函数 03 函数的奇偶性、奇函数、偶函数
一、函数的奇偶性的定义
奇函数：设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，如果对于任意的\(x\in D\)，都有\(f(-x)= - f(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)就叫做奇函数。
例如，函数\(y = x^{3}\)，对于任意\(x\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)，所以\(y = x^{3}\)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，这是奇函数的一个重要特征。
偶函数：设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，如果对于任意的\(x\in D\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)就叫做偶函数。
例如，函数\(y = x^{2}\)，对于任意\(x\)，\(f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)\)，所以\(y = x^{2}\)是偶函数。
偶函数的图像关于\(y\)轴对称，这是偶函数的一个重要特征。
二、函数的奇偶性的性质
图像性质
奇函数的图像性质：奇函数的图像关于原点对称。即若点\((x,y)\)在奇函数图像上，则点\((-x,-y)\)也一定在其图像上.
偶函数的图像性质：偶函数的图像关于\(y\)轴对称。也就是说，若点\((x,y)\)在偶函数图像上，那么点\((-x,y)\)同样在其图像上.
复合函数的奇偶性质（本文最后有详细讲解）
几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；若无偶函数则是奇函数.
导数性质
如果函数\(f(x)\)可导，当\(f(x)\)是奇函数时，其导函数\(f^\prime(x)\)是偶函数；
如果函数\(f(x)\)可导，当\(f(x)\)是偶函数时，其导函数\(f^\prime(x)\)是奇函数.
麦克劳林级数性质
如果函数\(f(x)\)为偶函数，则其麦克劳林展开式中只含\(x\)的偶次幂的项；
如果函数\(f(x)\)为奇函数，则其麦克劳林展开式中只含\(x\)的奇次幂的项.
特殊值性质：若奇函数\(f(x)\)在\(x = 0\)处有定义，则\(f(0)=0\)
三、函数的奇偶性的运算性质
加法运算
奇函数 + 奇函数 = 奇函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个奇函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)= - g(x)\)。对于\((f + g)(x)=f(x)+g(x)\)，则\((f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f + g)(x)\)，所以\(f + g\)是奇函数.
偶函数 + 偶函数 = 偶函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个偶函数，即\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((f + g)(x)=f(x)+g(x)\)，则\((f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f + g)(x)\)，所以\(f + g\)是偶函数.
奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶函数（一般情况）：设\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((f + g)(x)=f(x)+g(x)\)，\((f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)\)，一般情况下\(-f(x)+g(x)\neq(f + g)(x)\)且\(-f(x)+g(x)\neq-(f + g)(x)\)，所以\(f + g\)是非奇非偶函数.
减法运算
奇函数 - 奇函数 = 奇函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个奇函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)= - g(x)\)。对于\((f - g)(x)=f(x)-g(x)\)，则\((f - g)(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-(-g(x))=-f(x)+g(x)=-(f - g)(x)\)，所以\(f - g\)是奇函数.
偶函数 - 偶函数 = 偶函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个偶函数，即\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((f - g)(x)=f(x)-g(x)\)，则\((f - g)(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=(f - g)(x)\)，所以\(f - g\)是偶函数.
奇函数 - 偶函数 = 非奇非偶函数（一般情况）：设\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((f - g)(x)=f(x)-g(x)\)，\((f - g)(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)\)，一般情况下\(-f(x)-g(x)\neq(f - g)(x)\)且\(-f(x)-g(x)\neq-(f - g)(x)\)，所以\(f - g\)是非奇非偶函数.
乘法运算
奇函数×奇函数 = 偶函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个奇函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)= - g(x)\)。对于\((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\)，则\((f\times g)(-x)=f(-x)\times g(-x)=(-f(x))\times(-g(x))=f(x)\times g(x)=(f\times g)(x)\)，所以\(f\times g\)是偶函数.
偶函数×偶函数 = 偶函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个偶函数，即\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\)，则\((f\times g)(-x)=f(-x)\times g(-x)=f(x)\times g(x)=(f\times g)(x)\)，所以\(f\times g\)是偶函数.
奇函数×偶函数 = 奇函数：设\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\)，则\((f\times g)(-x)=f(-x)\times g(-x)=(-f(x))\times g(x)=-f(x)\times g(x)=-(f\times g)(x)\)，所以\(f\times g\)是奇函数.
除法运算
奇函数÷奇函数 = 偶函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个奇函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)= - g(x)\)。对于\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，则\((\frac{f}{g})(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{-f(x)}{-g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}=(\frac{f}{g})(x)\)，所以\(\frac{f}{g}\)是偶函数.
偶函数÷偶函数 = 偶函数：设\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个偶函数，即\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，则\((\frac{f}{g})(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{g(x)}=(\frac{f}{g})(x)\)，所以\(\frac{f}{g}\)是偶函数.
奇函数÷偶函数 = 奇函数：设\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，即\(f(-x)= - f(x)\)，\(g(-x)=g(x)\)。对于\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，则\((\frac{f}{g})(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{-f(x)}{g(x)}=-(\frac{f(x)}{g(x)})=-(\frac{f}{g})(x)\)，所以\(\frac{f}{g}\)是奇函数.
