解析几何 12 直线的倾斜角与斜率

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一、倾斜角的定义

当直线\(l\)与\(x\)轴相交时，我们取\(x\)轴作为基准，\(x\)轴正向与直线\(l\)向上方向之间所成的角\(\alpha\)叫做直线\(l\)的倾斜角。

倾斜角\(\alpha\)的取值范围是\([0, \pi)\)。

当直线平行于\(x\)轴时，倾斜角\(\alpha = 0\)；

当直线与\(x\)轴正方向夹角为\(\frac{\pi}{4}\)（即\(45^{\circ}\)）时，倾斜角\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)；

当直线垂直于\(x\)轴时，倾斜角\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)。

二、斜率的定义

一条直线的倾斜角\(\alpha(\alpha\neq\frac{\pi}{2})\)的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母\(k\)表示，即\(k = \tan\alpha\)。

倾斜角\(\alpha=\frac{\pi}{3}\)（即\(60^{\circ}\)）的直线，其斜率\(k=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)。

当直线的倾斜角\(\alpha = \frac{\pi}{2}\)时，直线的斜率不存在，因为\(\tan\frac{\pi}{2}\)没有意义。

三、斜率与两点坐标的关系

若直线上有两点\(P(x_1,y_1)\)，\(Q(x_2,y_2)(x_1\neq x_2)\)，则直线\(PQ\)的斜率\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)。

例如，已知直线上两点\(A(1,2)\)和\(B(3,6)\)，则直线\(AB\)的斜率\(k=\frac{6 - 2}{3 - 1}=\frac{4}{2}=2\)。

四、斜率与直线方向的关系

当斜率\(k>0\)时，直线的倾斜角\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，直线是向上倾斜的，从左向右看是上升的。

例如，直线\(y = 2x + 1\)，斜率\(k = 2>0\)，直线向上倾斜。

当斜率\(k<0\)时，直线的倾斜角\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，直线是向下倾斜的，从左向右看是下降的。

例如，直线\(y=-3x + 2\)，斜率\(k=-3<0\)，直线向下倾斜。

当斜率\(k = 0\)时，直线的倾斜角\(\alpha = 0\)，直线平行于\(x\)轴。

例如，直线\(y = 3\)是一条平行于\(x\)轴的直线，其斜率为\(0\)。

五、斜率存在的直线，倾斜角越大，斜率是否越大？

1. 当倾斜角\(\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\)时

此时，斜率\(k = \tan\alpha\)，函数\(y = \tan\alpha\)在\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\)上单调递增。

例如，当\(\alpha_1 = \frac{\pi}{6}\)（\(30^{\circ}\)）时，\(k_1=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)；当\(\alpha_2=\frac{\pi}{4}\)（\(45^{\circ}\)）时，\(k_2=\tan\frac{\pi}{4}=1\)。

可以看出，在这个区间内，倾斜角越大，斜率越大。

2. 当倾斜角\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)时

斜率\(k = \tan\alpha\)，函数\(y = \tan\alpha\)在\(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)上单调递增，但此时斜率\(k\)是负数。

例如，当\(\alpha_3=\frac{3\pi}{4}\)（\(135^{\circ}\)）时，\(k_3=\tan\frac{3\pi}{4}=- 1\)；当\(\alpha_4=\frac{5\pi}{6}\)（\(150^{\circ}\)）时，\(k_4=\tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

可以发现，在这个区间内，倾斜角越大，斜率的绝对值越小，但由于斜率是负数，所以实际上斜率是增大的。

3. 综合两个区间来看

当倾斜角从\(0\)增大到\(\frac{\pi}{2}\)时，斜率从\(0\)增大到正无穷；当倾斜角从\(\frac{\pi}{2}\)增大到\(\pi\)时，斜率从负无穷增大到\(0\)。

但是不能简单地说倾斜角越大，斜率就越大。例如，倾斜角为\(\frac{\pi}{4}\)（\(45^{\circ}\)）时斜率为\(1\)，倾斜角为\(\frac{3\pi}{4}\)（\(135^{\circ}\)）时斜率为\(-1\)，虽然\(\frac{3\pi}{4}>\frac{\pi}{4}\)，但斜率并没有增大。

4. 总结

直线斜率存在时，在倾斜角\(\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\)和\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)这两个区间内，倾斜角越大，斜率的绝对值越大；但从整个\([0,\pi)\)区间整体来看，倾斜角与斜率之间不是简单的单调递增关系。