圆锥曲线 13 抛物线

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一、抛物线的第一定义

1. 定义内容

平面内与一定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(l\)不经过点\(F\)）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点\(F\)叫做抛物线的焦点，定直线\(l\)叫做抛物线的准线。

2. 详细解释

假设动点为\(M(x,y)\)，焦点为\(F\)，准线方程为\(x = -p\)（以开口向右的抛物线为例）。

根据抛物线的第一定义，动点\(M\)到焦点\(F\)的距离\(\vert MF\vert\)等于动点\(M\)到准线\(l\)的距离\(d\)。

焦点\(F\)的坐标为\((p,0)\)，根据两点间距离公式，\(\vert MF\vert=\sqrt{(x - p)^{2}+y^{2}}\)，动点\(M\)到准线\(x=-p\)的距离\(d = x + p\)。

因为\(\vert MF\vert=d\)，所以\(\sqrt{(x - p)^{2}+y^{2}}=x + p\)，两边平方可得\((x - p)^{2}+y^{2}=(x + p)^{2}\)，展开式子得到\(x^{2}-2px + p^{2}+y^{2}=x^{2}+2px + p^{2}\)，化简后为\(y^{2}=4px\)，这就是开口向右的抛物线的标准方程。

3. 不同开口方向的情况

当抛物线开口向左时，设准线方程为\(x=p\)，焦点坐标为\((-p,0)\)，同样根据定义可得\(y^{2}=-4px\)。

当抛物线开口向上时，设准线方程为\(y=-p\)，焦点坐标为\((0,p)\)，由定义可得\(x^{2}=4py\)。

当抛物线开口向下时，设准线方程为\(y=p\)，焦点坐标为\((0,-p)\)，根据定义可得\(x^{2}=-4py\)。

4. 应用示例

已知抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)的焦点为\(F(1,0)\)，求抛物线方程。根据焦点坐标公式\(\frac{p}{2}=1\)，解得\(p = 2\)，所以抛物线方程为\(y^{2}=4x\)。

在这个例子中，利用抛物线的第一定义中的焦点和准线的关系来确定抛物线的方程。

二、抛物线的第二定义

1. 定义内容

抛物线的第二定义为：平面内到一个定点\(F\)（焦点）的距离和到一条定直线\(l\)（准线）的距离之比为常数\(e = 1\)的点的轨迹是抛物线。

2. 与第一定义的联系

第一定义强调点到焦点和准线的距离相等，而第二定义是从两者距离之比为\(1\)的角度来描述抛物线。本质上是相通的，只是表述方式略有差异。

3. 详细解释

设动点\(P(x,y)\)，焦点\(F\)的坐标为\((a,b)\)，准线方程为\(Ax + By+C = 0\)。

根据点到直线的距离公式\(d=\frac{\vert Ax_0+By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)（这里\((x_0,y_0)\)是点的坐标），点\(P\)到准线\(l\)的距离\(d=\frac{\vert Ax + By + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。

点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - a)^{2}+(y - b)^{2}}\)。

因为\(\frac{\vert PF\vert}{d}=1\)，即\(\vert PF\vert=d\)，所以\(\sqrt{(x - a)^{2}+(y - b)^{2}}=\frac{\vert Ax + By + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，这也可以推导出抛物线的方程。

4. 在解题中的应用示例

例如，已知抛物线的焦点为\(F(0, - 2)\)，准线方程为\(y = 2\)，设抛物线上一点\(P(x,y)\)。

根据第二定义，\(P\)到\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - 0)^{2}+(y + 2)^{2}}\)，\(P\)到准线\(y = 2\)的距离\(d=\vert y - 2\vert\)。

因为\(\frac{\vert PF\vert}{d}=1\)，所以\(\sqrt{x^{2}+(y + 2)^{2}}=\vert y - 2\vert\)，两边平方得\(x^{2}+(y + 2)^{2}=(y - 2)^{2}\)，展开化简后可得\(x^{2}=-8y\)，这就是该抛物线的方程。