偶函数÷奇函数 = 奇函数：设\(f(x)\)是偶函数，\(g(x)\)是奇函数，即\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)= - g(x)\)。对于\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，则\((\frac{f}{g})(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{-g(x)}=-(\frac{f(x)}{g(x)})=-(\frac{f}{g})(x)\)，所以\(\frac{f}{g}\)是奇函数.
四、函数的奇偶性的判断方法
1、定义法：
首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，那么函数既不是奇函数也不是偶函数。
例如，函数\(y=\sqrt{x}\)，其定义域为\([0,+\infty)\)，不关于原点对称，所以它既不是奇函数也不是偶函数。
若定义域关于原点对称，再计算\(f(-x)\)，并与\(f(x)\)和\(-f(x)\)进行比较。
例如，对于函数\(y=\frac{1}{x^{2}+1}\)，定义域为\((-\infty,+\infty)\)关于原点对称，且\(f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}+1}=f(x)\)，所以该函数是偶函数。
2、图像法：
直接观察函数的图像。如果图像关于原点对称，那么函数是奇函数；如果图像关于\(y\)轴对称，那么函数是偶函数。
例如，通过画出\(y = \sin x\)的图像可以发现它是关于原点对称的，所以\(y = \sin x\)是奇函数；而\(y = \cos x\)的图像关于\(y\)轴对称，所以\(y = \cos x\)是偶函数。
五、奇偶性与函数其他性质的联系
与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。
例如，\(y = x^{3}\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的，在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上的单调性一致。
偶函数在关于\(y\)轴对称的区间上单调性相反。
例如，\(y = x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。
与积分：如果函数\(f(x)\)是奇函数，且积分区间\([-a,a]\)关于原点对称，那么\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0\)；如果函数\(f(x)\)是偶函数，且积分区间\([-a,a]\)关于原点对称，那么\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。
六、深度理解函数的奇偶性
1. 从定义本质理解
奇函数：对于函数\(y = f(x)\)，其奇偶性是一种关于函数值在自变量取相反数时的对称性质。奇函数的定义\(f(-x)= - f(x)\)表明，当\(x\)变为\(-x\)时，函数值变为原来函数值的相反数。从几何角度看，这意味着奇函数的图像关于原点对称。例如，\(y = x^{3}\)，当\(x = 1\)时，\(y = 1\)；当\(x=-1\)时，\(y=-1\)。这种对称性质是奇函数的核心特征，它反映了函数在原点两侧的一种“反向”对应关系。
偶函数：偶函数的定义\(f(-x)=f(x)\)体现了函数值关于\(y\)轴的对称性。即自变量取相反数时，函数值不变。例如，\(y = x^{2}\)，不管\(x\)是\(1\)还是\(-1\)，函数值都是\(1\)。从图像上看，就是以\(y\)轴为对称轴，左右两侧的函数值完全相同，这种对称性使得偶函数的图像在\(y\)轴两侧呈现出“镜像”的特点。
2. 从函数图像变化理解
平移与奇偶性：如果将一个奇函数\(y = f(x)\)沿着\(x\)轴方向平移\(a\)个单位（得到\(y = f(x - a)\)），当\(a\neq0\)时，其关于原点的对称性可能会被破坏，函数不再是奇函数。例如，将\(y = x^{3}\)向右平移\(1\)个单位得到\(y=(x - 1)^{3}\)，此时函数不再关于原点对称。对于偶函数，将其沿着\(x\)轴平移后，同样可能会失去关于\(y\)轴的对称性。但如果将一个偶函数沿着\(y\)轴方向平移\(b\)个单位（得到\(y = f(x)+b\)），其关于\(y\)轴的对称性依然保持，只是图像整体上下移动了。
伸缩与奇偶性：当对奇函数或偶函数进行\(x\)轴方向的伸缩变换（如\(y = f(kx)\)，\(k\neq1\)）时，其对称中心或对称轴的位置不变，但函数的形状会发生改变。例如，对于\(y = x^{3}\)，若变为\(y=(2x)^{3}=8x^{3}\)，函数依然是奇函数，关于原点对称，只是图像在\(x\)轴方向上被压缩了。对于\(y\)轴方向的伸缩（如\(y = kf(x)\)），奇函数和偶函数的对称性也不会改变，只是函数值的大小范围发生了变化。
3. 从函数运算角度理解
加法和减法运算：两个奇函数相加得到奇函数，这是因为对于两个奇函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，\((f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f + g)(x)\)，从本质上看，两个奇函数在取相反数的自变量时，它们各自变为原来函数值的相反数，相加后依然满足奇函数的定义。同理，两个偶函数相加得到偶函数，因为它们在自变量取相反数时函数值不变，相加后这个性质依然保持。而奇函数与偶函数相加得到非奇非偶函数，是因为奇函数部分在自变量取反时函数值改变，偶函数部分不变，导致相加后的结果无法满足奇函数或偶函数的定义。
