函数 03 函数的最值：最大值、最小值

一、函数最值的定义

最大值：设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在\(x_{0}\in D\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(f(x)\leq f(x_{0})\)，那么称\(f(x_{0})\)为函数\(y = f(x)\)在定义域\(D\)上的最大值。

例如，对于函数\(y=-x^{2}+2\)，其定义域为\((-\infty,+\infty)\)。因为\(y = -x^{2}+2\)的图像是开口向下的抛物线，顶点坐标为\((0, 2)\)，所以对于任意的\(x\in(-\infty,+\infty)\)，都有\(y\leq2\)，则函数\(y=-x^{2}+2\)在定义域\((-\infty,+\infty)\)上的最大值是\(2\)。

最小值：设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在\(x_{0}\in D\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(f(x)\geq f(x_{0})\)，那么称\(f(x_{0})\)为函数\(y = f(x)\)在定义域\(D\)上的最小值。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，其定义域为\((-\infty,+\infty)\)。因为\(y = x^{2}\)的图像是开口向上的抛物线，顶点坐标为\((0,0)\)，所以对于任意的\(x\in(-\infty,+\infty)\)，都有\(y\geq0\)，则函数\(y = x^{2}\)在定义域\((-\infty,+\infty)\)上的最小值是\(0\)。

二、函数最值的求解方法

1. 利用函数单调性求最值

原理：如果函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，那么\(f(x)\)在\(x = a\)处取得最小值\(f(a)\)，在\(x = b\)处取得最大值\(f(b)\)；反之，如果函数在区间\([a,b]\)上单调递减，那么\(f(x)\)在\(x = a\)处取得最大值\(f(a)\)，在\(x = b\)处取得最小值\(f(b)\)。

举例：求函数\(y = 3x - 2\)在区间\([1,3]\)上的最值。因为函数\(y = 3x - 2\)的斜率\(k = 3>0\)，所以函数在\(R\)上单调递增，在区间\([1,3]\)上也单调递增。则当\(x = 1\)时，\(y_{min}=3\times1 - 2=1\)；当\(x = 3\)时，\(y_{max}=3\times3 - 2 = 7\)。

2. 利用导数求最值（适用于可导函数）

步骤一：求导数

首先对函数\(y = f(x)\)求导，得到\(f^\prime(x)\)。

步骤二：找驻点

令\(f^\prime(x)=0\)，求出函数的驻点（即导数为\(0\)的点）以及导数不存在的点。这些点将函数的定义域分成若干个区间。

步骤三：判断单调性

根据导数在各个区间的正负性来判断函数的单调性。当\(f^\prime(x)>0\)时，函数在该区间单调递增；当\(f^\prime(x)<0\)时，函数在该区间单调递减。

步骤四：确定最值

比较驻点和区间端点处的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。

举例：求函数\(y = x^{3}-3x^{2}+2\)在区间\([-1,3]\)上的最值。首先求导得\(y^\prime = 3x^{2}-6x = 3x(x - 2)\)。令\(y^\prime = 0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)。当\(x\in[-1,0)\)时，\(y^\prime>0\)，函数单调递增；当\(x\in(0,2)\)时，\(y^\prime<0\)，函数单调递减；当\(x\in(2,3]\)时，\(y^\prime>0\)，函数单调递增。计算端点和驻点处的函数值：\(y(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-2\)，\(y(0)=2\)，\(y(2)=2^{3}-3\times2^{2}+2=-2\)，\(y(3)=3^{3}-3\times3^{2}+2 = 2\)。所以\(y_{max}=2\)，\(y_{min}=-2\)。

3. 二次函数最值求解方法

对于一般式\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)

当\(a>0\)时：函数图象开口向上，对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\)，在对称轴处取得最小值\(y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。

当\(a<0\)时：函数图象开口向下，对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\)，在对称轴处取得最大值\(y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。

举例：求函数\(y = 2x^{2}-4x + 1\)的最值。这里\(a = 2>0\)，开口向上，对称轴为\(x =-\frac{-4}{2\times2}=1\)。将\(x = 1\)代入函数得\(y_{min}=2\times1^{2}-4\times1 + 1=-1\)。

4. 利用不等式求最值

基本不等式法：对于正数\(a\)、\(b\)，有\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)（当且仅当\(a = b\)时等号成立）。可以通过变形将函数凑成可以使用基本不等式的形式来求最值。

举例：求函数\(y = x+\frac{1}{x}(x>0)\)的最小值。由基本不等式\(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x = 1\)时等号成立，所以\(y_{min}=2\)。

柯西不等式法：对于实数\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)和\(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\)，有\((a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2})\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\)（当且仅当\(\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\cdots=\frac{a_{n}}{b_{n}}\)时等号成立）。