三、抛物线的第三定义

1. 定义内容

抛物线的第三定义：在平面直角坐标系中，两个动点\(A\)、\(B\)（其中一个动点在抛物线上，设为\(A\)），若直线\(AB\)过抛物线的焦点\(F\)，且分别过\(A\)、\(B\)作准线的垂线，垂足分别为\(M\)、\(N\)，则以\(AB\)为直径的圆与准线相切。

2. 详细解释

设抛物线方程为\(y^{2}=2px(p>0)\)，焦点\(F\left(\frac{p}{2},0\right)\)，准线方程为\(x =-\frac{p}{2}\)。

设\(A\left(x_{1},y_{1}\right)\)，\(B\left(x_{2},y_{2}\right)\)，因为\(AB\)过焦点\(F\)，根据抛物线的性质，\(\vert AF\vert=x_{1}+\frac{p}{2}\)，\(\vert BF\vert=x_{2}+\frac{p}{2}\)。

所以\(\vert AB\vert=\vert AF\vert+\vert BF\vert=x_{1}+x_{2}+p\)。

设以\(AB\)为直径的圆的圆心为\(O'\)，其横坐标为\(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\)。

圆\(O'\)到准线\(x =-\frac{p}{2}\)的距离\(d=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p}{2}=\frac{x_{1}+x_{2}+p}{2}\)，而\(\frac{\vert AB\vert}{2}=\frac{x_{1}+x_{2}+p}{2}\)，即圆\(O'\)到准线的距离等于圆的半径，所以以\(AB\)为直径的圆与准线相切。

3. 应用示例

已知抛物线\(y^{2}=4x\)，焦点为\(F(1,0)\)，设直线\(AB\)过焦点\(F\)与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点。

设\(A\left(x_{1},y_{1}\right)\)，\(B\left(x_{2},y_{2}\right)\)，由抛物线方程可知\(p = 2\)。

根据上述性质，以\(AB\)为直径的圆与准线\(x=-1\)相切。在求解与抛物线相关的几何问题，如圆与抛物线的位置关系、线段长度关系等问题时，第三定义能提供一种便捷的思路。

四、抛物线的标准方程

1. 开口向右的抛物线标准方程

当抛物线开口向右时，焦点在\(x\)轴正半轴。设其焦点坐标为\(F(p,0)\)，准线方程为\(x = -p\)（\(p>0\)）。

根据抛物线的第一定义（平面内与一定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(l\)不经过点\(F\)）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线），设抛物线上任意一点\(M(x,y)\)，则点\(M\)到焦点\(F\)的距离等于点\(M\)到准线的距离。

点\(M\)到焦点\(F\)的距离\(\vert MF\vert=\sqrt{(x - p)^{2}+y^{2}}\)，点\(M\)到准线的距离为\(\vert x + p\vert\)，因为距离相等，所以\(\sqrt{(x - p)^{2}+y^{2}}=\vert x + p\vert\)，两边平方可得\((x - p)^{2}+y^{2}=(x + p)^{2}\)。

展开式子得\(x^{2}-2px + p^{2}+y^{2}=x^{2}+2px + p^{2}\)，化简后得到\(y^{2}=4px\)，这就是开口向右的抛物线的标准方程。

2. 开口向左的抛物线标准方程

当抛物线开口向左时，焦点在\(x\)轴负半轴，焦点坐标为\(F(-p,0)\)，准线方程为\(x = p\)（\(p>0\)）。

同样设抛物线上任意一点\(M(x,y)\)，点\(M\)到焦点\(F\)的距离\(\vert MF\vert=\sqrt{(x + p)^{2}+y^{2}}\)，点\(M\)到准线的距离为\(\vert x - p\vert\)。

由\(\vert MF\vert=\vert x - p\vert\)，两边平方\((x + p)^{2}+y^{2}=(x - p)^{2}\)，展开并化简得\(y^{2}=-4px\)，这是开口向左的抛物线的标准方程。

3. 开口向上的抛物线标准方程

当抛物线开口向上时，焦点在\(y\)轴正半轴，焦点坐标为\(F(0,p)\)，准线方程为\(y=-p\)（\(p>0\)）。

设抛物线上任意一点\(M(x,y)\)，点\(M\)到焦点\(F\)的面积\(\vert MF\vert=\sqrt{(y - p)^{2}+x^{2}}\)，点\(M\)到准线的距离为\(\vert y + p\vert\)。