乘法和除法运算：奇函数与奇函数相乘得到偶函数，是因为\((f\times g)(-x)=f(-x)\times g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=(f\times g)(x)\)，两个负号相乘变为正号，使得乘积函数满足偶函数的定义。偶函数与偶函数相乘得到偶函数，这是由于它们在自变量取反时函数值不变，相乘后依然不变。奇函数与偶函数相乘得到奇函数，是因为在这个过程中奇函数部分使得函数值在自变量取反时改变符号。对于除法运算，其原理与乘法类似，根据商的定义以及函数奇偶性的定义可以推导出相应的结果。
4. 在实际应用中的意义
物理应用：在物理学中，奇函数和偶函数的性质可以用于描述一些物理现象的对称性。例如，在电学中，若电流\(I(t)\)是时间\(t\)的奇函数，这可能意味着在时间反演（\(t\)变为\(-t\)）时，电流方向会反转，符合奇函数的性质。而偶函数可能用于描述一些具有对称分布的物理量，如某些对称电场或磁场在空间对称点上的分布情况。
信号处理：在信号与系统领域，奇函数和偶函数的概念也很重要。一个信号可以分解为奇函数部分和偶函数部分。例如，对于音频信号，这种分解可以帮助分析信号的不同成分，偶数部分可能代表信号的直流分量或对称的波形部分，奇函数部分可能与信号的变化率或相位变化等有关。
七、复合函数的奇偶性
1. 定义与判断方法
设\(y = f(u)\)和\(u = g(x)\)是两个函数，那么\(y = f(g(x))\)是复合函数。判断复合函数的奇偶性，关键是看\(f(u)\)和\(g(x)\)的奇偶性。
若\(g(x)\)是奇函数，\(f(u)\)是奇函数，那么对于复合函数\(y = f(g(x))\)，有\(y(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-y(x)\)，所以复合函数是奇函数。
例如，设\(g(x)= - x\)（奇函数），\(f(u)=u^{3}\)（奇函数），则复合函数\(y = f(g(x))=(-x)^{3}=-x^{3}\)是奇函数。
2. 不同奇偶性组合情况
奇 - 偶型：若\(g(x)\)是偶函数，\(f(u)\)是奇函数，对于复合函数\(y = f(g(x))\)，有\(y(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=y(x)\)，所以复合函数是偶函数。
例如，设\(g(x)=x^{2}\)（偶函数），\(f(u)=\sin u\)（奇函数），则复合函数\(y = f(g(x))=\sin(x^{2})\)是偶函数。
偶 - 奇型：若\(g(x)\)是奇函数，\(f(u)\)是偶函数，对于复合函数\(y = f(g(x))\)，有\(y(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=y(x)\)，所以复合函数是偶函数。
例如，设\(g(x)= - x\)（奇函数），\(f(u)=u^{2}\)（偶函数），则复合函数\(y = f(g(x))=(-x)^{2}=x^{2}\)是偶函数。
偶 - 偶型：若\(g(x)\)是偶函数，\(f(u)\)是偶函数，对于复合函数\(y = f(g(x))\)，有\(y(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=y(x)\)，所以复合函数是偶函数。
例如，设\(g(x)=x^{2}\)（偶函数），\(f(u)=u^{2}\)（偶函数），则复合函数\(y = f(g(x))=(x^{2})^{2}=x^{4}\)是偶函数。
3. 多层复合函数的奇偶性
对于多层复合函数，如\(y = f(g(h(x)))\)，可以从最内层函数开始，逐步向外判断奇偶性。
例如，设\(h(x)\)是奇函数，\(g(u)\)是偶函数，\(f(v)\)是奇函数。首先，\(g(h(x))\)是偶函数（因为是偶 - 奇型），然后\(f(g(h(x)))\)是奇函数（因为是奇 - 偶型）。
4. 与函数其他性质的联系
单调性：复合函数的奇偶性和单调性之间也有一定的联系。若外层函数\(y = f(u)\)单调，内层函数\(u = g(x)\)的奇偶性会影响复合函数\(y = f(g(x))\)的单调性。
例如，若\(f(u)\)是单调递增函数，\(g(x)\)是偶函数，那么复合函数\(y = f(g(x))\)在关于\(y\)轴对称的区间上单调性相反。因为当\(x\)在对称轴一侧增大时，\(g(x)\)的值变化情况和在另一侧\(x\)减小时\(g(x)\)的值变化情况相同，但由于\(f(u)\)单调递增，所以复合函数单调性相反。
知道函数的奇偶性后能做什么？
1. 函数图像的性质分析
对称性判断：如果函数\(y = f(x)\)是偶函数，那么它的图像关于\(y\)轴对称。这意味着对于任意\(x\)在定义域内，\(f(x)=f( - x)\)，在绘制函数图像时，只要画出\(y\)轴一侧的图像，另一侧就可以根据对称性得到。
例如，函数\(y = x^{2}\)是偶函数，当\(x = 2\)时，\(y = 4\)；当\(x=-2\)时，\(y = 4\)。它的图像是以\(y\)轴为对称轴的抛物线。
如果函数\(y = f(x)\)是奇函数，那么它的图像关于原点对称。即对于任意\(x\)在定义域内，\(f(-x)= - f(x)\)。
例如，函数\(y = x^{3}\)是奇函数，当\(x = 2\)时，\(y = 8\)；当\(x=-2\)时，\(y=-8\)。其图像是关于原点对称的曲线。
