集合 01 集合元素的性质（确定性、唯一性、无序性）
确定性
定义：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定集合的元素，二者必居其一，不存在模棱两可的情况.
示例：“大于1的实数”可以构成一个集合，因为对于任意一个实数，我们都能明确地判断它是否大于1，从而确定它是否属于这个集合；而“个子高的同学”不能构成集合，因为“个子高”没有明确的标准，无法确定哪些同学属于这个集合.
唯一性（互异性）
定义：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素.
示例：集合{1, 2, 3, 4, 4}等同于集合{1, 2, 3, 4}，因为集合中的元素具有互异性，相同的元素4只能算作一个.
无序性
定义：集合中的元素是平等的，没有先后顺序。因此判定两个集合是否相同，只需要比较它们的元素是否一样，不需考察排列顺序是否一样.
示例：集合{a, b, c}和集合{c, b, a}是同一个集合，因为它们包含的元素完全相同，只是元素的排列顺序不同，但这并不影响它们作为同一个集合的本质.
完备性
定义：符合条件的元素均在集合中.
示例：所有大于0且小于1的实数都在集合(0, 1)中，即集合(0, 1)包含了所有满足大于0且小于1这个条件的实数，体现了集合元素的完备性.
纯粹性
定义：集合中的所有元素均符合条件.
示例：集合(0, 1)中的所有元素均为大于0且小于1的实数，不存在其他不满足此条件的元素，这体现了集合元素的纯粹性.
练习
1. 确定性
例1：“所有小于10的正整数”构成一个集合。因为对于任何一个数，我们可以明确地判断它是否小于10且是正整数，如1、2、3等属于这个集合，而 - 1、10.5等不属于这个集合。
例2：“地球上的七大洲”构成一个集合。每个大洲都是确定的，亚洲、欧洲等属于这个集合，其他星球的地理区域（如火星的“山谷”）肯定不属于这个集合。
例3：“2024年参加奥运会的国家”可以构成一个集合。因为能明确哪些国家参加了当年的奥运会，一个国家要么参加，要么没参加，不存在模糊情况。
2. 互异性
例1：集合\(\{1, 2, 2, 3\}\)根据互异性，实际上等同于集合\(\{1, 2, 3\}\)。因为集合中的元素应该是彼此不同的，重复的“2”只能算一个元素。
例2：在集合\(\{a, b, a + b\}\)中，\(a\)和\(b\)代表不同的元素，即使\(a + b\)可能在某些情况下与\(a\)或\(b\)数值相等，但在集合中它们作为不同的表达式被视为不同元素，体现了互异性。
例3：如果集合是由一个班级学生的学号构成的，每个学号都是唯一的，不会出现两个相同的学号，这体现了集合元素的互异性。
3. 无序性
例1：集合\(\{1, 2, 3\}\)和\(\{3, 2, 1\}\)是同一个集合。元素的顺序变化不影响集合的本质，因为集合只关注元素的组成，而不关心元素的排列顺序。
例2：对于集合\(\{x,y,z\}\)和\(\{z,x,y\}\)，它们包含的元素完全相同，所以是相同的集合，这体现了集合元素的无序性。
例3：在几何中，表示一个三角形三个顶点的集合\(\{A,B,C\}\)和\(\{C,A,B\}\)是相同的，因为无论顶点顺序如何，它们代表的是同一个三角形，这体现了集合元素的无序性。
4. 完备性和纯粹性（这两个性质往往一起体现）
例1：对于区间\((0,5)\)这个集合（在实数范围内），所有大于0且小于5的实数都在这个集合中（完备性），并且这个集合中的所有元素都是大于0且小于5的实数（纯粹性）。
例2：“所有正偶数”构成的集合，从完备性角度看，所有能被2整除且大于0的整数都在这个集合中；从纯粹性角度看，这个集合中的每一个元素都是正偶数，不存在其他不符合正偶数定义的元素。
例3：集合\(\{x|x\)是边长为整数且面积为16的矩形的边长\(\}\)，完备性体现在所有满足边长为整数且面积为16的矩形边长组合都在集合中，如\(\{1,16\}\)，\(\{2,8\}\)，\(\{4,4\}\)；纯粹性体现在集合中的元素都是这种特定矩形的边长组合。