由\(\vert MF\vert=\vert y + p\vert\)，两边平方\((y - p)^{2}+x^{2}=(y + p)^{2}\)，展开并化简得\(x^{2}=4py\)，这是开口向上的抛物线的标准方程。

4. 开口向下的抛物线标准方程

当抛物线开口向下时，焦点在\(y\)轴负半轴，焦点坐标为\(F(0,-p)\)，准线方程为\(y = p\)（\(p>0\)）。

设抛物线上任意一点\(M(x,y)\)，点\(M\)到焦点\(F\)的距离\(\vert MF\vert=\sqrt{(y + p)^{2}+x^{2}}\)，点\(M\)到准线的距离为\(\vert y - p\vert\)。

由\(\vert MF\vert=\vert y - p\vert\)，两边平方\((y + p)^{2}+x^{2}=(y - p)^{2}\)，展开并化简得\(x^{2}=-4py\)，这是开口向下的抛物线的标准方程。

五、抛物线的范围

1. 开口向右的抛物线（\(y^{2} = 2px\)，\(p>0\)）

分析过程：对于方程\(y^{2} = 2px\)（\(p>0\)），由于任何实数的平方都大于等于\(0\)，所以\(y\)可以取任意实数，即\(y\in R\)。而对于\(x\)，因为\(y^{2} = 2px\)，\(p>0\)，要使等式成立，\(x\)必须大于等于\(0\)，即\(x\geq0\)。

举例说明：例如抛物线\(y^{2} = 4x\)，这里\(p = 2\)，无论\(y\)取何值，\(x\)都要满足\(x\geq0\)，其图像位于\(y\)轴右侧（包含\(y\)轴），并且沿着\(x\)轴正方向无限延伸，\(y\)则能取遍所有实数，图像在\(x\)轴上下都有分布。

2. 开口向左的抛物线（\(y^{2} = -2px\)，\(p>0\)）

分析过程：同样基于任何实数的平方非负这一性质，\(y\in R\)。对于\(x\)，由\(y^{2} = -2px\)（\(p>0\)）可知，要使等式成立，\(x\)必须小于等于\(0\)，也就是\(x\leq0\)。

举例说明：比如抛物线\(y^{2} = -6x\)（\(p = 3\)），不管\(y\)的值怎样变化，\(x\)始终是小于等于\(0\)的，该抛物线的图像位于\(y\)轴左侧（包含\(y\)轴），沿着\(x\)轴负方向无限延伸，\(y\)的取值范围是全体实数，图像在\(x\)轴上下都存在。

3. 开口向上的抛物线（\(x^{2} = 2py\)，\(p>0\)）

分析过程：因为任何实数的平方都不小于\(0\)，所以\(x\)可以取任意实数，即\(x\in R\)。对于\(y\)，由\(x^{2} = 2py\)（\(p>0\)）可得，\(y\)要大于等于\(0\)，即\(y\geq0\)。

举例说明：以抛物线\(x^{2} = 8y\)（\(p = 4\)）为例，\(x\)能取遍所有实数，而\(y\)的值一定是大于等于\(0\)的，其图像位于\(x\)轴上方（包含\(x\)轴），并且沿着\(y\)轴正方向无限延伸。

4. 开口向下的抛物线（\(x^{2} = -2py\)，\(p>0\)）

分析过程：由实数平方的性质可知\(x\in R\)。从方程\(x^{2} = -2py\)（\(p>0\)）来看，\(y\)必须小于等于\(0\)，即\(y\leq0\)。

举例说明：像抛物线\(x^{2} = -10y\)（\(p = 5\)），\(x\)的取值范围是全体实数，\(y\)则始终小于等于\(0\)，该抛物线的图像位于\(x\)轴下方（包含\(x\)轴），沿着\(y\)轴负方向无限延伸。

六、抛物线的对称性

1. 对称轴方程

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)，其对称轴为\(x\)轴，方程是\(y = 0\)。这是因为在方程\(y^{2}=2px\)中，将\(y\)换成\(-y\)，方程不变，即\((-y)^{2}=2px\)依然成立，所以抛物线关于\(x\)轴对称。