2. 函数值的快速计算
利用奇偶性化简计算：对于偶函数，\(f(x)=f( - x)\)，在计算函数值时，如果已知\(x\)某个正值对应的函数值，那么其对应的负值的函数值与之相同。
例如，已知\(f(x)\)是偶函数，且\(f(3)=5\)，那么\(f(-3)=f(3)=5\)。
对于奇函数，\(f(-x)= - f(x)\)。如果已知\(f(2)=3\)，那么\(f(-2)= - f(2)= - 3\)。
3. 积分计算中的应用（高等数学）
简化积分运算：在计算定积分时，如果被积函数是奇函数，且积分区间关于原点对称（如\([-a,a]\)），那么定积分的值为\(0\)。
例如，计算\(\int_{-1}^{1}x^{3}dx\)，因为\(y = x^{3}\)是奇函数，所以\(\int_{-1}^{1}x^{3}dx = 0\)。
如果被积函数是偶函数，且积分区间关于原点对称（如\([-a,a]\)），那么\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。
例如，计算\(\int_{-2}^{2}x^{2}dx\)，因为\(y = x^{2}\)是偶函数，所以\(\int_{-2}^{2}x^{2}dx = 2\int_{0}^{2}x^{2}dx = 2\times\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{2}=\frac{16}{3}\)。
4. 函数性质的综合判定
与单调性结合：知道函数的奇偶性和单调性可以更全面地了解函数。例如，若奇函数\(y = f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递增，根据奇函数的性质，它在区间\((-\infty,0)\)上也单调递增。
因为对于任意\(x_{1}<0<x_{2}\)，且\(\vert x_{1}\vert=x_{2}\)，有\(f(-x_{1})=-f(x_{1})\)，又因为\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(f(x_{2})>f(0)=0\)，从而\(-f(x_{1})>0\)，即\(f(x_{1})<0\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递增。
一、由函数奇偶性求函数的解析式
已知部分区间解析式求其他区间解析式（基于奇偶性）
奇函数情况
1. 原理：
对于奇函数\(f(x)\)，满足\(f(-x)= -f(x)\)。若已知函数\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)（或其他关于原点对称区间的一半）上的解析式，要求其在\((-\infty, 0)\)上的解析式，可通过将\(x\)换为\(-x\)，再利用奇函数性质进行推导。
2. 步骤及示例：
设奇函数\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上的解析式为\(f(x)=2x + 1\)，求\(f(x)\)在\((-\infty, 0)\)上的解析式。
令\(x \in (-\infty, 0)\)，则\(-x \in (0, +\infty)\)。
已知\(f(-x)=2(-x) + 1 = -2x + 1\)（因为\(-x\)满足已知区间的解析式）。
又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)= -f(-x)\)，将\(f(-x)= -2x + 1\)代入可得：
\(f(x)= -(-2x + 1)=2x - 1\)，这就是\(f(x)\)在\((-\infty, 0)\)上的解析式。
偶函数情况
1. 原理：
对于偶函数\(f(x)\)，满足\(f(-x)=f(x)\)。同样，若已知函数在\((0, +\infty)\)（或其他关于原点对称区间的一半）上的解析式，要得到在\((-\infty, 0)\)上的解析式，通过将\(x\)换为\(-x\)后利用偶函数性质来确定。
2. 步骤及示例：
设偶函数\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上的解析式为\(f(x)=3x^2 - 2x\)，求\(f(x)\)在\((-\infty, 0)\)上的解析式。
令\(x \in (-\infty, 0)\)，则\(-x \in (0, +\infty)\)。
已知\(f(-x)=3(-x)^2 - 2(-x)=3x^2 + 2x\)（\(-x\)代入已知区间解析式）。
因为\(f(x)\)是偶函数，即\(f(x)=f(-x)\)，所以\(f(x)=3x^2 + 2x\)，此即为\(f(x)\)在\((-\infty, 0)\)上的解析式。
已知函数满足的奇偶性条件及一些函数值等求解析式
奇函数情况
1. 原理：
除了利用\(f(-x)= -f(x)\)这一基本性质外，有时还会结合一些给定的特殊值来确定解析式中的未知参数等，从而完整求出函数解析式。
2. 步骤及示例：
已知\(f(x)\)是奇函数，且\(f(1)=2\)，\(f(x + 1)=f(x) + 1\)（\(x \in R\)），求\(f(x)\)的解析式。
首先，由奇函数性质\(f(-x)= -f(x)\)，且\(f(1)=2\)，可得\(f(-1)= -f(1)= -2\)。
对于\(f(x + 1)=f(x) + 1\)，令\(x = 0\)，则\(f(1)=f(0) + 1\)，又已知\(f(1)=2\)，所以\(f(0)=1\)。
令\(x = -1\)，\(f(0)=f(-1) + 1\)，已知\(f(-1)= -2\)，验证\(f(0)= -2 + 1 = 1\)是符合的。
