复数 07 复数的欧拉形式
复数的欧拉形式是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发现的，它建立了三角函数与复指数函数之间的深刻联系，为复数的表示和运算提供了一种简洁而强大的工具。
定义
对于任意实数\(\theta\)，欧拉公式为\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)。由此，一个非零复数\(z\)的三角形式\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)可以写成更简洁的欧拉形式\(z = re^{i\theta}\)，其中\(r\)是复数\(z\)的模（\(r\geq0\)），\(\theta\)是复数\(z\)的辐角，即复数\(z\)在复平面内与正实轴的夹角。
推导
欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)可以通过对指数函数、余弦函数和正弦函数的幂级数展开来推导：
指数函数\(e^x\)的幂级数展开式为\(e^{x}=1 + x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots\)。
余弦函数\(\cos x\)的幂级数展开式为\(\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\)。
正弦函数\(\sin x\)的幂级数展开式为\(\sin x=x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!}+\cdots\)。
将\(x = i\theta\)代入\(e^x\)的幂级数展开式中：
\[\begin{align*}e^{i\theta}&=1 + i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\frac{(i\theta)^{4}}{4!}+\frac{(i\theta)^{5}}{5!}+\frac{(i\theta)^{6}}{6!}+\cdots\\&=1 + i\theta-\frac{\theta^{2}}{2!}-i\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+i\frac{\theta^{5}}{5!}-\frac{\theta^{6}}{6!}-\cdots\\&=(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\frac{\theta^{6}}{6!}+\cdots)+i(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots)\\&=\cos\theta + i\sin\theta\end{align*}\]
运算性质
乘法：若有两个复数\(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\)和\(z_2 = r_2e^{i\theta_2}\)，则它们的乘积为\(z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。这表明，两个复数相乘时，模长相乘，辐角相加。
除法：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)（\(r_2\neq0\)），即两个复数相除时，模相除，辐角相减。
乘方：对于复数\(z = re^{i\theta}\)，其\(n\)次幂为\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)，这与棣莫弗定理是一致的。
开方：复数\(z = re^{i\theta}\)的\(n\)次方根为\(z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}\)，其中\(k = 0,1,\cdots,n - 1\)。
示例
把复数\(z = 1 + i\)化为欧拉形式。
先求模\(r\)：\(r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)。
再求辐角\(\theta\)：因为\(\tan\theta = 1\)且\(1 + i\)对应的点在第一象限，所以\(\theta=\frac{\pi}{4}\)。
则\(z\)的欧拉形式为\(z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)。