同理，对于抛物线\(y^{2}=-2px(p>0)\)，对称轴也是\(x\)轴，方程为\(y = 0\)。

对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)，对称轴是\(y\)轴，方程为\(x = 0\)。因为把\(x\)换成\(-x\)，方程\((-x)^{2}=2py\)保持不变，所以该抛物线关于\(y\)轴对称。

对于抛物线\(x^{2}=-2py(p>0)\)，对称轴同样是\(y\)轴，方程是\(x = 0\)。

2. 对称性质的证明（以\(y^{2}=2px(p>0)\)为例）

设点\(P(x_{0},y_{0})\)是抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)上的任意一点，则\(y_{0}^{2}=2px_{0}\)。

点\(P\)关于\(x\)轴的对称点为\(P'(x_{0}, - y_{0})\)。将\(P'\)的纵坐标代入抛物线方程，可得\((-y_{0})^{2}=2px_{0}\)，这与\(P\)点满足的方程一样，所以\(P'\)也在抛物线上。

由此证明了抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)关于\(x\)轴对称。

3. 对称性质在解题中的应用

求抛物线的交点：例如，已知抛物线\(y^{2}=4x\)与直线\(y = x - 1\)相交，求交点坐标。可以联立方程\(\begin{cases}y^{2}=4x\\y = x - 1\end{cases}\)，将\(y = x - 1\)代入\(y^{2}=4x\)得到\((x - 1)^{2}=4x\)，解这个方程求出\(x\)的值，再代入\(y = x - 1\)求出\(y\)的值。在求解过程中，利用抛物线的对称性可以检验答案是否合理。因为抛物线\(y^{2}=4x\)关于\(x\)轴对称，如果求出的两个交点\((x_{1},y_{1})\)和\((x_{1}, - y_{1})\)满足这种对称关系，那么答案很可能是正确的。

确定抛物线的形状和位置：抛物线的对称性有助于我们快速确定其形状和位置。比如，知道抛物线\(y^{2}=-8x\)关于\(x\)轴对称，且开口向左，就可以大致勾勒出它的图像，并且能根据其对称性质方便地在图像上找到对应的点，如顶点、焦点等关于对称轴的对称点，从而更好地研究抛物线的性质。

七、抛物线的顶点

1. 不同形式抛物线顶点坐标的推导

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)和\(y^{2}=-2px(p>0)\)

令\(y = 0\)，代入\(y^{2}=2px\)，可得\(0 = 2px\)，解得\(x = 0\)。所以抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)的顶点坐标为\((0,0)\)。

同理，对于\(y^{2}=-2px(p>0)\)，令\(y = 0\)，解得\(x = 0\)，其顶点坐标也是\((0,0)\)。

对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)和\(x^{2}=-2py(p>0)\)

令\(x = 0\)，代入\(x^{2}=2py\)，可得\(0 = 2py\)，解得\(y = 0\)。因此抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)的顶点坐标为\((0,0)\)。

同样，对于\(x^{2}=-2py(p>0)\)，令\(x = 0\)，解得\(y = 0\)，顶点坐标为\((0,0)\)。

2. 顶点在抛物线中的几何意义

位置特征：顶点是抛物线的中心对称点（对于有对称中心的抛物线）或对称轴的交点（对于所有抛物线）。它是抛物线弯曲程度发生变化的转折点。例如，对于开口向上的抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)，在顶点\((0,0)\)处，抛物线从向下弯曲（当\(x\)靠近\(0\)且\(x<0\)时）转变为向上弯曲（当\(x\)靠近\(0\)且\(x>0\)时）。

最值情况（以开口向上或向下的抛物线为例）：对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)，因为其开口向上，顶点\((0,0)\)是抛物线上的最低点，此时函数\(y=\frac{1}{2p}x^{2}\)取得最小值\(0\)；对于抛物线\(x^{2}=-2py(p>0)\)，开口向下，顶点\((0,0)\)是抛物线上的最高点，函数\(y = -\frac{1}{2p}x^{2}\)在顶点处取得最大值\(0\)。