下面通过迭代找规律求解析式：
由\(f(x + 1)=f(x) + 1\)可得：
\(f(x + 2)=f((x + 1) + 1)=f(x + 1) + 1 = f(x) + 2\)；
\(f(x + 3)=f((x + 2) + 1)=f(x + 2) + 1 = f(x) + 3\)；
以此类推，可得\(f(x + n)=f(x) + n\)（\(n \in Z\)）。
当\(x \in Z\)时，若\(x > 0\)，\(f(x)=f(1 + (x - 1))=f(1) + (x - 1)=2 + (x - 1)=x + 1\)；
若\(x < 0\)，令\(x = -m\)（\(m > 0\)），\(f(-m)= -f(m)\)，由前面\(f(m)=m + 1\)（\(m > 0\)），所以\(f(-m)= -(m + 1)= -x - 1\)。
综合可得\(f(x)=x + 1\)（\(x \in Z\)）。
对于\(x \in R\)，可进一步分析其连续性等情况来完善解析式（这里仅做简单示意，具体可能更复杂），假设\(f(x)\)在\(R\)上连续，可考虑利用极限等知识将其推广到整个实数域，比如可设\(f(x)\)在\(x\)为非整数时也满足线性关系等，大致可认为\(f(x)=x + 1\)（\(x \in R\)）。
偶函数情况
1. 原理：
利用\(f(-x)=f(x)\)这一性质，结合给定的函数相关条件（如特殊值、函数关系等）来确定解析式，方法与奇函数类似，但依据偶函数性质进行相应推导。
2. 步骤及示例：
已知\(f(x)\)是偶函数，\(f(0)=3\)，且\(f(x + 2)-f(x)=4x\)（\(x \in R\)），求\(f(x)\)的解析式。
由偶函数性质\(f(-x)=f(x)\)，且\(f(0)=3\)。
令\(x = 0\)代入\(f(x + 2)-f(x)=4x\)，可得\(f(2)-f(0)=0\)，所以\(f(2)=f(0)=3\)。
令\(x = -2\)，\(f(0)-f(-2)= -8\)，又因为\(f(-2)=f(2)=3\)，也符合条件。
设\(f(x)=ax^2 + bx + c\)（因为\(f(x + 2)-f(x)=4x\)有二次项特征，可先尝试设为二次函数形式）。
由\(f(0)=3\)可得\(c = 3\)。
\(f(x + 2)=a(x + 2)^2 + b(x + 2) + 3\)，\(f(x)=ax^2 + bx + 3\)。
将\(f(x + 2)-f(x)=4x\)展开并化简：
\[\begin{align*}&a(x + 2)^2 + b(x + 2) + 3-(ax^2 + bx + 3)=4x\\&a(x^2 + 4x + 4) + bx + 2b + 3 - ax^2 - bx - 3 = 4x\\&4ax + 4a + 2b = 4x\end{align*}\]
对比系数可得\(\begin{cases}4a = 4\\4a + 2b = 0\end{cases}\)，
解得\(\begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases}\)。
所以\(f(x)=x^2 - 2x + 3\)（\(x \in R\)）。
二、由函数奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义直接求函数值
奇函数情况
1. 原理：
对于奇函数\(f(x)\)，其满足\(f(-x)= -f(x)\)。若已知函数在某一点\(x_0\)处的函数值\(f(x_0)\)，那么就可以通过这个性质求出\(f(-x_0)\)的值，即\(f(-x_0)= -f(x_0)\)。
2. 示例：
已知函数\(f(x)\)是奇函数，且\(f(3)=5\)，根据奇函数的性质\(f(-x)= -f(x)\)，可得\(f(-3)= -f(3)= -5\)。
偶函数情况
1. 原理：
对于偶函数\(f(x)\)，满足\(f(-x)=f(x)\)。所以若知道函数在某一点\(x_0\)的函数值\(f(x_0)\)，就能直接得出\(f(-x_0)\)的值，也就是\(f(-x_0)=f(x_0)\)。
2. 示例：
若函数\(f(x)\)是偶函数，且\(f(2)=7\)，依据偶函数性质可知\(f(-2)=f(2)=7\)。
结合函数运算与奇偶性求函数值
多个函数相加或相减
1. 原理：
如果已知几个函数的奇偶性以及其中部分函数在某些点的函数值，通过函数运算后的奇偶性来求其他函数值。例如，若\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，那么\(h(x)=f(x)+g(x)\)的奇偶性可根据奇偶性定义判断，\(h(-x)=f(-x)+g(-x)= -f(x)+g(x)\)，它一般是非奇非偶函数，但可以利用\(f(x)\)、\(g(x)\)各自的奇偶性以及已知值来推导相关函数值。
2. 示例：
设\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，已知\(f(1)=3\)，\(g(1)=4\)，求\(h( - 1)\)的值，其中\(h(x)=f(x)+2g(x)\)。
首先，\(h(-1)=f(-1)+2g(-1)\)，因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-1)= -f(1)= -3\)；又因为\(g(x)\)是偶函数，所以\(g(-1)=g(1)=4\)。
那么\(h(-1)=f(-1)+2g(-1)= -3 + 2×4 = 5\)。
函数复合与奇偶性结合
1. 原理：
