复数 07 复数相等的充分必要条件
复数相等的充分必要条件是：
设两个复数\(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)，\(i\)为虚数单位），那么\(z_1 = z_2\)的充分必要条件是\(a = c\)且\(b = d\)。
1. 已知\(3 + 4i = x + yi\)，求\(x\)和\(y\)的值。
解：根据复数相等的条件，可得\(x = 3\)，\(y = 4\)。
2. 若\(2 - 5i = a - bi\)，求\(a\)，\(b\)的值。
解：由复数相等条件可知\(a = 2\)，\(b = 5\)。
3. 已知\((2x - 1)+i = y-(3 - y)i\)，\(x,y\in R\)，求\(x\)，\(y\)的值。
解：根据复数相等条件可得\(\begin{cases}2x - 1 = y\\1 = -(3 - y)\end{cases}\)，解第二个方程得\(y = 4\)，将\(y = 4\)代入第一个方程得\(2x - 1 = 4\)，解得\(x=\frac{5}{2}\)。
4. 若\((3x + 2y)+(5x - y)i = 17 - 2i\)，求\(x\)，\(y\)的值。
解：由复数相等可得\(\begin{cases}3x + 2y = 17\\5x - y = -2\end{cases}\)，将第二个方程\(5x - y = -2\)两边同时乘以\(2\)得\(10x - 2y = -4\)，再与第一个方程\(3x + 2y = 17\)相加，可得\(13x = 13\)，解得\(x = 1\)，把\(x = 1\)代入\(3x + 2y = 17\)，得\(3 + 2y = 17\)，解得\(y = 7\)。
5. 已知\(z_1 = 3 + 2i\)，\(z_2 = x + yi\)，且\(z_1 + z_2 = 5 + 4i\)，求\(x\)，\(y\)的值。
解：\(z_1 + z_2=(3 + x)+(2 + y)i = 5 + 4i\)，根据复数相等条件有\(\begin{cases}3 + x = 5\\2 + y = 4\end{cases}\)，解得\(x = 2\)，\(y = 2\)。
6. 若\(z_1 = a + 3i\)，\(z_2 = 4 - bi\)，\(z_1 - z_2 = -2 + 5i\)，求\(a\)，\(b\)的值。
解：\(z_1 - z_2=(a - 4)+(3 + b)i=-2 + 5i\)，则\(\begin{cases}a - 4 = -2\\3 + b = 5\end{cases}\)，解得\(a = 2\)，\(b = 2\)。
7. 已知\(z_1 = 2 + i\)，\(z_2 = 1 + 2i\)，\(z = z_1\times z_2\)，且\(z = m + ni\)，求\(m\)，\(n\)的值。
解：\(z = z_1\times z_2=(2 + i)(1 + 2i)=2 + 4i + i + 2i^2 = 2 + 5i - 2 = 5i\)，即\(z = 0 + 5i\)，所以\(m = 0\)，\(n = 5\)。
8. 已知\((1 + i)x+(1 - i)y = 2\)，求实数\(x\)，\(y\)的值。
解：将原式展开得\(x + xi + y - yi = 2\)，即\((x + y)+(x - y)i = 2\)，根据复数相等条件可得\(\begin{cases}x + y = 2\\x - y = 0\end{cases}\)，两式相加得\(2x = 2\)，解得\(x = 1\)，将\(x = 1\)代入\(x + y = 2\)得\(y = 1\)。
9. 若\(a,b\in R\)，\((a - 2i)(1 + i)=b - i\)，求\(a\)，\(b\)的值。
解：将\((a - 2i)(1 + i)\)展开得\(a + ai - 2i - 2i^2=a + 2+(a - 2)i\)，所以\(a + 2+(a - 2)i=b - i\)，则\(\begin{cases}a + 2 = b\\a - 2 = -1\end{cases}\)，解得\(a = 1\)，\(b = 3\)。
10. 已知\(z_1=\frac{a^2 - 7a + 6}{a^2 - 1}+(a^2 - 5a - 6)i\)，\(z_2 = 1 - i\)，若\(z_1 = z_2\)，求实数\(a\)的值。
解：因为\(z_1 = z_2\)，所以\(\begin{cases}\frac{a^2 - 7a + 6}{a^2 - 1}=1\\a^2 - 5a - 6=-1\end{cases}\)，解第一个方程\(\frac{a^2 - 7a + 6}{a^2 - 1}=1\)，即\(a^2 - 7a + 6 = a^2 - 1\)，解得\(a = 1\)，但当\(a = 1\)时，\(a^2 - 1 = 0\)，不满足分母不为\(0\)的条件，舍去；解第二个方程\(a^2 - 5a - 6=-1\)，即\(a^2 - 5a - 5 = 0\)，解得\(a=\frac{5\pm3\sqrt{5}}{2}\)，又因为\(a = 1\)已舍去，所以\(a=\frac{5\pm3\sqrt{5}}{2}\)时满足条件。