3. 顶点在抛物线相关问题中的应用

确定抛物线方程：已知抛物线的顶点坐标为\((0,0)\)和其他一些条件（如焦点位置、准线方程、开口方向等），可以确定抛物线的标准方程。例如，已知抛物线顶点为\((0,0)\)，开口向右，且焦点坐标为\((2,0)\)，根据抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)的焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，可得\(\frac{p}{2}=2\)，解得\(p = 4\)，从而确定抛物线方程为\(y^{2}=8x\)。

求解抛物线与其他图形的交点问题：在求抛物线与直线或其他曲线的交点时，顶点坐标可以帮助我们确定初始的取值范围或判断交点的大致位置。例如，求抛物线\(y^{2}=4x\)与圆\((x - 3)^{2}+y^{2}=9\)的交点，我们知道抛物线顶点为\((0,0)\)，结合抛物线和圆的性质，可以大致判断出交点可能存在的象限，然后通过联立方程求解具体的交点坐标。

八、抛物线的焦点

1. 焦点坐标的推导

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)

根据抛物线的定义，平面内与一定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，这个定点\(F\)就是焦点。

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)，其焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)。推导过程如下：

设抛物线上一点\(P(x,y)\)，点\(P\)到焦点\(F\)的距离等于点\(P\)到准线的距离。此抛物线的准线方程为\(x = -\frac{p}{2}\)。

根据两点间距离公式，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线的距离为\(\vert x - (-\frac{p}{2})\vert=\vert x+\frac{p}{2}\vert\)。

因为\(\vert PF\vert\)等于点\(P\)到准线的距离，且\(y^{2}=2px\)，所以可得\(\sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2}+y^{2}}=\vert x+\frac{p}{2}\vert\)，当\(x\geq0\)时，化简可得\((x - \frac{p}{2})^{2}+y^{2}=(x+\frac{p}{2})^{2}\)，进一步展开得到\(x^{2}-px+\frac{p^{2}}{4}+y^{2}=x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}\)，消去相同项后\(y^{2}=2px\)成立，所以焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)。

对于抛物线\(y^{2}=-2px(p>0)\)

其焦点坐标为\((-\frac{p}{2},0)\)。推导过程与\(y^{2}=2px(p>0)\)类似，准线方程为\(x=\frac{p}{2}\)，根据抛物线定义和两点间距离公式可以推导出焦点坐标。

对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)

焦点坐标为\((0,\frac{p}{2})\)。设抛物线上一点\(P(x,y)\)，准线方程为\(y = -\frac{p}{2}\)，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(y - \frac{p}{2})^{2}+x^{2}}\)，点\(P\)到准线的距离为\(\vert y - (-\frac{p}{2})\vert=\vert y+\frac{p}{2}\vert\)，由抛物线定义\(\vert PF\vert\)等于点\(P\)到准线的距离，且\(x^{2}=2py\)，通过类似的计算可得到焦点坐标。

对于抛物线\(x^{2}=-2py(p>0)\)

焦点坐标为\((0,-\frac{p}{2})\)，准线方程为\(y=\frac{p}{2}\)，同样根据抛物线定义和距离公式推导得出。

2. 焦点在抛物线中的作用

光学性质方面：抛物线有一个重要的光学性质，从焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。例如，汽车前灯的反光镜就是抛物线形状，灯泡位于焦点处，发出的光线经反射后平行射出，照亮前方道路。

确定抛物线形状方面：焦点位置和抛物线的开口方向、大小紧密相关。对于\(y^{2}=2px(p>0)\)和\(y^{2}=-2px(p>0)\)，\(p\)的值决定了焦点到顶点的距离，进而决定了抛物线开口的宽窄程度。\(p\)越大，焦点离顶点越远，抛物线开口越宽。

3. 焦点在解题中的应用

求解抛物线方程：已知抛物线的焦点坐标，就可以确定\(p\)的值，从而得到抛物线的方程。例如，已知抛物线焦点为\((3,0)\)，则根据\(y^{2}=2px(p>0)\)中焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，可得\(\frac{p}{2}=3\)，解得\(p = 6\)，抛物线方程为\(y^{2}=12x\)。