对于复合函数，若外层函数\(F(u)\)和内层函数\(u = g(x)\)的奇偶性已知，可先判断复合函数\(y = F(g(x))\)的奇偶性，再利用其奇偶性以及已知条件求函数值。比如，若\(g(x)\)是奇函数，\(F(u)\)是偶函数，那么复合函数\(y = F(g(x))\)是偶函数（可通过奇偶性定义验证），即\(F(g(-x)) = F(g(x))\)，进而利用已知值求解。
2. 示例：
设\(f(x)\)是偶函数，\(g(x)\)是奇函数，令\(h(x)=f(g(x))\)，已知\(g(2)= - 1\)，\(f(-1)=5\)，求\(h(-2)\)的值。
因为\(g(x)\)是奇函数，所以\(g(-2)= -g(2)= -(-1)=1\)。
又因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(h(-2)=f(g(-2))=f(1)\)，而\(f(1)=f(-1)=5\)（根据偶函数性质），故\(h(-2)=5\)。
利用奇偶性和函数方程求函数值
1. 原理：
当函数满足一些含有函数自身的方程，同时又具备奇偶性时，可以通过代入特殊值，结合奇偶性变换方程来逐步求出所需的函数值。
2. 示例：
已知函数\(f(x)\)是奇函数，且对于任意\(x\in R\)，有\(f(x + 2)-f(x)=0\)（即\(f(x + 2)=f(x)\)，说明函数是周期为\(2\)的周期函数），又已知\(f(1)=2\)，求\(f(5)\)的值。
因为函数周期为\(2\)，所以\(f(5)=f(4 + 1)=f(1)=2\)（这里先利用周期性质进行转化）。
或者从奇偶性角度来看，\(f(-1)= -f(1)= -2\)，再结合周期性质，\(f(5)=f(4 + 1)=f(2 + 1)=f(1)=2\)，也能得到相同结果。
三、已知函数奇偶性求参数
利用奇偶性的定义求参数
奇函数情况
1. 原理：
对于奇函数\(f(x)\)，根据定义有\(f(-x)= -f(x)\)。若函数表达式中含有参数，将\(f(-x)\)与\(-f(x)\)的表达式分别列出，然后通过等式恒成立的条件来确定参数的值。
2. 示例：
已知函数\(f(x)=\frac{ax + 1}{x^2 + b}\)是奇函数，求\(a\)和\(b\)的值。
首先求\(f(-x)\)：
\[\begin{align*}f(-x)&=\frac{a(-x) + 1}{(-x)^2 + b}\\&=\frac{-ax + 1}{x^2 + b}\end{align*}\]
又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)= -f(x)\)，而\(-f(x)=-\frac{ax + 1}{x^2 + b}=\frac{-ax - 1}{x^2 + b}\)。
那么\(\frac{-ax + 1}{x^2 + b}=\frac{-ax - 1}{x^2 + b}\)，要使这个等式恒成立，则分子对应相等，即\(-ax + 1 = -ax - 1\)，可得\(1 = -1\)（矛盾），这说明分子中\(x\)的系数\(a\)只能为\(0\)。
此时\(f(x)=\frac{1}{x^2 + b}\)，因为奇函数\(f(x)\)在\(x = 0\)处有定义时，\(f(0)=0\)，但\(f(0)=\frac{1}{b}\)，所以\(b \neq 0\)（分母不为\(0\)），且由于\(f(x)\)是奇函数，其定义域需关于原点对称，\(x^2 + b\)恒大于\(0\)，\(b\)可以取任意大于\(0\)的值（比如\(b = 1\)等），所以\(a = 0\)，\(b > 0\)（\(b\)具体值可根据题目其他限定条件进一步确定，若无其他条件则\(b\)只需满足大于\(0\)即可）。
偶函数情况
1. 原理：
对于偶函数\(f(x)\)，满足\(f(-x)=f(x)\)。同样，将函数表达式中含参数时的\(f(-x)\)与\(f(x)\)分别列出，依据等式恒成立来求解参数。
2. 示例：
已知函数\(f(x)=(a - 1)x^2 + bx + 3\)是偶函数，求\(a\)和\(b\)的值。
先求\(f(-x)\)：
\[\begin{align*}f(-x)&=(a - 1)(-x)^2 + b(-x) + 3\\&=(a - 1)x^2 - bx + 3\end{align*}\]
因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(-x)=f(x)\)，即\((a - 1)x^2 - bx + 3=(a - 1)x^2 + bx + 3\)。
要使该等式恒成立，则同类项系数对应相等，对于\(x\)的一次项系数，可得\(-b = b\)，解得\(b = 0\)。
而对于二次项系数，\(a - 1\)的取值不受影响，\(a\)可以取任意实数，所以\(a \in R\)，\(b = 0\)。
结合函数特殊性质及奇偶性求参数
利用函数在特殊点的值与奇偶性
1. 原理：
有些函数在特定点（如\(x = 0\)）有特殊性质与奇偶性相关联。比如奇函数在\(x = 0\)处有定义时，\(f(0)=0\)；偶函数关于\(y\)轴对称，\(f(0)\)的值可通过函数表达式确定，再结合其他条件来求参数。
2. 示例：
已知函数\(f(x)=\frac{x + a}{x^2 + 1}\)是奇函数，且\(f(1)=\frac{1 + a}{2}\)，求\(a\)的值。
因为\(f(x)\)是奇函数且在\(x = 0\)处有定义，根据奇函数性质\(f(0)=0\)，则\(f(0)=\frac{0 + a}{0^2 + 1}=a\)，所以\(a = 0\)。
此时可验证\(f(1)=\frac{1 + 0}{2}=\frac{1}{2}\)，符合已知条件，故\(a = 0\)。
结合函数的定义域与奇偶性
1. 原理：
