不等式 02 含参数的一元二次不等式的解法

一、将含参数的一元二次不等式化为标准形式

含参数的一元二次不等式通常可表示为\(ax^{2}+bx + c＞0\)（或\(≥0\)、\(＜0\)、\(≤0\)）的形式，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)中至少有一个是参数（用字母表示的变量）。例如，\(ax^{2} - 2x + 1＞0\)（\(a\)为参数），\(x^{2}+bx + 5＜0\)（\(b\)为参数）等。

二、根据二次项系数\(a\)的取值情况分类讨论

（一）当\(a = 0\)时

此时不等式化为一次不等式，按一次不等式的解法求解。

例如，对于不等式\(ax^{2}-3x + 2＞0\)，当\(a = 0\)时，不等式变为\(-3x + 2＞0\)，解这个不等式可得\(x＜\frac{2}{3}\)。

再如，若不等式为\(ax^{2}+2x - 1＜0\)，当\(a = 0\)时，就化为\(2x - 1＜0\)，其解为\(x＜\frac{1}{2}\)。

（二）当\(a≠0\)时

此时不等式为一元二次不等式，需要进一步考虑判别式\(\Delta = b^{2}-4ac\)以及对应二次函数图象的情况来求解。

步骤一：计算判别式\(\Delta\)并分析其取值情况

当\(\Delta＞0\)时：方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个不同的实数根\(x_{1}\)、\(x_{2}\)（可通过求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)求出），然后根据不等式的符号以及二次函数图象的开口方向（由\(a\)的正负决定）来确定不等式的解集。

例如，对于不等式\(x^{2}-ax + a - 1＞0\)（\(a\)为参数），这里\(a = 1\)，\(b = -a\)，\(c = a - 1\)，\(\Delta = (-a)^{2}-4\times1\times(a - 1)=a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}\)。

当\(a≠2\)时，\(\Delta＞0\)，方程\(x^{2}-ax + a - 1 = 0\)的两根为\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=a - 1\)。

若\(a＞1\)且\(a≠2\)，\(a＞0\)（二次函数图象开口向上），不等式的解集为\(x＜1\)或\(x＞a - 1\)；若\(a＜1\)，\(a＞0\)，解集为\(x＜a - 1\)或\(x＞1\)。

当\(\Delta = 0\)时：方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个相等的实数根（重根），根据\(a\)的正负以及不等式的符号来确定解集。

比如，对于不等式\(mx^{2}+2mx + m＞0\)（\(m\)为参数），\(\Delta = (2mx)^{2}-4m\times m = 4m^{2}-4m^{2}=0\)，方程\(mx^{2}+2mx + m = 0\)的根为\(x = -1\)。

当\(m＞0\)时，不等式的解集为\(x≠ - 1\)；当\(m＜0\)时，解集为空集（因为此时二次函数图象开口向下且与\(x\)轴只有一个切点，函数值不可能恒大于\(0\)）。

当\(\Delta＜0\)时：方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)没有实数根，再依据\(a\)的正负与不等式的符号确定解集。

例如，对于不等式\(ax^{2}+x + 1＜0\)（\(a\)为参数），\(\Delta = 1^{2}-4a＜0\)，即\(a＞\frac{1}{4}\)时，方程无实数根。

当\(a＞\frac{1}{4}\)且\(a＞0\)（开口向上），不等式的解集为空集；当\(a＜0\)（开口向下），不等式的解集为全体实数集。

三、在给定区间上含参数的一元二次不等式的解法

（一）方法一：讨论二次函数在区间端点处的函数值以及对称轴的位置情况

例如，已知不等式\(ax^{2}+2x - 1≥0\)在区间\([1,2]\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。

首先，二次函数\(y = ax^{2}+2x - 1\)的对称轴为\(x = -\frac{2}{2a}=-\frac{1}{a}\)。

然后分情况讨论：

当\(a＞0\)时：

若\(-\frac{1}{a}≤1\)（对称轴在区间\([1,2]\)左侧），即\(a≥ - 1\)（结合\(a＞0\)），此时函数在\([1,2]\)上单调递增，要使不等式在区间上恒成立，则需\(f(1) = a + 2 - 1≥0\)，解得\(a≥ - 1\)，所以\(a＞0\)满足条件。

若\(1＜-\frac{1}{a}＜2\)（对称轴在区间\([1,2]\)内），即\(-\frac{1}{2}＜a＜ - 1\)，此时函数在对称轴处取得最小值，要使不等式恒成立，需\(f\left(-\frac{1}{a}\right)=a\times\left(-\frac{1}{a}\right)^{2}+2\times\left(-\frac{1}{a}\right)-1≥0\)，解这个不等式看是否存在满足条件的\(a\)值（经计算发现无解）。

若\(-\frac{1}{a}≥2\)（对称轴在区间\([1,2]\)右侧），即\(a≤-\frac{1}{2}\)，此时函数在\([1,2]\)上单调递减，要使不等式恒成立，则需\(f(2) = 4a + 4 - 1≥0\)，解得\(a≥-\frac{3}{4}\)，结合前面\(a≤-\frac{1}{2}\)，此时无解。

当\(a＜0\)时：

同样按照对称轴与区间的位置关系分情况讨论，类似上述步骤分析函数在区间上的最值情况以及满足不等式恒成立的条件（过程略）。

（二）方法二：分离参数法（若可行的话）

例如，对于不等式\(x^{2}-ax + 1＞0\)在区间\((0, +\infty)\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。

可将不等式变形为\(a＜x + \frac{1}{x}\)在区间\((0, +\infty)\)上恒成立，也就是\(a\)要小于\(x + \frac{1}{x}\)在区间\((0, +\infty)\)上的最小值。

设\(f(x) = x + \frac{1}{x}\)，根据基本不等式可知\(f(x)≥2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)（当且仅当\(x = \frac{1}{x}\)，即\(x = 1\)时取等号），所以\(a＜2\)。