计算抛物线相关的距离问题：在求抛物线上一点到焦点的距离或者到准线的距离时，焦点的位置起到关键作用。例如，对于抛物线\(y^{2}=8x\)，点\(P(2,4)\)在抛物线上，根据抛物线定义，点\(P\)到焦点\((2,0)\)的距离等于点\(P\)到准线\(x=-2\)的距离，这个距离可以通过计算点\(P\)的横坐标与准线横坐标之差的绝对值得到，即\(\vert2 - (-2)\vert = 4\)。

九、抛物线的离心率

1. 定义

抛物线的离心率\(e = 1\)。离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，对于抛物线，其定义为抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离之比。

2. 详细解释

设抛物线方程为\(y^{2}=2px(p>0)\)，焦点为\(F(\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x = -\frac{p}{2}\)。

对于抛物线上任意一点\(P(x,y)\)，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线的距离\(d=\vert x - (-\frac{p}{2})\vert=\vert x+\frac{p}{2}\vert\)。

根据抛物线的定义，\(\vert PF\vert = d\)，所以它们的比值\(\frac{\vert PF\vert}{d}=1\)，即抛物线的离心率\(e = 1\)。

3. 与椭圆和双曲线离心率的比较

椭圆：椭圆的离心率\(e\)满足\(0<e<1\)。椭圆的形状随着离心率的变化而变化，离心率越小，椭圆越接近于圆；离心率越大，椭圆越扁。例如，离心率\(e=\frac{1}{2}\)的椭圆比离心率\(e=\frac{3}{4}\)的椭圆更接近于圆。

双曲线：双曲线的离心率\(e\)满足\(e>1\)。离心率决定了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越宽。比如，离心率\(e = 2\)的双曲线开口比离心率\(e=\frac{3}{2}\)的双曲线开口更宽。

而抛物线的离心率始终为\(1\)，其形状不像椭圆那样可以有不同程度的“扁”或“圆”，也不像双曲线那样有不同程度的开口宽窄变化，抛物线的形状只由其焦点和准线的位置决定。

4. 在抛物线性质和应用中的体现

由于离心率\(e = 1\)，这使得抛物线在光学等应用中有独特的性质。例如，从抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。这一性质被广泛应用于照明灯具（如汽车前灯）、卫星天线等的设计中。因为光线从焦点发出后，其到焦点和到准线的距离始终相等（由离心率为\(1\)和抛物线定义决定），经过反射后能够按照平行于对称轴的方向射出，从而实现有效的照明或信号接收等功能。

十、抛物线的准线

1. 不同标准方程下抛物线的准线方程

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)（开口向右）

其焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x = -\frac{p}{2}\)。这是因为根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。对于开口向右的抛物线，准线在焦点左侧，且与焦点的距离为\(p\)。

对于抛物线\(y^{2}=-2px(p>0)\)（开口向左）

焦点坐标是\((-\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x=\frac{p}{2}\)。此时准线在焦点右侧，距离焦点\(p\)，符合抛物线的定义。

对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)（开口向上）

焦点坐标为\((0,\frac{p}{2})\)，准线方程为\(y = -\frac{p}{2}\)。准线在焦点下方，距离为\(p\)，保证了抛物线上的点到焦点和准线的距离相等。

对于抛物线\(x^{2}=-2py(p>0)\)（开口向下）

焦点坐标为\((0,-\frac{p}{2})\)，准线方程为\(y=\frac{p}{2}\)。准线在焦点上方，与焦点相距\(p\)，同样满足抛物线的定义。

2. 一般式抛物线准线方程的推导（以\(y = ax^{2}+bx + c\)为例）

先将抛物线方程化为标准形式。通过配方\(y=a(x +\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。

令\(X=x+\frac{b}{2a}\)，\(Y = y-\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，则方程变为\(Y=aX^{2}\)。

对于\(Y=aX^{2}\)，其标准形式类似于\(x^{2}=2py\)或\(x^{2}=-2py\)。当\(a>0\)时，可看作\(X^{2}=\frac{1}{a}Y\)，此时\(2p=\frac{1}{a}\)，焦点为\((0,\frac{1}{4a})\)，准线方程为\(Y = -\frac{1}{4a}\)。