函数的奇偶性要求定义域关于原点对称，若函数表达式中含参数且影响定义域时，可通过定义域关于原点对称这一条件先对参数进行限定，再结合奇偶性定义进一步确定参数值。
2. 示例：
已知函数\(f(x)=\log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})\)是奇函数（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)），求\(a\)的值。
首先，函数\(f(x)\)的定义域需满足\(x + \sqrt{x^2 + 1}>0\)，因为\(\sqrt{x^2 + 1}>\vert x\vert\)，所以\(x + \sqrt{x^2 + 1}>0\)恒成立，定义域为\(R\)，满足关于原点对称。
然后根据奇函数定义\(f(-x)= -f(x)\)来求解\(a\)。
\[\begin{align*}f(-x)&=\log_a(-x + \sqrt{x^2 + 1})\\&=\log_a\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}\\&=-\log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})=-f(x)\end{align*}\]
这符合对数函数的运算性质，所以\(a\)可以取任意大于\(0\)且不等于\(1\)的值，即\(a > 0\)且\(a \neq 1\)。
总之，已知函数奇偶性求参数，关键是依据奇偶性的定义建立等式，同时充分考虑函数的其他特性（如特殊点的值、定义域等），通过等式恒成立以及相关条件的分析来确定参数的取值。
1. 判断函数奇偶性基础例题
例1：判断函数\(f(x)=x^2\)的奇偶性。
解：函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，对于任意\(x\in R\)，\(f(-x)=(-x)^2 = x^2 = f(x)\)，所以函数\(f(x)=x^2\)是偶函数。
例2：判断函数\(g(x)=x^3\)的奇偶性。
解：函数\(g(x)\)的定义域为\(R\)，对于任意\(x\in R\)，\(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\)，所以函数\(g(x)=x^3\)是奇函数。
例3：判断函数\(h(x)=\frac{1}{x}\)，\(x\neq0\)的奇偶性。
解：函数\(h(x)\)的定义域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，对于任意\(x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，\(h(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-h(x)\)，所以函数\(h(x)=\frac{1}{x}\)是奇函数。
例4：判断函数\(y = 2x^4 - 3x^2 + 1\)的奇偶性。
解：函数定义域为\(R\)，对于任意\(x\in R\)，\(y(-x)=2(-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = 2x^4 - 3x^2 + 1 = y(x)\)，所以该函数是偶函数。
例5：判断函数\(y = 3x^3 - 2x\)的奇偶性。
解：函数定义域为\(R\)，对于任意\(x\in R\)，\(y(-x)=3(-x)^3 - 2(-x)= - 3x^3 + 2x=-(3x^3 - 2x)= - y(x)\)，所以该函数是奇函数。
2. 利用奇偶性求函数值例题
例6：已知函数\(f(x)\)是奇函数，且\(f(3)=5\)，求\(f(-3)\)的值。
解：因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)= - f(x)\)，那么\(f(-3)= - f(3)= - 5\)。
例7：已知函数\(g(x)\)是偶函数，且\(g(-2)=7\)，求\(g(2)\)的值。
解：因为\(g(x)\)是偶函数，所以\(g(-x)=g(x)\)，那么\(g(2)=g(-2)=7\)。
例8：若函数\(y = f(x)\)是奇函数，当\(x\in[0,3]\)时，\(f(x)=x^2 - 2x\)，求\(f(-2)\)的值。
解：当\(x\in[0,3]\)时，\(f(x)=x^2 - 2x\)，所以\(f(2)=2^2 - 2\times2 = 0\)。因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-2)= - f(2)=0\)。
3. 函数奇偶性与单调性综合例题
例9：已知奇函数\(y = f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，判断\(y = f(x)\)在\((-\infty,0)\)上的单调性。
解：设\(x_1<x_2<0\)，则\(-x_1>-x_2>0\)。因为\(y = f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(f(-x_1)>f(-x_2)\)。又因为\(y = f(x)\)是奇函数，所以\(-f(x_1)>-f(x_2)\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)，所以\(y = f(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递增。
