函数 03 隐函数：\(F(x,y)=0\)

隐函数的定义

设\(F(x,y)\)是一个含有两个变量\(x\)和\(y\)的表达式，如果在一定条件下，由方程\(F(x,y)=0\)能够确定\(y\)是\(x\)的函数，或者\(x\)是\(y\)的函数，那么称这种函数为隐函数。

例如，方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，在\(y\geq0\)的条件下可以确定\(y=\sqrt{1 - x^{2}}\)，这就是一个隐函数。在这个例子中，函数关系不是像\(y = f(x)\)这样直接给出，而是隐含在方程之中。

常见的隐函数

直线方程：如\(x + y - 1 = 0\)，可以确定\(y = 1 - x\)，但方程本身是隐函数形式，它表示了\(x\)与\(y\)之间的线性关系.

二次曲线方程：

椭圆方程：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\(a\)、\(b\)为常数且\(a\gt0\)，\(b\gt0\)。在这个方程中，\(y\)是\(x\)的隐函数，并且对于不同的\(x\)取值范围，可以得到不同的\(y\)关于\(x\)的表达式。

双曲线方程：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，同样\(a\)、\(b\)为常数且\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，该方程也确定了\(y\)是\(x\)的隐函数关系。

抛物线方程：\(y^{2}=2px\)（\(p\gt0\)），它表示了\(y\)与\(x\)之间的一种隐函数关系，并且根据\(x\)的取值可以得到两个\(y\)的值，即\(y=\pm\sqrt{2px}\)。

三角函数方程：如\(x - \sin y = 0\)，可确定\(y = \arcsin x\)，但方程\(x - \sin y = 0\)是隐函数形式，通过隐函数求导等方法可以研究其性质.

指数函数方程：例如\(e^{x}+y - x = 0\)，设\(F(x,y)=e^{x}+y - x\)，根据隐函数存在定理及求导法则，可以求出\(y\)关于\(x\)的导数等性质。

对数函数方程：像\(\ln y + x - 1 = 0\)，可以确定\(y = e^{1 - x}\)，而原方程是隐函数形式，在求导等运算时需要运用隐函数求导法则。

笛卡尔叶形线方程：\(x^{3}+y^{3}-3axy = 0\)，\(a\)为常数且\(a\neq0\)。此方程确定的隐函数\(y = f(x)\)的一阶与二阶导数等性质在数学分析中是常见的研究对象.

其他方程：如\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\)，它是一个三元隐函数，表示了三维空间中的一个球面，通过隐函数求偏导等方法可以得到球面上某点处的法向量等几何性质.

隐函数的存在定理

隐函数存在定理是判断隐函数是否存在的重要依据。

以二元函数为例，如果函数\(F(x,y)\)在点\(P(x_{0},y_{0})\)的某一邻域内具有连续的偏导数，且\(F(x_{0},y_{0}) = 0\)，\(F_{y}(x_{0},y_{0})\neq0\)，那么在点\(P\)的某邻域内，方程\(F(x,y)=0\)能唯一确定一个具有连续导数的函数\(y = f(x)\)，它满足\(y_{0}=f(x_{0})\)，并且\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}\)。

例如，对于方程\(e^{x}+y - x = 0\)，设\(F(x,y)=e^{x}+y - x\)，\(F_{x}=e^{x}-1\)，\(F_{y}=1\)，在很多点上满足隐函数存在定理的条件，所以在这些点的邻域内可以确定隐函数。

隐函数的求导方法

直接法：对\(F(x,y)=0\)两边同时对\(x\)求导，在求导过程中，把\(y\)看作\(x\)的函数，利用复合函数求导法则进行求导。

例如，对于\(x^{2}+y^{2}=1\)，两边对\(x\)求导得\(2x + 2y\cdot y^{\prime}=0\)，然后解出\(y^{\prime}=-\frac{x}{y}\)（这里\(y\neq0\)）。

公式法：根据隐函数存在定理中的公式\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}\)来求导。

例如，对于方程\(xy - \sin y = 0\)，设\(F(x,y)=xy - \sin y\)，则\(F_{x}=y\)，\(F_{y}=x - \cos y\)，所以\(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x - \cos y}\)。

隐函数与显函数的区别和联系

区别：显函数是形如\(y = f(x)\)的函数，能直接表示出因变量\(y\)关于自变量\(x\)的表达式。而隐函数是由方程\(F(x,y)=0\)确定的函数关系，\(y\)关于\(x\)的表达式不直接给出。

例如，\(y = 3x + 2\)是显函数，而\(x^{2}+y^{2}-4 = 0\)是隐函数。

联系：有些隐函数可以通过一定的运算转化为显函数。但并不是所有的隐函数都能轻易地转化为显函数。

例如，对于\(y\ln x + x\ln y = 0\)，很难将其化为显函数形式来表示\(y\)关于\(x\)的关系，但我们仍然可以用隐函数求导的方法来研究它的导数等性质。而且，显函数也可以看作是一种特殊的隐函数，例如\(y = 2x - 1\)可以写成\(y - 2x + 1 = 0\)的隐函数形式。