举例：已知\(x,y\in R\)，且\(3x + 2y = 12\)，求\(x^{2}+y^{2}\)的最小值。由柯西不等式\((x^{2}+y^{2})(3^{2}+2^{2})\geq(3x + 2y)^{2}\)，将\(3x + 2y = 12\)代入得\((x^{2}+y^{2})(13)\geq12^{2}\)，所以\(x^{2}+y^{2}\geq\frac{144}{13}\)，当且仅当\(\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\)时等号成立。

5. 通过函数图象求最值

原理：画出函数\(y = f(x)\)的图象，观察图象在给定区间或定义域内的最高点和最低点，对应的\(y\)值就是函数的最大值和最小值。

举例：求函数\(y=\vert x - 1\vert+\vert x + 2\vert\)的最小值。当\(x\leq - 2\)时，\(y=-(x - 1)-(x + 2)=-2x - 1\)；当\(-2<x<1\)时，\(y=-(x - 1)+(x + 2)=3\)；当\(x\geq1\)时，\(y=(x - 1)+(x + 2)=2x + 1\)。画出函数图象，可以发现函数的最小值为\(3\)。

三、利用函数的单调性求最值的常用结论

1. 单调递增函数在闭区间上的最值结论

若函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上单调递增，那么函数在区间左端点\(x = a\)处取得最小值\(f(a)\)，在区间右端点\(x = b\)处取得最大值\(f(b)\)。例如，函数\(y = 2x+1\)在区间\([1,3]\)上单调递增，所以当\(x = 1\)时，\(y\)的最小值为\(y = 2\times1 + 1=3\)；当\(x = 3\)时，\(y\)的最大值为\(y = 2\times3+1 = 7\)。

2. 单调递减函数在闭区间上的最值结论

若函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上单调递减，那么函数在区间左端点\(x = a\)处取得最大值\(f(a)\)，在区间右端点\(x = b\)处取得最小值\(f(b)\)。例如，函数\(y=-3x + 2\)在区间\([1,3]\)上单调递减，所以当\(x = 1\)时，\(y\)的最大值为\(y=-3\times1 + 2=-1\)；当\(x = 3\)时，\(y\)的最小值为\(y=-3\times3 + 2=-7\)。

3. 单调函数在开区间上的最值情况（若有最值）

对于单调递增函数\(y = f(x)\)在开区间\((a,b)\)上，如果函数在区间端点处的极限存在，且当\(x\)趋近于\(a\)时函数值趋近于\(m\)，当\(x\)趋近于\(b\)时函数值趋近于\(n\)（\(m < n\)），那么函数没有最小值（但下确界是\(m\)），最大值趋近于\(n\)。例如，函数\(y=\frac{1}{x - 1}\)在区间\((1,+\infty)\)上单调递减，当\(x\)趋近于\(1\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(0\)，所以该函数在这个开区间没有最大值（但上确界是\(+\infty\)），最小值趋近于\(0\)。

4. 复合函数单调性与最值结论

若\(y = f(u)\)是关于\(u\)的单调函数，\(u = g(x)\)是关于\(x\)的单调函数，那么复合函数\(y = f(g(x))\)也是单调函数，其单调性根据“同增异减”原则确定（即当\(f(u)\)与\(g(x)\)同为增函数或同为减函数时，复合函数为增函数；当\(f(u)\)与\(g(x)\)一个为增函数一个为减函数时，复合函数为减函数）。在确定单调区间后，可按照上述单调函数在区间上求最值的方法来求复合函数的最值。例如，若\(y = f(u)=u^{2}\)（在\([0,+\infty)\)上单调递增），\(u = g(x)=2x + 1\)（单调递增），那么复合函数\(y = f(g(x))=(2x + 1)^{2}\)在其定义域上单调递增，就可以按照单调递增函数的方法求最值。

5. 多个单调区间组合的函数最值结论

当函数在不同区间上单调性不同时，需要分别分析每个单调区间上的最值情况，然后比较各个区间的最值来确定函数在整个定义域（或给定区间）上的最值。例如，函数\(y=\left\{\begin{array}{l}-x,x < 0\\x^{2},x\geq0\end{array}\right.\)，在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\([0,+\infty)\)上单调递增。在\((-\infty,0)\)上，当\(x\)趋近于\(0\)时，\(y\)趋近于\(0\)（最大值），当\(x\)趋近于\(-\infty\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)（无最小值）；在\([0,+\infty)\)上，当\(x = 0\)时，\(y\)取得最小值\(0\)，当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)（无最大值）。综合比较，函数无最大值，最小值是\(0\)。

四、实际应用中的最值问题

在几何中，例如求矩形的最大面积。

设矩形的长为\(x\)，宽为\(y\)，周长为\(C\)（固定值），则\(C = 2(x + y)\)，可得\(y=\frac{C}{2}-x\)，矩形面积\(S=xy=x(\frac{C}{2}-x)=\frac{C}{2}x - x^{2}\)。这是一个二次函数，通过求最值的方法可以得到当\(x=\frac{C}{4}\)时，面积\(S\)取得最大值\(\frac{C^{2}}{16}\)。