解析几何 12 两条直线的夹角
1. 两条直线的夹角
两条直线相交会形成四个角，我们规定两条直线的夹角是指其中不大于\(90^{\circ}\)的角，这个角的范围是\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)。
2. 计算公式（基于斜率）
设直线\(l_1\)的斜率为\(k_1\)，直线\(l_2\)的斜率为\(k_2\)。
当\(1 + k_1k_2\neq0\)时，两条直线的夹角\(\theta\)的正切值\(\tan\theta=\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|\)。
例如，直线\(l_1\)的斜率\(k_1 = 1\)，直线\(l_2\)的斜率\(k_2 = -1\)，则\(\tan\theta=\left|\frac{1-(-1)}{1 + 1\times(-1)}\right|=\infty\)，因为\(\tan\theta\)不存在，此时\(\theta = \frac{\pi}{2}\)，即两直线垂直。
3. 特殊情况说明
当一条直线斜率不存在时：
若直线\(l_1\)垂直于\(x\)轴（斜率不存在），直线\(l_2\)的斜率为\(k_2\)，此时两直线夹角\(\theta\)。若\(k_2 = 0\)，则\(\theta=\frac{\pi}{2}\)；若\(k_2\neq0\)，设直线\(l_1\)方程为\(x = a\)，直线\(l_2\)方程为\(y = k_2x + b\)，两直线交点为\((a,k_2a + b)\)，夹角\(\theta\)满足\(\tan\theta=\left|\frac{1}{k_2}\right|\)。
当两条直线斜率都不存在时：
若直线\(l_1\)和\(l_2\)都垂直于\(x\)轴，那么两直线平行或重合，夹角为\(0\)。
4. 基于直线一般式的夹角公式推导
对于直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，先求出它们的斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)（当\(B_1\neq0\)且\(B_2\neq0\)时）。
将其代入夹角正切公式\(\tan\theta=\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|\)，经过化简（过程涉及分式运算和绝对值处理）可以得到基于直线一般式的夹角公式\(\tan\theta=\left|\frac{A_1B_2 - A_2B_1}{A_1A_2 + B_1B_2}\right|\)（当\(A_1A_2 + B_1B_2\neq0\)时）。
5. 应用场景
在几何光学中，光线反射和折射问题会涉及到直线（光线传播方向）的夹角计算。例如，根据入射角等于反射角的原理，在计算反射光线和入射光线的夹角等问题时会用到。
在计算机图形学中，当处理图形的旋转、投影等变换操作时，也会涉及到两条直线（如投影线和原图形边缘线）夹角的计算，以此来确定图形的空间位置关系和视觉效果。
