不等式 02 倒数法则
1. 倒数的定义
对于非零实数\(a\)，\(\frac{1}{a}\)称为\(a\)的倒数。例如，\(2\)的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{1}{3}\)的倒数是\(-3\)。
2. 倒数法则在比较大小中的应用
同号两数的倒数法则
当\(a\)和\(b\)是同号的两个正数时，如果\(a > b\)，那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，\(3>2\)，它们的倒数分别是\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{1}{2}\)，而\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)。
当\(a\)和\(b\)是同号的两个负数时，如果\(a > b\)（此时\(a\)的绝对值小于\(b\)的绝对值），那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，\(-2>-3\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(-3\)的倒数是\(-\frac{1}{3}\)，而\(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\)。
异号两数的倒数与大小关系
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。所以正数大于负数，正数的倒数小于负数的倒数。例如，\(4\)是正数，\(-2\)是负数，\(4>-2\)，\(4\)的倒数是\(\frac{1}{4}\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}\)。
3. 倒数法则在不等式中的应用
不等式两边取倒数的规则
当\(a > b > 0\)时，两边同时取倒数，不等号方向改变，即\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，对于不等式\(3>2>0\)，两边取倒数得到\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)。
当\(0 > a > b\)时，两边同时取倒数，不等号方向改变，即\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，对于不等式\(-2 > - 3>0\)，两边取倒数得到\(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\)。
当\(a > 0 > b\)时，\(\frac{1}{a}>0\)，\(\frac{1}{b}<0\)，所以\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)。例如，对于\(4>0>-2\)，\(4\)的倒数是\(\frac{1}{4}\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}\)。
4. 倒数法则在分数运算和化简中的应用
在分数除法中，除以一个数等于乘以它的倒数。例如，\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}\)，这里\(\frac{4}{5}\)的倒数是\(\frac{5}{4}\)。
在化简分式时，也经常用到倒数。例如，对于分式\(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\)，先将分母中的\(\frac{1}{x}+1\)通分得到\(\frac{1 + x}{x}\)，那么原分式就变为\(\frac{x}{1 + x}\)，这里就是利用了倒数的关系进行化简。