再将\(X\)和\(Y\)代回原变量，可得准线方程为\(y=\frac{4ac - b^{2}- 1}{4a}\)。

3. 准线方程的应用

在求解抛物线相关的几何问题中，准线方程起着关键作用。例如，已知抛物线\(y^{2}=4x\)，点\(P\)为抛物线上一点，根据抛物线的定义，点\(P\)到焦点的距离等于点\(P\)到准线的距离。若求点\(P\)到焦点的距离，可先求出点\(P\)到准线\(x = - 1\)的距离，从而简化计算。

在抛物线的光学性质中也有应用。抛物线能将平行于对称轴的光线反射到焦点，这一性质与准线有关，光线从抛物线上一点出发，反射前的路径与到准线的距离有关，反射后汇聚到焦点。

十一、抛物线的切线方程

1. 已知抛物线方程\(y^{2}=2px(p>0)\)，求在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线方程

首先对\(y^{2}=2px\)进行隐函数求导。

两边对\(x\)求导，根据复合函数求导法则\((u^{2})^\prime = 2u\cdot u^\prime\)，令\(u = y\)，则\(2y\cdot y^\prime=2p\)，解得\(y^\prime=\frac{p}{y}\)。

那么在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线斜率\(k = \frac{p}{y_{0}}\)。

根据点斜式方程\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)，可得切线方程为\(y - y_{0}=\frac{p}{y_{0}}(x - x_{0})\)，整理得\(yy_{0}-y_{0}^{2}=p(x - x_{0})\)。

又因为\(y_{0}^{2}=2px_{0}\)，所以切线方程可化为\(yy_{0}-2px_{0}=p(x - x_{0})\)，即\(yy_{0}=p(x + x_{0})\)。

2. 已知抛物线方程\(x^{2}=2py(p>0)\)，求在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线方程

对\(x^{2}=2py\)两边对\(x\)求导，得\(2x = 2p\cdot y^\prime\)，解得\(y^\prime=\frac{x}{p}\)。

在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线斜率\(k=\frac{x_{0}}{p}\)。

由点斜式方程可得切线方程为\(y - y_{0}=\frac{x_{0}}{p}(x - x_{0})\)，整理得\(py - py_{0}=x_{0}(x - x_{0})\)。

因为\(x_{0}^{2}=2py_{0}\)，所以切线方程可化为\(x_{0}x = p(y + y_{0})\)。

3. 一般情况

对于抛物线的一般方程\(y = ax^{2}+bx + c\)，求导得\(y^\prime=2ax + b\)。

在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线斜率\(k = 2ax_{0}+b\)。

切线方程为\(y - y_{0}=(2ax_{0}+b)(x - x_{0})\)，展开并整理得\(y=(2ax_{0}+b)x-2ax_{0}^{2}-bx_{0}+y_{0}\)。

又因为\(y_{0}=ax_{0}^{2}+bx_{0}+c\)，代入上式可得\(y=(2ax_{0}+b)x - ax_{0}^{2}+c\)。

十二、抛物线的焦半径

1. 定义

抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线叫做抛物线的焦半径。

2. 焦半径公式（以不同标准方程为例）

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)（开口向右）

设抛物线上一点\(P(x_{0},y_{0})\)，焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)。

根据两点间距离公式\(\vert PF\vert=\sqrt{(x_{0}-\frac{p}{2})^{2}+y_{0}^{2}}\)。

又因为\(P(x_{0},y_{0})\)在抛物线\(y^{2}=2px\)上，所以\(y_{0}^{2}=2px_{0}\)。

将\(y_{0}^{2}=2px_{0}\)代入\(\vert PF\vert=\sqrt{(x_{0}-\frac{p}{2})^{2}+y_{0}^{2}}\)可得\(\vert PF\vert=x_{0}+\frac{p}{2}\)。

对于抛物线\(y^{2}=-2px(p>0)\)（开口向左）

设抛物线上一点\(P(x_{0},y_{0})\)，焦点\(F(-\frac{p}{2},0)\)。

同样根据两点间距离公式\(\vert PF\vert=\sqrt{(x_{0}+\frac{p}{2})^{2}+y_{0}^{2}}\)。

因为\(y_{0}^{2}=-2px_{0}\)，代入可得\(\vert PF\vert=-x_{0}+\frac{p}{2}\)（注意这里\(x_{0}\leq0\)）。