例10：已知偶函数\(y = g(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递减，判断\(y = g(x)\)在\((-\infty,0]\)上的单调性。
解：设\(x_1<x_2\leq0\)，则\(-x_1>-x_2\geq0\)。因为\(y = g(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递减，所以\(g(-x_1)<g(-x_2)\)。又因为\(y = g(x)\)是偶函数，所以\(g(x_1)=g(-x_1)<g(-x_2)=g(x_2)\)，所以\(y = g(x)\)在\((-\infty,0]\)上单调递增。
4. 函数奇偶性与函数表达式例题
例11：已知函数\(f(x)\)是奇函数，且当\(x>0\)时，\(f(x)=x^2 + 2x\)，求\(x<0\)时\(f(x)\)的表达式。
解：当\(x<0\)时，\(-x>0\)，则\(f(-x)=(-x)^2 + 2(-x)=x^2 - 2x\)。因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)= - f(-x)= - (x^2 - 2x)= - x^2 + 2x\)。
例12：已知函数\(g(x)\)是偶函数，且当\(x\geq0\)时，\(g(x)=3x - 1\)，求\(x<0\)时\(g(x)\)的表达式。
解：当\(x<0\)时，\(-x>0\)，则\(g(-x)=3(-x)-1=-3x - 1\)。因为\(g(x)\)是偶函数，所以\(g(x)=g(-x)= - 3x - 1\)。
5. 函数奇偶性与图像例题
例13：已知函数\(y = f(x)\)是偶函数，其图像关于直线\(x = 2\)对称，且\(f(1)=3\)，求\(f(3)\)的值。
解：因为函数\(y = f(x)\)是偶函数，所以\(f(-x)=f(x)\)，则\(f(1)=f(-1)\)。又因为函数图像关于直线\(x = 2\)对称，所以\(f(3)=f(1)=3\)。
例14：已知函数\(y = f(x)\)是奇函数，其图像经过点\((2, - 5)\)，问函数图像还经过哪个点？
解：因为函数\(y = f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)= - f(x)\)。已知函数图像经过点\((2, - 5)\)，则\(f(-2)= - f(2)= - (-5)=5\)，所以函数图像还经过点\((-2,5)\)。
6. 多个函数组合的奇偶性例题
例15：判断函数\(y = f(x)g(x)\)的奇偶性，其中\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数。
解：对于任意\(x\)，\(y(-x)=f(-x)g(-x)= - f(x)g(x)= - y(x)\)，所以函数\(y = f(x)g(x)\)是奇函数。
例16：判断函数\(y = f(x)+g(x)\)的奇偶性，其中\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数。
解：对于任意\(x\)，\(y(-x)=f(-x)+g(-x)= - f(x)+g(x)\)，此时\(y(-x)\)与\(y(x)=f(x)+g(x)\)的关系不确定，所以函数\(y = f(x)+g(x)\)的奇偶性不确定。例如\(f(x)=x\)（奇函数），\(g(x)=1\)（偶函数），\(y(x)=x + 1\)是非奇非偶函数；若\(f(x)=x\)，\(g(x)=0\)，\(y(x)=x\)是奇函数。
例17：设\(F(x)=f(x)-f(-x)\)，判断\(F(x)\)的奇偶性，其中\(f(x)\)是任意函数。
解：对于任意\(x\)，\(F(-x)=f(-x)-f(x)= - [f(x)-f(-x)]=-F(x)\)，所以\(F(x)\)是奇函数。
7. 函数奇偶性在积分中的应用例题
例18：计算\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)。
解：因为\(y = x^3\)是奇函数，根据奇函数在关于原点对称区间上的定积分性质，\(\int_{-1}^{1}x^3dx = 0\)。
例19：计算\(\int_{-2}^{2}(x^2 + x)dx\)。
解：因为\(y = x^2\)是偶函数，\(y = x\)是奇函数。所以\(\int_{-2}^{2}x^2dx = 2\int_{0}^{2}x^2dx\)，\(\int_{-2}^{2}xdx = 0\)。则\(\int_{-2}^{2}(x^2 + x)dx=\int_{-2}^{2}x^2dx+\int_{-2}^{2}xdx = 2\int_{0}^{2}x^2dx+0=\frac{16}{3}\)。
例20：设函数\(y = f(x)\)是偶函数，证明\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\)，\(a>0\)。
解：\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\)，对于\(\int_{-a}^{0}f(x)dx\)，令\(x=-t\)，则\(dx=-dt\)，当\(x=-a\)时，\(t=a\)；当\(x = 0\)时，\(t = 0\)。所以\(\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(-t)(-dt)=\int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{0}^{a}f(x)dx\)。因此\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。
