\alpha\)为奇数，值域为\(R\)，例如\(y = x^{3}\)，当\(x\to-\infty\)时，\(y\to-\infty\)，当\(x\to+\infty\)时，\(y\to+\infty\)。
当\(\alpha\)为正分数（分母为偶数）时：值域为\([0,+\infty)\)，因为根号下的数非负，如\(y = x^{\frac{1}{2}}\)。
当\(\alpha\)为负整数或负分数时：
值域为\(\{y|y>0\}\)（当\(x\neq0\)），例如\(y = x^{-1}=\frac{1}{x}\)，\(x\neq0\)时，\(y\neq0\)，且\(x\)与\(y\)同号，所以\(y>0\)。
4. 研究单调性
当\(\alpha>0\)时：
若\(\alpha>1\)（包括正整数情况），函数在\((0,+\infty)\)上单调递增，且\(\alpha\)越大，增长速度越快。例如\(y = x^{3}\)比\(y = x^{2}\)在\((0,+\infty)\)上增长得更快。
若\(0<\alpha<1\)，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增，但增长速度相对较慢，如\(y = x^{\frac{1}{2}}\)。
当\(\alpha<0\)时：函数在\((0,+\infty)\)上单调递减，如\(y = x^{-1}\)，在\((0,+\infty)\)上，随着\(x\)增大，\(y\)减小。
对于幂函数在\((-\infty,0)\)上的单调性，当\(\alpha\)为偶数时，函数在\((-\infty,0)\)上单调递减；当\(\alpha\)为奇数时，函数在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。
5. 判断奇偶性
当\(\alpha\)为偶数且定义域关于原点对称时：函数是偶函数。例如\(y = x^{2}\)，\(f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)\)。
当\(\alpha\)为奇数时：函数是奇函数。如\(y = x^{3}\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)。
若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶，比如\(y = x^{\frac{1}{2}}\)，定义域为\([0,+\infty)\)，不满足奇偶性的定义。
6. 想象图象特征
当\(\alpha>1\)时：图象在第一象限是上升的，且上升速度越来越快，过点\((1,1)\)和\((0,0)\)（当定义域包含\(0\)时）。
当\(0<\alpha<1\)时：图象在第一象限也是上升的，但上升速度较慢，形状较为“平缓”，同样过点\((1,1)\)和\((0,0)\)（当定义域包含\(0\)时）。
当\(\alpha<0\)时：图象在第一象限和第三象限（当定义域包含负数时），在\(x\)轴和\(y\)轴方向都趋近于坐标轴，像双曲线一样，过点\((1,1)\)。