对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)（开口向上）

设抛物线上一点\(P(x_{0},y_{0})\)，焦点\(F(0,\frac{p}{2})\)。

根据两点间距离公式\(\vert PF\vert=\sqrt{(x_{0}-0)^{2}+(y_{0}-\frac{p}{2})^{2}}\)。

由于\(x_{0}^{2}=2py_{0}\)，代入并化简可得\(\vert PF\vert=y_{0}+\frac{p}{2}\)。

对于抛物线\(x^{2}=-2py(p>0)\)（开口向下）

设抛物线上一点\(P(x_{0},y_{0})\)，焦点\(F(0,-\frac{p}{2})\)。

根据两点间距离公式\(\vert PF\vert=\sqrt{(x_{0}-0)^{2}+(y_{0}+\frac{p}{2})^{2}}\)。

因为\(x_{0}^{2}=-2py_{0}\)，代入化简可得\(\vert PF\vert=-y_{0}+\frac{p}{2}\)（这里\(y_{0}\leq0\)）。

3. 应用示例

已知抛物线\(y^{2}=4x\)，点\(P(3,2\sqrt{3})\)在抛物线上，求点\(P\)到焦点的距离（即焦半径）。

对于抛物线\(y^{2}=4x\)，\(2p = 4\)，\(p = 2\)。

根据焦半径公式\(\vert PF\vert=x_{0}+\frac{p}{2}\)，这里\(x_{0}=3\)，\(p = 2\)，所以\(\vert PF\vert=3 + 1=4\)。

十三、抛物线的通径

1. 定义

通径是抛物线的一种特殊的焦点弦。它是过抛物线焦点且垂直于抛物线对称轴的弦。

2. 通径长度的计算（以不同标准方程为例）

对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)（开口向右）

因为通径垂直于\(x\)轴且过焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，将\(x = \frac{p}{2}\)代入\(y^{2}=2px\)，可得\(y^{2}=2p\times\frac{p}{2}=p^{2}\)。

解得\(y=\pm p\)，所以通径的长度为\(\vert y_{1}-y_{2}\vert=\vert p - (-p)\vert = 2p\)。

对于抛物线\(y^{2}=-2px(p>0)\)（开口向左）

焦点坐标为\(F(-\frac{p}{2},0)\)，把\(x = -\frac{p}{2}\)代入\(y^{2}=-2px\)，得到\(y^{2}=-2p\times(-\frac{p}{2}) = p^{2}\)。

解得\(y = \pm p\)，通径长度同样为\(2p\)。

对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)（开口向上）

焦点是\(F(0,\frac{p}{2})\)，将\(y=\frac{p}{2}\)代入\(x^{2}=2py\)，则\(x^{2}=2p\times\frac{p}{2}=p^{2}\)。

解得\(x=\pm p\)，通径长度为\(2p\)。

对于抛物线\(x^{2}=-2py(p>0)\)（开口向下）

焦点为\(F(0,-\frac{p}{2})\)，代入\(x^{2}=-2py\)，当\(y = -\frac{p}{2}\)时，\(x^{2}=-2p\times(-\frac{p}{2}) = p^{2}\)。

解得\(x=\pm p\)，通径长度是\(2p\)。

3. 通径的性质和应用

通径是抛物线所有焦点弦中长度最短的。在比较焦点弦长度或者求焦点弦最短长度等问题中经常会用到这一性质。例如，在抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)中，设焦点弦所在直线的斜率为\(k\)，焦点弦长度为\(L=\frac{2p(k^{2}+1)}{k^{2}}\)，当\(k\rightarrow\infty\)（即直线垂直于\(x\)轴，此时弦为通径）时，\(L = 2p\)，是焦点弦长度的最小值。

在抛物线的几何问题、光学性质（抛物线的反射性质与通径也有一定关联）等方面也有应用。比如在抛物线反射镜中，通径的端点位置对于光线的反射路径等特性有着重要的影响。